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수학(하)48

[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (6) 순열이란 무엇인가 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[②순열]-[(6)순열이란 무엇인가] 순열이란 무엇인가 순열은 '순서가 있는 나열'입니다. 어떤 숫자나 문자를 순서가 있게 나열하는 것입니다. 순열은 보통 n개 중에서 r개를 택하여 나열합니다. 이를 n개 중에서 r개를 택하는 순열이라고 부릅니다. 예를들어 1부터 5까지 숫자 중에서 2개를 뽑아 나열하는 것은 5개 중에서 2개를 택하는 순열 입니다. 몇가지 방법이 있을까요? 아래와 같이 두 자리를 만들겠습니다. O O 숫자가 총 5개 이므로, 첫번째 자리에는 5가지 숫자가 올 수 있고, 두번째 자리에는 4가지 숫자가 올 수 있습니다. 따라서 경우의 수는 아래와 같습니다. $5 \times 4$ 일반화 시켜봅시다. n개 중에서 r개를 택하는 순열은 r개의 자리를 만들어 주면.. 2021. 7. 31.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (37) 무리식 분모의 유리화 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(37) 무리식 분모의 유리와] 무리식 분모의 유리화 무리식을 계산할 때 분모를 유리화해야하는 경우가 있습니다. 무리식 a와 b가 있고, 두 무리식이 0보다 클 경우 아래와 같이 분모를 유리화해줄 수 있습니다. 2,3번은 곱셉공식의 합차공식을 사용합니다. $1) \ \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b} \sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$ $2) \ \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{ c(\sqrt{a} - \sqrt{b} ) }{ (\sqrt{a} + \sqrt{b} )( \sqrt{a} - \sqrt{b} ) } =\frac{ c(\sqrt{a} - \sqrt{b} ) }{ a.. 2021. 5. 18.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (35) 무리식의 정의 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(35) 무리식의 정의] 무리식의 정의 우리가 지금까지 배운 식은 '다항식'과 '유리식'입니다. 유리식은 다항식을 포함하는 더 큰 개념입니다. 아래와 같이 분류할 수 있습니다. 분수식은 다항식의 비로 표현되는 식입니다. 무리식은 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 말합니다. 무리수가 유리수로 나타낼 수 없는 실수 였던 것과 같은 맥락입니다. 유리식과 무리식을 합쳐서 '식'이라고 합니다. 무리식을 예로 들면 아래와 같습니다. $\sqrt{x+1}$ $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ 다항식도 아니고, 다항식의 비도 아니므로 유리식이 아닙니다. 유리식이 아닌 식이 무리식이므로, 위 식은 무리식입니다. 질문을 하나 하겠습니다. 아래 식은 무리식일까요 아닐까.. 2021. 4. 20.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (34) 유리함수의 역함수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(34) 유리함수의 역함수] 유리함수의 역함수 유리함수의 형태는 아래와 같이 세 종류가 있습니다. easy normal hard $y=\frac{k}{x} \ (k\neq 0)$ $y=\frac{k}{x-p}+q \ (k \neq 0)$ $y=\frac{ax+b}{cx+d} \ (ad-bc\neq 0,c\neq 0)$ 1. easy 버전 역함수 $y=\frac{k}{x}$ 에서 x와 y의 자리를 바꿉니다. $x=\frac{k}{y}$ y에 대하여 정리합시다. $y=\frac{k}{x}$ 자기자신이 됩니다. $y=\frac{k}{x}$ 의 역함수는 자기자신입니다. 지난 강의에서 그래프를 그릴 때, $y=x$ 대칭이었던 것을 기억하실겁니다. 2. norma.. 2021. 4. 10.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (33) 유리함수의 그래프 - hard [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(33) 유리함수의 그래프- hard] 유리함수의 그래프 - hard 유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 어려운 난이도인 $y=\frac{ax+b}{cx+d} \ (ad-bc \neq 0,c \neq0)$입니다. hard 버전은 normal 버전의 형태로 변형하여 그래프를 그립니다. 과정에서 왜 괄호 안의 조건이 붙어야 하는지도 알아봅시다. 먼저 아래와 같이 변형합니다. $y=\frac{\frac{a}{c}(cx)+b}{cx+d}$ 아래와 같이 c를 더하고 뺴줍니다. $y=\frac{\frac{a}{c}(cx+d-d)+b}{cx+d}$ d를 괄호 밖으로 꺼내줍니다. $y=\frac{\frac{a}{c}(cx+.. 2021. 4. 8.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (32) 유리함수의 그래프 - normal [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(31) 유리함수의 그래프- normal] 유리함수의 그래프 - normal 유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 중간 난이도인 $y=\frac{k}{x-p}+q \ (k\neq 0)$입니다. 지난 시간에 배운 $y=\frac{k}{x}$ 를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프입니다. $y=\frac{k}{x-p}+q \ (k\neq 0)$ 의 그래프는 아래와 같습니다. 위 그래프의 몇가지 성질을 정리해봅시다. 1) 점근선은 직선 $x=p$ 와 $y=q$이다. 2) k의 절댓값이 커질 수록 그래프가 원점에서 멀어진다. 3) 그래프는 점 (p,q)에 대해 대칭이다. 4) 그래프는 $ y=(x-p).. 2021. 4. 3.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (31) 유리함수의 그래프 - easy 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(31) 유리함수의 그래프- easy] 유리함수의 그래프 - easy 유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 가장 쉬운 형태인 $y=\frac{k}{x} \ (k\neq 0)$의 그래프에 대한 설명입니다. 유리함수 $y=\frac{k}{x} \ (k\neq 0)$ 의 그래프는 아래와 같습니다. 위 그래프의 몇가지 성질을 정리해봅시다. 1) k 가 양수이면 1,3 사분면에 그래프가 그려진다. 2) k 가 음수이면 2,4 사분면에 그래프가 그려진다. 3) 점근선은 x축과 y축이다. 4) k의 절댓값이 커질 수록 그래프가 원점에서 멀어진다. 5) 그래프는 원점에 대해 대칭이다. 6) 그래프는 y=x 에 대해 대칭이다. .. 2021. 3. 31.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (30) 유리함수의 정의역 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(30) 유리함수의 정의역] 유리함수의 정의역 다항함수의 정의역은 모든 실수였습니다. 예를들어 $y=3x+1$ 의 x값은 모든 실수가 될 수 있습니다. 유리함수는 다항함수와 분수함수를 포함합니다. 분수함수는 모든 실수를 정의역으로 가질 수 없습니다. 분모를 0으로 만드는 x값이 있기 때문입니다. 아래 함수를 봅시다. $y=\frac{1}{x-3}$ x가 3이면 분모가 0이 되어 정의되지 않습니다. 따라서 위 함수의 정의역은 3이 아닌 실수입니다. 정의역을 조건제시법으로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. { x | x≠3 인 실수} 아래와 같이 표현할 수도 있습니다. $\left \{ x \in \mathbb{R} :x\neq 3 \right \} $ 2021. 3. 9.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (28) 유리식의 계산 (분모가 다항식의 곱) 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(28) 유리식의 계산(분모가 다항식의 곱)] 유리식의 계산 (분모가 다항식의 곱) 유리식을 계산하는 방법입니다. 유리식을 계산한다는 것은 유리식을 최대한 간단히 만든다는 의미입니다. 누군가에게는 당연한 내용일 것이고, 누군가에게는 테크닉을 익히는 귀찮은 과정일겁니다. 이런저런 문제를 풀 때 유리식을 간단히 만들어야 하는 상황을 위한 준비라고 생각합니다. 아래와 같은 몇가지 유형이 있습니다. 1) 분모차수 > 분자차수 2) 분모가 다항식의 곱 이번 글은 두번째 경우입니다. 아래 수식을 봅시다. $\frac{1}{AB}$ A와 B는 어떤 다항식입니다. 위 수식은 아래와 같이 두개의 분수로 나뉘집니다. 이를 "부분분수로 변형한다"라고 합니다. $\frac{1.. 2021. 2. 24.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (22) 역함수의 성질 (함수 1개) [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(22) 역함수의 성질 (함수 1개)] 역함수의 성질 (함수1개) 역함수는 아래와 같은 4가지 성질을 같습니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. ㅇ4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 이번 글에서는 1,2번을 증명해봅시다. 1,2번은 한가지 함수만을 다루는 경우입니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $$(f^{-1})^{-1}=f$$ 아래 그림에서 역함수는 화살.. 2020. 12. 29.
고등수학 [수학(하)] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [수학 (하)] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 교육과정에서는 수학(상),(하)로 구분하지는 않습니다. '수학'이라는 이름이 붙어있습니다. 편의상 (상)(하)로 나눈 것입니다. 아래 그림에서 빨간 테두리 안의 내용이 수학(하)에 해당하는 내용입니다. 고등교육과정에서 '수학'은 다섯개의 카테고리로 구성되어 있습니다. 그 중 세 카테고리를 수학(하)로 분류한 것입니다. 첫번째 카테고리인 [수와 연산]에서는 '집합과 명제'를 배웁니다. 두번째 카테고리인 [함수]에서는 '함수와 그래프'를 배웁니다. 세번째 카테고리인 [확률과 통계]에서는 '경우의 수'를 배웁니다. 상세한 내용은 성취기준에서 알아보겠습니다. 2. 성취기준 가. 수와 연산 1) 집합- 집합의 개념을 이해하고, 집합을 표현할 .. 2019. 8. 1.
[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (1) 사건이 뭔가요? 경우의 수가 뭔가요? [수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(1) 사건이 뭔가요? 경우의 수가 뭔가요?] 사건이 뭔가요? 경우의 수가 뭔가요? 사건event 이 무엇인지 알아봅시다. 여기서 등장하는 사건은 확률이론probability theory에서의 '사건'입니다. 위키피디아의 내용을 그대로 가져오면 이렇습니다. In probability theory, an event is a set of outcomes of an experiment (a subset of the sample space) to which a probability is assigned. 사건은 확률이 할당된 어떤 실험의 결과라고 되어있습니다. 여기서 실험experiment 는 과학시간에 하는 물리나 화학실험이 아니라 '시험삼아 해보는 것'을 의.. 2019. 7. 4.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (9) 상수함수 상수함수 상수함수는 모든 정의역이 같은 함수값을 갖는 함수입니다. 이름이 상수함수인 이유는 함수식이 아래와 같기 때문입니다. 그림으로 표현하면 이렇습니다. 그래프로도 표현해봅시다. 이때는 정의역과 공역이 모든 실수라는 조건이 필요합니다. 2019. 7. 4.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (6) 함수의 그래프 함수의 그래프 그래프라고 하면 어떤 모양을 갖는 이미지를 떠올리기 쉽상입니다. 하지만 함수의 그래프는 어떤 이미지를 의미하지 않습니다. 함수의 그래프는 '순서쌍의 집합'입니다. 더 정확히 말하면 정의역 x와 그에 대응하는 함수값 f(x)의 순서쌍 (x,f(x)) 전체의 집합을 함수 f의 그래프 라고 합니다. 따라서 함수의 조건을 만족한다면 이런 순서쌍도 그래프가 될 수 있습니다. (a,사과) (b,바나나) (c, 수박) 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 우리가 흔히 알고 있는 '그래프'는 함수의 그래프를 좌표평면에 나타낸 것입니다. 좌표평면에 그려진 함수의 그래프는 점이 될 수도 있고, 직선이 될 수도 있고, 곡선이 될 수도 있습니다. 만약 함수 y=f(x)의 정의역과 공역이 실수 전체의 집합이라면 함수.. 2019. 5. 30.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (5) 함수가 서로 같다는 것... 함수가 서로 같다는 것... 두 함수가 서로 같다는게 무엇일까요. 정의역만 같으면 두 함수를 같다고 할 수 있을까요? 아래 두 함수를 봅시다. 정의역만 같은 함수인데, 서로 같나요? 누가봐도 다릅니다. 이번에는 공역을 같게 만들어봅시다. 함수가 같나요? 다르죠? 그럼 이번에는 치역을 같게 만들어 봅시다. 치역이 같아져도 함수는 다르죠? 함수를 같게 만들어 봅시다. 무엇이 같아졌죠? 함수값이 같아졌습니다. 두 함수가 같다는 것은 정의역과 공역이 같고, 함수값이 같다는 것입니다. 함수값이 같다면 치역은 저저로 같아집니다. 2019. 5. 28.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (3) 정의역, 공역 정의역, 공역 두 집합 X와 Y가 있고, X에서 Y로의 함수 f가 있다고 해봅시다. 이때, 가는 쪽인 집합 X를 정의역, 받는 쪽인 집합 Y를 공역이라고 합니다. 2019. 5. 23.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (2) 함수의 정의 함수의 정의 두 집합 X와 Y가 있다고 해봅시다. X의 원소를 Y의 원소에 대응시켜봅시다. 다양한 방법으로 대응시킬 수 있을 것입니다. 이 대응 중 특정 조건을 만족하는 대응이 '함수'입니다. 이 조건에 대해 알아봅시다. - X의 모든 원소가 Y의 원소에 대응됨.- X의 원소는 오직 하나의 Y의 원소에만 대응됨. 이 대응을 X에서 Y로의 함수라고 합니다. 이 함수에 이름을 붙일 수도 있는데요. 이름을 f라고 하면 아래와 같이 기호로도 나타낼 수 있습니다. 이번에는 함수인 예와 함수가 아니 대응의 예들을 살펴봅시다. 2019. 5. 21.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (1) 대응이란? 대응이란? 한 집합의 원소와 다른 집합의 원소 사이에서 사용하는 말입니다. 아래와 같이 집합 A와 집합 B가 있다고 해봅시다. A = {정훈,지혁,창재,민철}B = {지희,지연,희정,민지} 남자 네사람이 아래와 같이 호감을 갖고 있습니다. 정훈→지희지혁→지연창재→희정민철→민지 위와 같이 A집합의 원소를 B집합의 원소와 짝짓는 것을 대응이라고 합니다. 기호로도 위와 같이 나타냅니다. 시간이 흘러 호감관계를 다시 확인했더니 아래와 같았습니다. 지내보니 지희만한 여자가 없었습니다. 정훈→지희지혁→지희창재→지희민철→지희 이런 관계도 대응입니다. 또 시간이 흘러 확인했더니 아래와 같았습니다. 창재와 민철은 아무도 좋아하지 않게 되었습니다. 이것도 대응입니다. 정훈→지희지혁→지연 대응은 원소와 원소 사이의 관계를 .. 2019. 5. 16.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (48) 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식은 프랑스 수학자 코시가 발견했고 독일의 슈바르츠가 수정하고 일반화한 부등식입니다. 겨우 이런 부등식에 거창한 이름이 붙었나 생각하시겠지만, 거창한 이름이 붙은데는 이유가 있습니다. 코시-슈바르츠 부등식은 고등학교 과정에서만 간단히 다뤄지는 것이지 수학에서 굉장히 중요한 부등식입니다. 확률론의 분산,공분산 등 다양한 분야에 적용됩니다. 실제로는 n차 부등식이지만, 가장 간단한 2차부터 다뤄보겠습니다. 모든 변수가 실수라는 조건이 붙습니다. 양수일 필요는 없습니다. 증명을 해봅시다. 양변을 전개하겠습니다. 정리합시다. 완전제곱식으로 정리됩니다. 위와 같이 증명이 되었습니다. 코시슈바르츠 부등식의 등호 성립조건을 구해봅시다. 바로 위의 식에서 부등호가 등호로 바꾸면 .. 2019. 5. 7.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (47) 산술,기하,조화평균의 대소관계 산술,기하,조화평균의 대소관계를 이용한 절대부등식 지난시간에 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)을 배웠습니다. 산술평균을 , 기하평균을 , 조화평균을 라고 하겠습니다. n개의 수에 대한 각각의 평균을 써봅시다. 이러한 평균들의 대소관계를 비교해볼 것입니다. 간단한 상황에서 살펴보기 위해 수가 2개인 경우 부터 시작하겠습니다. 또한 수의 범위를 양수로 제한하겠습니다. 음수를 포함하게 되면 대소관계를 정의할 수 없기 때문입니다. 먼저 산술평균과 기하평균을 비교해봅시다. 산술평균에서 기하평균을 뺴봅시다. 뺀 값이 0보다 같거나 크다는 것을 증명하면 됩니다. 기하평균을 오른쪽 항으로 넘기고 2를 곱한 뒤에 제곱합니다. 우변을 좌변으.. 2019. 5. 2.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (46) 산술,기하,조화평균 무엇인가 산술,기하,조화평균 무엇인가 평균에는 세가지가 있습니다. 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)입니다. 우리가 흔히 알고 있는 평균은 산술평균입니다. 예를들면 시험점수의 평균을 구할 때 사용합니다. 수학이 90점, 영어가 100점이면 평균이 95점입니다. 이때의 평균이 산술평균입니다. 그런데 산술평균만으로는 평균이 표현되지 않는 경우가 있습니다. 2년 전에 제 연봉이 A원이었다고 해봅시다. 작년에는 2배가 올랐구요. 올해는 다시 3배가 올랐습니다. 정리하면 아래와 같습니다. 2년전 : A원1년전 : 2A원올해 : 6A원 매년 평균 몇배가 오른 것일까요? 두배, 그리고 6배가 올랐으니까. 산술평균으로 계산하면 4배입니다. 매년 4.. 2019. 4. 29.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (45) 대표적인 절대 부등식들 대표적인 절대 부등식들 알아두면 좋은 절대부등식들을 알아봅시다. 1) 좌변은 아래와 같은 완전제곱식으로 바꿀 수 있습니다. 완전제곱식은 항상 0보다 같거나 큽니다. 등호는 언제 성립할까요? 에서는 a가 -b일때, 에서는 a가 b일때 성립합니다. 2) 이번 식은 좀 어렵습니다. 변형 방법을 알아야 증명이 가능한데 변형 방법이 쉽게 생각할 수 있는 방법이 아닙니다. 이번 기회에 알고 넘어간다는 생각으로 배워봅시다. 먼저 양변에 2를 곱해줍니다. 그리고 나서 아래와 같이 완전제곱식으로 만들 수 있는 항끼리 모아줍니다. 완전제곱식으로 묶을 수 있는 식들이 보이시죠? 묶어봅시다. 등호는 언제 성립할까요? a=b=c 일 때 성립합니다. 3) 3번의 절대부등식은 a,b,c가 모두 양수일 때 성립합니다. a,b,c가 .. 2019. 4. 21.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (44) 절대부등식 무엇인가 절대부등식 무엇인가 절대부등식은 영어로 absolute inequality 입니다. absolute 는 '제한이 없는' '절대적인' 이라는 뜻인데요. 여기서는 '제한이 없는'이라는 뜻이 더 적당해 보입니다. 절대부등식이 바로 해의 제한이 없는 부등식이기 때문입니다. 모든 x값에 대해서 성립하는 부등식이 바로 절대부등식입니다(x값에 양수 등의 조건이 주어질 수는 있습니다). 절대부등식 하나를 예로 들어보겠습니다. x에 알고 있는 아무 실수나 넣어보세요. 아마 성립할 것입니다. 모든 실수 x에 대해서 부등식이 성립합니다. 변수가 꼭 하나일 필요는 없습니다. 아래와 같은 절대부등식도 가능합니다. 모든 실수 x와 y에 대해 성립합니다. 2019. 4. 18.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (43) 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 식(또는 두 수)의 크기를 비교하는 방법은 세가지가 있습니다. 먼저 두 식이 0보다 크건, 같건, 작건 상관 없이 사용할 수 있는 방법입니다. 두 식을 서로 뺀 뒤 0과 비교해주면 됩니다. 두 식 A와 B가 있다고 해봅시다. 식 A에서 B를 뺐더니 0보다 컸습니다. 식 A와 B중 어느 식이 큰 것일까요. 식 A입니다. 방금 설명한 상황을 명제로 나타내봅시다. A-B>0 이면 A>B이다. 이 명제의 역도 성립합니다. 기호만으로 나타내면 아래와 같습니다. 아래 명제들도 동일하게 성립합니다. 두번째 방법은 두 식이 양수인 경우에만 성립합니다. 두 식 A와 B가 있고, 두 식 모두 0보다 크다고 해봅시다. 두 식을 제곱하여 과 을 얻었습니다. 에서 을 뻈더니 0보다 컸습니다. .. 2019. 4. 16.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (38) 증명이란 무엇인가 증명이란 무엇인가 증명은 어떤 명제가 참임을 설명하는 것입니다. 아무 가정도 없는 상태로 명제를 증명하는 것은 불가능하기 때문에 여러가지 기본적인 가정에서 출발합니다. 이러한 기본적인 가정들을 공리(AXIOM)이라고 부릅니다. 너무 당연해서 증명하기 어려운 명제들입니다. 공리들을 가정하고, 가정한 공리들을 이용하여 해당 명제가 참임을 보이는 것이 증명입니다. 참이라는 것이 밝혀진 명제를 정리(Theorem)라고 부릅니다. 2019. 3. 27.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (33) '모든' 또는 '어떤'이 들어 있는 명제의 참 거짓 '모든' 또는 '어떤'이 들어 있는 명제의 참 거짓 명제에 '모든'이라는 단어가 들어있는 경우를 생각해봅시다. 예를들면 이런 명제가 있을 수 있습니다. 모든 x에 대하여 x>0 이다. 아직 참과 거짓을 밝힐 수 없기 때문에 엄밀히 말하면 명제는 아닙니다. 조건을 추가하여 명제로 만들어 봅시다. 전체집합 U={-1,2,3,4,5}이고 x는 U의 원소일 때,모든 x에 대하여 x>0 이다. 위 명제는 거짓입니다. -1이라는 반례가 있기 때문입니다. 진리집합을 구해보면 P={2,3,4,5}입니다. 만약 위 명제가 참이려면 진리집합이 전체집합과 같아야 합니다. 따라서 '모든'이 포함되어 있는 명제의 참/거짓 여부는 전체집합과 진리집합을 비교하여 구할 수도 있습니다. '모든'이 들어있는 명제에서,if(전체집합 = .. 2019. 2. 21.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (29) 조건에서 '또는'과 '그리고' 조건에서 '또는'과 '그리고' '또는'과 '그리고'는 집합에서 이미 한번 다루었던 내용입니다. '또는'은 합집합을 조건제시법으로 표현할 때 사용했었구요. "그리고"는 교집합을 표현할 때 사용했었습니다. 이번에는 '또는'과 '그리고'를 조건에 적용해 봅시다. 두 조건 p와 q가 있습니다. p를 만족하는 x의 집합, 즉 p의 진리집합은 P이구요. q의 진리집합은 Q라고 하겠습니다. 조건 p 또는 q의 진리집합은 무엇일까요. p를 만족하거나, q를 만족하면 되므로 P∪Q 입니다. 조건 p 그리고 q의 진리집합은 무엇일까요. p와 q를 동시에 만족해야 하므로 P∩Q 입니다. 이번에는 '부정'을 추가해봅시다. (p 또는 q) 의 부정은 무엇일까요. (p 또는 q)가 아닌 조건을 의미하구요. 기호로는 ~(p or .. 2019. 2. 4.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (28) 조건의 부정 조건의 부정 지지난 시간에 '조건'을 배웠고 지난 시간에 '진리집합'을 배웠습니다. 오늘은 이 두 개념을 이용하여 조건의 부정을 배워봅시다. 조건을 하나 만들어봅시다. 이 조건을 p라고 하겠습니다. p(x) : x는 홀수이다. 이 조건을 부정한다는 것은 이조건을 반대로 말하면 됩니다. 기호로는 ~p 로 쓰고 물결(~)은 영어로 not을 의미합니다. ~p(x) : x는 홀수가 아니다. 이번에는 조건의 부정을 진리집합과 연관지어 봅시다. 전체집합을 먼저 정의하겠습니다. 조건 p를 만족하는 진리집합 P는 아래와 같습니다. 조건 p의 부정인 ~p를 만족하는 진리집합은 아래와 같습니다. ~p의 진리집합은 P의 여집합과 같습니다. 한가지만 더 알아보겠습니다. 조건 p의 부정의 부정은 무엇일까요. ~(~p) 니까 p.. 2019. 2. 4.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (27) 진리집합 진리집합 지난시간에 '조건'을 배웠습니다. 일상에서 사용하는 조건이 아니라 수학에서의 조건입니다. 조건 p를 하나 만들어봅시다. p(x) : x 는 홀수이다. 이 조건이 전체집합 U에서 정의됐다고 해봅시다. 이 조건이 전체집합 U에서 정의되었다는 말은 x가 전체집합에 속한 원소의 값만을 가질 수 있다는 의미입니다. 전체집합은 아래와 같이 정의합시다. U={1,2,3,4,5,6} 전체집합의 원소들 중에는 조건 p를 참이되게 하는 원소도 있고, 거짓이 되게 하는 원소도 있습니다. 이 원소들을 각각 집합으로 표현해봅시다. 조건 p가 참이 되게 하는 원소들의 집합 = {1,3,5}조건 p가 거짓이 되게 하는 원소들의 집합 = {2,4,6} 이 두 집합 중 조건 p가 참이되게 하는 집합을 조건 p의 진리집합이라고.. 2019. 1. 30.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (26) 조건이란 무엇인가 조건이란 무엇인가 조건은 한자로 가지(조) 물건(건)입니다. 영어로는 condition이구요. 우리는 조건이라는 단어를 이런 상황에서 사용합니다. 학생들 : 선생님 아이스크림 사주세요~선생님 : 오케이, 대신 조건이 있다. 이번 중간고사 반평균이 80점을 넘으면 사주도록 하지. 또다른 예를 들어봅시다. 악당 : 널 죽여버리겠다.사람 : 살려주세요.악당 : 대신 조건이 있다. 돈 천만원을 가져오면 죽이지 않겠다. 첫번째 예시에서는 조건을 만족하면 사건이 일어나고, 두번째 예시에서는 조건을 만족하면 사건이 일어나지 않습니다. 따라서 조건은 '사건이 일어나거나 일어나지 않게하는데 필요한 요소'입니다. 수학에서 등장하는 조건은 어떨까요? 수학에서 조건은 x값에 따라 참인 명제가 될 수도 있고 거짓인 명제가 될 .. 2019. 1. 29.
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