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고등수학340

[5분 고등수학] 이차방정식의 근과 계수의 관계 아래와 같은 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 알아봅시다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 식에서 계수는 a,b,c 입니다. 이차방정식의 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 이때, 근과 계수의 관계는 알와 같습니다. $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ 첫번째 등식은 두 근의 합과 계수의 관계이고, 두번째 등식은 두 근의 곱과 계수의 관계입니다. 결과를 외우는 것보다 중요한 것은 원리를 아는 것입니다. 외우면 잠깐 문제는 풀릴 수 있지만 금방 잊어버립니다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 유도하는 방법은 두가지가 있습니다. 1) 근의 공식을 이용하여 유도 근의공식은 아래와 같습니다. $x=\frac{-b\pm \sqrt{.. 2021. 4. 30.
[5분 고등수학] 이차방정식 판별식 이차방정식의 판별식은 아래와 같습니다. $b^{2}-4ac$ 판별식을 D 라고 부르는데요. Discriminant 의 첫글자입니다. 판별식이라는 뜻이구요. 참고로 discriminate라는 동사는 '식별하다, 판별하다' 라는 뜻입니다. 판별식이 근을 어떻게 판별하는지 알아봅시다. 판별식이 0보다 크면 두개의 실근을 갖고, 0이면 한개의 실근, 0보다 작으면 실근을 갖지 않습니다. (0보다 작은 경우는 두 허근을 갖습니다.) 기호로 표현하면 아래와 같습니다. $D>0$ → 실근 2개 $D=0$ → 실근 1개(중근=중복되는 근) $D 2021. 4. 28.
[5분 고등수학] 이차방정식의 근의공식 유도 (기본,짝수) 1. 기본공식 이차방정식의 근의공식 유도는 이차방정식의 기본형에서 출발합니다. 이차방정식의 기본형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 식을 완전제곱식으로 만들건데요. 먼저 아래와 같이$a$로 묶어줍시다. $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x \right )+c=0$ $x$계수의 절반의 제곱을 더하고 빼줍니다. $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x +\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )+c=0$ 괄호 안의 마지막 항을 괄호 밖으로 꺼내줍니다. $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x +\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )-.. 2021. 4. 27.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (35) 무리식의 정의 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(35) 무리식의 정의] 무리식의 정의 우리가 지금까지 배운 식은 '다항식'과 '유리식'입니다. 유리식은 다항식을 포함하는 더 큰 개념입니다. 아래와 같이 분류할 수 있습니다. 분수식은 다항식의 비로 표현되는 식입니다. 무리식은 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 말합니다. 무리수가 유리수로 나타낼 수 없는 실수 였던 것과 같은 맥락입니다. 유리식과 무리식을 합쳐서 '식'이라고 합니다. 무리식을 예로 들면 아래와 같습니다. $\sqrt{x+1}$ $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ 다항식도 아니고, 다항식의 비도 아니므로 유리식이 아닙니다. 유리식이 아닌 식이 무리식이므로, 위 식은 무리식입니다. 질문을 하나 하겠습니다. 아래 식은 무리식일까요 아닐까.. 2021. 4. 20.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (34) 유리함수의 역함수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(34) 유리함수의 역함수] 유리함수의 역함수 유리함수의 형태는 아래와 같이 세 종류가 있습니다. easy normal hard $y=\frac{k}{x} \ (k\neq 0)$ $y=\frac{k}{x-p}+q \ (k \neq 0)$ $y=\frac{ax+b}{cx+d} \ (ad-bc\neq 0,c\neq 0)$ 1. easy 버전 역함수 $y=\frac{k}{x}$ 에서 x와 y의 자리를 바꿉니다. $x=\frac{k}{y}$ y에 대하여 정리합시다. $y=\frac{k}{x}$ 자기자신이 됩니다. $y=\frac{k}{x}$ 의 역함수는 자기자신입니다. 지난 강의에서 그래프를 그릴 때, $y=x$ 대칭이었던 것을 기억하실겁니다. 2. norma.. 2021. 4. 10.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (33) 유리함수의 그래프 - hard [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(33) 유리함수의 그래프- hard] 유리함수의 그래프 - hard 유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 어려운 난이도인 $y=\frac{ax+b}{cx+d} \ (ad-bc \neq 0,c \neq0)$입니다. hard 버전은 normal 버전의 형태로 변형하여 그래프를 그립니다. 과정에서 왜 괄호 안의 조건이 붙어야 하는지도 알아봅시다. 먼저 아래와 같이 변형합니다. $y=\frac{\frac{a}{c}(cx)+b}{cx+d}$ 아래와 같이 c를 더하고 뺴줍니다. $y=\frac{\frac{a}{c}(cx+d-d)+b}{cx+d}$ d를 괄호 밖으로 꺼내줍니다. $y=\frac{\frac{a}{c}(cx+.. 2021. 4. 8.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (32) 유리함수의 그래프 - normal [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(31) 유리함수의 그래프- normal] 유리함수의 그래프 - normal 유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 중간 난이도인 $y=\frac{k}{x-p}+q \ (k\neq 0)$입니다. 지난 시간에 배운 $y=\frac{k}{x}$ 를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프입니다. $y=\frac{k}{x-p}+q \ (k\neq 0)$ 의 그래프는 아래와 같습니다. 위 그래프의 몇가지 성질을 정리해봅시다. 1) 점근선은 직선 $x=p$ 와 $y=q$이다. 2) k의 절댓값이 커질 수록 그래프가 원점에서 멀어진다. 3) 그래프는 점 (p,q)에 대해 대칭이다. 4) 그래프는 $ y=(x-p).. 2021. 4. 3.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (31) 유리함수의 그래프 - easy 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(31) 유리함수의 그래프- easy] 유리함수의 그래프 - easy 유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 가장 쉬운 형태인 $y=\frac{k}{x} \ (k\neq 0)$의 그래프에 대한 설명입니다. 유리함수 $y=\frac{k}{x} \ (k\neq 0)$ 의 그래프는 아래와 같습니다. 위 그래프의 몇가지 성질을 정리해봅시다. 1) k 가 양수이면 1,3 사분면에 그래프가 그려진다. 2) k 가 음수이면 2,4 사분면에 그래프가 그려진다. 3) 점근선은 x축과 y축이다. 4) k의 절댓값이 커질 수록 그래프가 원점에서 멀어진다. 5) 그래프는 원점에 대해 대칭이다. 6) 그래프는 y=x 에 대해 대칭이다. .. 2021. 3. 31.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (30) 유리함수의 정의역 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(30) 유리함수의 정의역] 유리함수의 정의역 다항함수의 정의역은 모든 실수였습니다. 예를들어 $y=3x+1$ 의 x값은 모든 실수가 될 수 있습니다. 유리함수는 다항함수와 분수함수를 포함합니다. 분수함수는 모든 실수를 정의역으로 가질 수 없습니다. 분모를 0으로 만드는 x값이 있기 때문입니다. 아래 함수를 봅시다. $y=\frac{1}{x-3}$ x가 3이면 분모가 0이 되어 정의되지 않습니다. 따라서 위 함수의 정의역은 3이 아닌 실수입니다. 정의역을 조건제시법으로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. { x | x≠3 인 실수} 아래와 같이 표현할 수도 있습니다. $\left \{ x \in \mathbb{R} :x\neq 3 \right \} $ 2021. 3. 9.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (29) 유리함수 무엇인가 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(29) 유리함수 무엇인가] 유리함수 무엇인가 유리함수는 유리식으로 되어 있는 함수입니다. $y=f(x)$에서 $f(x)$가 유리식인 함수입니다. 몇가지 유리함수를 예로 들면 아래와 같습니다. $y=2x+1, \ y=\frac{1}{x+1}, \ y=\frac{3x-1}{x+5}, \ y=\frac{x^{2}+3}{5x-1}$ 우리에게 익숙한 함수인 다항함수도 유리함수입니다. 다항함수는 분자가 1인 유리함수라고 생각하시면 됩니다. 유리함수를 굳이 나누자면 다항함수와 분수함수로 나눌 수 있습니다. 이는 유리수가 정수를 포함한다는 것, 유리식이 다항식을 포함한다는 것과 일맥상통합니다. 2021. 3. 3.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (28) 유리식의 계산 (분모가 다항식의 곱) 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(28) 유리식의 계산(분모가 다항식의 곱)] 유리식의 계산 (분모가 다항식의 곱) 유리식을 계산하는 방법입니다. 유리식을 계산한다는 것은 유리식을 최대한 간단히 만든다는 의미입니다. 누군가에게는 당연한 내용일 것이고, 누군가에게는 테크닉을 익히는 귀찮은 과정일겁니다. 이런저런 문제를 풀 때 유리식을 간단히 만들어야 하는 상황을 위한 준비라고 생각합니다. 아래와 같은 몇가지 유형이 있습니다. 1) 분모차수 > 분자차수 2) 분모가 다항식의 곱 이번 글은 두번째 경우입니다. 아래 수식을 봅시다. $\frac{1}{AB}$ A와 B는 어떤 다항식입니다. 위 수식은 아래와 같이 두개의 분수로 나뉘집니다. 이를 "부분분수로 변형한다"라고 합니다. $\frac{1.. 2021. 2. 24.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (27) 유리식의 계산 (분모차수≥분자차수) 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(28) 유리식의 계산(분모가 다항식의 곱)] 유리식의 계산 (분모차수 ≥ 분자차수) 유리식을 계산하는 방법입니다. 유리식을 계산한다는 것은 유리식을 최대한 간단히 만든다는 의미입니다. 누군가에게는 당연한 내용일 것이고, 누군가에게는 테크닉을 익히는 귀찮은 과정일겁니다. 이런저런 문제를 풀 때 유리식을 간단히 만들어야 하는 상황을 위한 준비라고 생각합니다. 아래와 같은 몇가지 유형이 있습니다. 1) 분모차수 > 분자차수 2) 분모가 다항식의 곱 이번 글은 첫번째 경우입니다. 아래 수식을 봅시다. $\frac{x^{2}+2x+1}{x+1}+\frac{x^{2}-3x+2}{x+2}$ 통분을 하면 전개해야할 수식이 너무 많습니다. 이런 경우 아래와 같이 변형합.. 2021. 2. 16.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (21) 역함수 구하는 방법 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(21) 역함수 구하는 방법] 역함수 구하는 방법 $y=f(x)$ 의 역함수를 구하는 방법을 알아봅시다. 한가지 예시를 통해 역함수를 구해보고 일반화시켜봅시다. $y=3x+2$ 의 역함수를 구해봅시다. 먼저 "일대일 대응"인지확인해야합니다. 일대일대응 함수여야 역함수가 존재하기 때문입니다. 일단 일대일함수입니다. $x$값 하나당 $y$이 하나만 존재합니다. 또한 정의역, 공역, 치역 모두 실수 전체의 집합입니다. 일대일 함수에 공역과 치역이 같으므로 일대일 대응입니다. 어떤 함수의 역함수는 치역과 정의역이 뒤바뀐 것입니다. 따라서 $y=3x+2$ 함수에서 $x$와 $y$의 자리를 바꿔줍니다. $$x=3y+2$$ 이제 $y=f^{-1}(x)$ 형.. 2020. 12. 22.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (19) 역함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(19) 역함수란 무엇인가] 역함수란 무엇인가 역함수는 함수를 반대방향으로 정의한 것입니다. 정의역이 치역이 되고, 치역이 정의역이 되는 것입니다. 화살표 방향이 반대로 바뀐다고 이해하시면 됩니다. 아래 함수 f(x)를 봅시다. f(x)를 반대방향으로 정의하면 아래와 같습니다. 기호로는 로 나타냅니다. 이 함수를 f(x)의 역함수라고 부릅니다. 기호를 이용하여 함수 f(x)와 그 역함수를 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 12. 8.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴] 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 세번째 성질을 증명해봅시다. 항등함수와 합성 시 자기 자신이 나온다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 증명해봅시다. 먼저 첫번째 식의 순서로 항등함수와 f를 함성하면 아래와 같습니다. 정의역을 x로 놓겠습니다. 항등함수 I(x) 는 x입니다. I(x)=x 이므로 아래와 같이 변형됩니다. 이번에는 두번째 식의 순서로 항등함수와 f를 합성해 봅시다. 위에서와 같은 이유로 아래와 같이 변형됩니다.. 2020. 12. 1.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함] 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 두번째 성질을 증명해봅시다. 결합법칙이 성립한다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 이 등식의 성립을 증명하기 전에, 조건부터 알아봅시다. 아무 함수에서나 성립하는 조건은 아닙니다. 일단 합성이 가능해야합니다. f와 g가 합성이 가능하고, g와 h가 합성이 가능하려면 함수가 아래와 같이 정의되어 있어야 합니다. 임의의 집합 X,Y,Z,W 에서 정의된 함수 f,g,h 는 아래와 같다. 이제 결합법칙을 증명해봅시다. 좌변의 경우 .. 2020. 11. 24.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함] 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 첫번째 성질을 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 합성함수에서 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 두 함수 f, g에 대하여 이제 위 등식이 성립하지 않는다는 것을 증명해 봅시다. 수학에서 대표적인 증명방법은 아래의 네가지가 있습니다. - 직접증명- 수학적 귀납법- 귀류법- 반례 반례를 이용하여 증명하겠습니다. 반례가 하나라도 존재한다면 위 등식은 성립하지 않는 것입니다. 두 함수를 아래와 같이 놓겠습.. 2020. 11. 24.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건] 함수의 합성이 가능하기 위한 조건 아무 함수나 합성이 가능한 것은 아닙니다. 합성이 가능한 상황과, 불가능한 상황을 살펴보며 언제 합성이 가능한지 알아봅시다. 아래 두 함수 f와 g를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 알아보는 방법은 g(f(x)) 라는 합성함수에 정의역 1,2,3,4,5 를 하나씩 대입해서 함수값이 존재하는지 알아보는 것입니다. g(f(1)) 은 얼마일까요? a입니다. 같은방법으로 확인하다 보면 g(f(5)) 의 값이 정의되지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 위 함수는 정의될 수 없습니다. 이번엔 아래 함수를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 확인해봅시다. g(f(1.. 2020. 11. 18.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (14) 합성함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(14)합성함수란 무엇인가] 합성함수란 무엇인가 세 집합이 있다고 합시다. 세 집합을 X, Y, Z 라고 놓겠습니다. 세 집합으로 함수를 정의하겠습니다. X에서 Y로의 함수를 하나 정의하고 f(x)라고 놓겠습니다. Y에서 Z로의 함수를 하나 정의하고 g(x)라고 놓겠습니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다. f(x) 와 g(x)를 이용하면, X에서 Z로의 함수를 하나 정의할 수 있습니다. g(f(x)) 입니다. 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 합니다. g(f(x)) : f와 g의 합성함수 합성함수를 나타내는 기호도 있습니다. 아래와 같은 기호를 사용합니다. 위 함수를 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 10. 20.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (12) 일대일 대응의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(12)일대일 대응의 개수] 일대일 대응의 개수 일대일 대응은 x의 함수값이 전부 다르고, 공역과 치역이 같은 대응입니다. 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 일대일 대응에서는 집합 X와 Y의 원소 수가 같아야 합니다. 집합 X와 Y 모두 세개의 원소가 있다고 합시다. x의 첫번째 원소인 x1에는 3개의 y가 대응될 수 있습니다. 동시에 대응된다는게 아니라 3가지 선택권이 있다는 것입니다. x1에 y중 하나가 대응되면, x2는 2개의 선택권을 가집니다. 따라서 함수의 개수는 아래와 같습니다. 함수의 개수 = 3x2x1 일반화시켜봅시다. 집합 X와 Y의 원소 수를 n개라고 합시다. x의 첫번째 원소인 x1에는 n개의 선택권, x2는.. 2020. 10. 6.
[모듈식 수학 2] 3.적분 (4) 함수의 실수배의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(4) 함수의 실수배의 부정적분] 함수의 실수배의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 양변을 미분하면 아래 등식도 성립합니다. 양변에 k를 곱합시다. kF'(x)는 {kF(x)}' 와 같습니다. 곱의 미분법을 적용하면 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. kF(x)를 미분한 결과가 kf(x) 이므로, kF(x)는 kf(x)의 한 부정적분이고 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 위에서 사용한 C와 구분하기 위해 C2로 써주었습니다. k로 우변을 묶어봅시다. 대괄호 안의 C2/k 는 적분상수로 해석할 수 있습니다. C2가 모든 값이 될 수 있는 적분상수 이므로, 이 값을 k로 나눠도 의미는 달라지지.. 2020. 6. 24.
[모듈식 수학2] 2.미분 (21) 미분계수를 이용한 접선의 방정식 (2) 기울기를 알 때 [수학2]-[2.미분]-[②미분]-[(21) 미분계수를 이용한 접선의 방정식] 미분계수를 이용한 접선의 방정식 (2) 기울기를 알 때 미분 가능한 함수 f(x)가 있다고 합시다. 이 함수에 접하는 접선이 있습니다. 우리는 기울기만 알고 있는 상황입니다. 기울기는 m이라고 합니다. 이 접선의 '직선의 방정식'을 구해봅시다. 먼저 이 접선이 함수 f(x)와 만나는 점을 (a,f(a))라고 놓겠습니다. 이 점에서의 미분계수는 f'(a)인데 m과 같습니다. f'(a)=m 위 등식을 이용하면 a를 구할 수 있습니다. a가 구해지면 직선의 방정식을 아래와 같이 구할 수 있습니다. 2020. 3. 19.
[모듈식 수학2] 2.미분 (20) 미분계수를 이용한 접선의 방정식 (1) 접점의 좌표를 알 때 [수학2]-[2.미분]-[②미분]-[(20) 미분계수를 이용한 접선의 방정식] 미분계수를 이용한 접선의 방정식 (1) 접점의 좌표를 알 때 x=a에서 미분가능한 함수 f(x)가 있다고 합시다. x=a에서의 미분계수 f'(a)는 순간변화율입니다. 기하적으로는 접선의 기울기입니다. 이 성질을 이용하면 f(x)위의 한 점 (a,f(a))에서의 접선의 방정식을 쉽게 구할 수 있습니다. f(x)가 쉽게 미분이 된다면 말이죠. (a,f(a))에서의 접선의 기울기가 f'(a)이므로 직선의 방정식은 아래와 같이 구할 수 있습니다. 2020. 3. 17.
[모듈식 수학2] 2.미분 (18) 함수의 n제곱의 미분, {f(x)^n}' [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(18) 함수의 n제곱의 미분, {f(x)^n}'] 함수의 n제곱의 미분, {f(x)^n}' 미분가능한 함수 f(x)가 있습니다. 이 함수를 n제곱하면 아래와 같습니다. 이 함수를 미분해봅시다. 미분계수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 11강에서 사용한 인수분해를 적용합시다. (https://hsm-edu-math.tistory.com/340) 아래와 같이 두 부분으로 구분해봅시다. 함수 f(x)가 미분가능하므로 빨간 부분은 f'(x)입니다. 파란부분의 항들은 각각 f(x)^n-1로 수렴합니다. 총 수는 n개입니다. 따라서 극한값은 아래와 같습니다. 2020. 3. 10.
[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (11) 극한값 구하기 - 다항함수 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(11) 극한값 구하기 - 다항함수] 극한값 구하기 - 다항함수 먼저 다항식이 무엇인지 복습해봅시다. "다항식(polynomial)은 문자의 거듭제곱의 상수 배 여럿의 합을 표현하는 수식이다." (링크 : https://hsm-edu-math.tistory.com/3) 다항함수는 다항식으로 만들어진 함수입니다. 따라서 다항함수는 모든 점에서 극한이 존재합니다. f(x)가 다항함수라면 x가 a로 갈 때, f(x)의 극한값은 f(a)입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 2019. 12. 17.
[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (8) 함수의 극한의 성질 (합,차) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(8) 함수의 극한의 성질 (합,차)] 함수의 극한의 성질 (합,차) x가 a에 가까워져 갈 때, f(x)는 실수 L에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a에 가까워져 갈 때, g(x)는 실수 M에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a로 갈 때, 두 함수의 합은 어떻게 될까요? x=a에서 함수가 수렴한다는 것은, x=a에서의 좌극한값과 우극한값이 같다는 말입니다. x=a에서 각 함수의 좌극한값과 우극한값이 같으므로, 두 함수의 합에서도 좌극한값과 우극한값이 같아집니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 차에서도 동일한 이유로 성립합니다. 이 결과는 함수의 합 또는 차의 극한을 구할 때 ,두.. 2019. 12. 11.
[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (7) 함수의 극한의 성질 (상수배) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(7) 함수의 극한의 성질 (상수배, 합차)] 함수의 극한의 성질 (상수배) x가 a에 가까워져 갈 때, f(x)는 실수 L에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 이 함수에 상수 k배를 했다고 합시다. kf(x) 가 됩니다. x가 a로 갈 때, 함수 kf(x)는 어떻게 될까요? 엄밀한 증명을 할 수는 없지만 직관적으로는 이해할 수 있습니다. x=a 에서 극한값이 존재한다는 것은 x=a에서의 좌극한과 우극한이 같다는 말입니다. f(x)에 k배를 하면, x의 왼쪽에서 오던 값과 오른쪽에서 오던 값에 동일하게 k배가 되는 것입니다. 따라서 x=a에서의 좌극한값과 우극한값에 k배가 됩니다. 두 값이 원래 같았다면, k배한 함수에서도.. 2019. 12. 10.
[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (32) 모평균의 추정 [확률과통계]-[3.통계]-[②통계적 추정]-[(32) 모평균의 추정] 모평균의 추정 모집단에서 표본을 추출하는 이유는 표본이 궁금해서가 아니라, 모집단이 궁금하기 때문입니다. 따라서 우리는 추출한 표본을 이용하여 모집단의 특성을 최대한 추측할 것입니다. 모집단의 특성 중에는 모집단의 통계량이 있습니다. 모집단의 통계량은 모수라고 합니다. 모집단의 통계량 (모수) : 모집단의 평균, 분산, 표준편차 등 이렇게 표본을 이용하여 모집단의 특성들을 추측하는 것을 추정이라고 합니다. 고등학교 과정에서는 모집단의 평균만을 추정합니다. 추정에는 '점추정'과 '구간 추정' 두가지가 있습니다. 점추정은 모집단의 통계량을 하나의 값으로 추정하는 것이고, 구간 추정은 어떤 범위 사이에 있다고 추정하는 것입니다. 우리는 이.. 2019. 11. 18.
[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (11) 이항분포의 평균 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(11) 이항분포의 평균] 이항분포의 평균 확률변수 X가 이항분포를 따른다고 해봅시다. 시행횟수는 n번이고, 사건 발생확률이 p라면 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. X~B(n,p) 위와 같은 이항분포를 따르는 확률변수 X의 평균은 np 가 됩니다. 유도해봅시다. 아래와 같이 n개의 확률변수가 있다고 해봅시다. 확률변수 X의 평균은 아래와 같이 구합니다. 시그마의 형태로 나타내면 아래와 같습니다. 위 식에 이항분포의 확률변수와 확률을 대입하면 아래와 같습니다. 이항분포의 확률변수는 0부터 n까지의 값을 갖습니다. 조합을 팩토리얼 형태로 나타냅시다. x가 0일때는 값이 0이므로 아래와 같이 시그마의 시작을 1으로 바꿀 수 있습니다. 아래와 같이 변형합시다. p와 .. 2019. 10. 8.
[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (9) 이산확률변수 aX+b의 분산과 표준편차 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(9) 이산확률변수 aX+b의 분산과 표준편차] 이산확률변수 aX+b의 분산과 표준편차 이산확률변수 X의 분산을 V(X)라고 했을 때, aX+b의 분산은 아래와 같습니다. (a와 b는 상수입니다.) 증명해봅시다. 이산확률변수 X와, 각 변수에 해당하는 확률값을 표로 나타내면 아래와 같습니다. 이산확률변수 X의 개수는 n개라고 가정하겠습니다. aX+b의 분산을 구하면 아래와 같습니다. (m을 X의 평균이라고 놓겠습니다.) 우변의 괄호 안을 계산하면 아래와 같습니다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. a제곱으로 묶어줍시다. 빨간 부분은 X의 분산입니다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 표준편차는 분산에 루트를 씌운 것이므로 아래와 같습니다. 2019. 10. 6.
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