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함수의 연속23

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (33) 사잇값정리 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(33) 사잇값 정리] 사잇값 정리 어떤 함수가 구간 닫힌구간 [a,b] 에서 연속이라고 합시다. 한가지 조건을 더 추가할건데, f(a)가 f(b)와 다르다는 조건입니다. 그래프로 그려보면 아래와 같습니다. f(a)와 f(b)사이의 어떤 값 k가 있다고 해봅시다. 함수값이 k가 되는 c가 닫힌구간 [a,b]에 존재할까요? 그렇겠죠? 직관적으론 너무 당연합니다. 고등학교 수준에서 증명이 어려우니 직관적으로 이해하고 넘어갑시다. 아니 그런데, 닫힌구간 [a,b]이 아니라 열린구간 (a,b)이어도 성립할까요? k가 f(a)와 f(b) 사이이므로, k가 f(a)나 f(b)와 다르므로 성립합니다. 지금까지 이야기한 내용을 정리해봅시다. 닫힌구간 [a,b]에.. 2020. 1. 30.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (32) 최대,최소 정리 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(32) 최대,최소 정리] 최대, 최소 정리 어떤 함수가 구간 닫힌구간 [a,b] 에서 연속이라고 합시다. 이 구간에서 함수가 최댓값을 가질까요? 최댓값을 갖지 않는다면 어떤 상황일까요. 어떤 함수가 구간 [a,b]에서 최댓값을 갖지 않으려면 어느 값에서 발산해야합니다. 어느 값에서 발산하게 되면 연속이 아닙니다. 따라서 어떤 함수가 구간 [a,b]에서 연속이라면 반드시 최댓값을 갖습니다. 같은 이유로 어떤 함수가 구간 [a,b]에서 연속이라면 최솟값도 같습니다. 정리하면 이렇습니다. "어떤 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다" 위 명제가 최대,최소정리입니다. 사실 직관적으로 받아.. 2020. 1. 29.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (27) 다항함수, 유리함수, 무리함수의 연속성 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(27) 다항함수, 유리함수, 무리함수의 연속성] 다항함수, 유리함수, 무리함수의 연속성 우리가 배운 함수들의 연속성을 알아봅시다. 다항함수는 일차함수, 이차함수, 삼차함수 등을 말하는데요. 다항함수는 모든 구간에서 연속입니다. 유리함수는 아래와 같은 함수입니다. f(x)가 0이 되게하는 x에서 불연속입니다. 무리함수는 아래와 같은 함수입니다. x와 y가 실수라는 조건에서, f(x)가 0보다 작은 부분에서는 정의가 되지 않습니다. 따라서 f(x)가 0보다 같거나 큰 구간에서 연속입이 됩니다. 2020. 1. 16.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (26) 구간에서의 연속함수 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(26) 구간에서의 연속함수] 구간에서의 연속함수 우리는 함수가 x=a에서 연속일 조건은 이미 배웠습니다. 어떤 '점'에서의 연속조건인데요. 만약 어떤 '구간'에서 함수가 연속이려면 어떤 조건이 필요할까요? 간단합니다. 점을 구간으로 확장하면됩니다. 어떤 구간에 속하는 모든 실수 x에 대하여 연속이면 됩니다. 이번에는 열린구간, 닫힌구간과 함께 생각해봅시다. 어떤 함수가 열린구간 (a,b)에서 연속이라면, 닫힌구간 [a,b]에서도 연속일까요? 아닙니다. 아래와 같은 반례가 존재하기 때문입니다. 반대로 어떤 함수가 닫힌구간 [a,b] 에서 연속이라면, 열린구간 (a,b) 에서도 연속입니다. 2020. 1. 15.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (25) 열린구간, 닫힌구간 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(25) 열린구간, 닫힌구간] 열린구간, 닫힌구간 x의 구간에 대해 이야기해봅시다. x의 구간은 부등호기호를 이용하여 정의합니다. 아래와 같이 네가지 형태의 구간을 정의할 수 있습니다. a,b는 실수이고 a 2020. 1. 13.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (24) 함수의 연속과 불연속 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(24) 함수의 연속과 불연속] 함수의 연속과 불연속 우리는 함수의 극한에 대해 배운 상태입니다. x=a에서 극한이 존재한다는 것은 우극한과 좌극한이 같다는 조건만 만족하면 됐었습니다. 아래와 같이 그래프가 끊어져 있어도 상관 없었죠. 심지어 함수값이 없어도 상관없었습니다. 수식로 표현하면 아래와 같습니다. 함수가 x=a에서 '연속'이려면 그래프가 끊어져있으면 안되고 연결되어있어야 합니다. 말로 하면 쉽습니다. "끊어지지 않고 연결되어 있으면 돼" 그런데 수학적으로는 어떻게 표현할까요? 극한값과 함수값이 같으면 됩니다. 수식로 표현하면 아래와 같습니다. 만약 어떤 함수가 x=a에서 연속이라면 아래의 세가지 조건을 만족합니다. 1) x=a에서 극한값.. 2020. 1. 10.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (23) 함수의 극한의 대소관계 (샌드위치정리) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(23)함수의 극한의 대소관계 (샌드위치정리)] 함수의 극한의 대소관계 (샌드위치 정리) 두 함수 f(x), g(x), h(x)가 있습니다. f(x)와 g(x)가 x=a에서 극한값을 갖고, 그 값은 각각 아래와 같습니다. 세 함수의 대소관계가 아래와 같다고 합시다. x=a에서 h(x)의 극한값은 무엇일까요? 당연히 L이겠죠? 위 성질을 '샌드위치정리'라고 합니다. 2020. 1. 9.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (22) 함수의 극한의 대소관계 (두 함수의 관계) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(22) 함수의 극한의 대소관계 (두 함수의 관계)] 함수의 극한의 대소관계 (두 함수의 관계) 두 함수 f(x)와 g(x)가 있습니다. 두 함수가 a에서 극한값을 갖는다고 합시다. 만약 f(x)가 g(x)보다 크다면 극한값은 어떻게 될까요? 위와 같이 될까요? 아쉽지만 아닙니다. 반례가 존재합니다. 아래와 같은 경우입니다. (x는 0이 아닌 실수) f(x)에서 g(x)를 빼봅시다. 아래와 같이 고쳐야 성립합니다. 두 함수가 같을 때도 위 명제가 성립하므로, 아래와 같이 쓸 수도 있습니다. 핵심은, f(x)가 g(x)보다 크다고 해서 극한값도 크지는 않을 수 있다는 것입니다. 극한값이 같은 반례가 존재한다는 것을 기억하세요. 2020. 1. 8.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (21) 미정계수의 결정 : x가 무한대로 가는 경우 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(21) 미정계수의 결정 : x가 무한대로 가는 경우] 미정계수의 결정 : x가 무한대로 가는 경우 미정계수는 정해지지 않은 계수입니다. 아닐(미), 정할(정) 입니다. 계수는 뭘까요? 변수 앞에 곱해진 값일까요? 계수는 변수를 제외한 모든 값을 말합니다. 상수항도 '계수'입니다. 미정계수문제의 유형은 x가 어떤 값으로 수렴하는 경우와 무한대로 발산하는 경우로 나뉘는데요. 이번에는 무한대로 발산하는 경우를 알아봅시다. 위 수식에서 a가 미정계수입니다. 미정계수를 결정한다는 것은 극한의 성질을 이용하여 미정계수를 구한다는 것입니다. 위식에서 분자의 차수가 높기 때문에 전체 값은 무한대로 발산하게 됩니다. 수렴하기 위해서는 a가 0이 되야합니다. 따라.. 2020. 1. 7.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (20) 미정계수의 결정 : x가 a로 가는 경우 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(20) 미정계수의 결정 : x가 a로 가는 경우] 미정계수의 결정 : x가 a로 가는 경우 미정계수는 정해지지 않은 계수입니다. 아닐(미), 정할(정) 입니다. 계수는 뭘까요? 변수 앞에 곱해진 값일까요? 계수는 변수를 제외한 모든 값을 말합니다. 상수항도 '계수'입니다. 미정계수문제의 유형은 x가 어떤 값으로 수렴하는 경우와 무한대로 발산하는 경우로 나뉘는데요. 먼저 x가 어떤 값으로 수렴하는 경우를 살펴봅시다. 위 수식에서 a가 미정계수입니다. 미정계수를 결정한다는 것은 극한의 성질을 이용하여 미정계수를 구한다는 것입니다. 위 식에서 분모가 0으로 가고 있습니다. 만약 분자가 어떤 값으로 수렴한다면, 극한값은 무한대로 발산할 것입니다. 그런데.. 2020. 1. 6.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (19) 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영 (무리식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(19) 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영 (무리식 형태)] 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영(무리식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 네번째 유형인 무한대 곱하기 영의 극한값을 구해보겠습니다. 무한대 곱하기 영 유형은 다항식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 무리식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 괄호 안을 통분합시다. 분자를 유리화합니다. 분모를 전개합니다. 분모와 분자를 x로 나눕니다. 아래와 같이 수렴합니다. 2020. 1. 2.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (18) 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영 (다항식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(18) 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영 (다항식 형태)] 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영(다항식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 네번째 유형인 무한대 곱하기 영의 극한값을 구해보겠습니다. 무한대 곱하기 영 유형은 다항식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 다항식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 빨간 부분은 무한대로 발산하고, 파란부분은 0으로 수렴합니다. 어떻게 풀까요? 먼저 괄호 안을 통분합니다. 약분이 가능해집니다. 약분합시다. 따라서 아래와 같이 수렴합니다. 2020. 1. 1.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (17) 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(부정형 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(17) 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(무리식 형태)] 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(무리식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 세번째 유형인 무한대 빼기 무한대 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 무한대 마이너스 무한대 유형은 다항식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 무리식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 분자를 유리화합니다. 분자는 -2이고, 분모는 무한대로 발산하기 때문에 전체 값은 0으로 수렴합니다. 2019. 12. 31.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (16) 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(다항식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(16) 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(다항식 형태)] 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(다항식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 세번째 유형인 무한대 빼기 무한대 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 무한대 마이너스 무한대 유형은 다항식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 다항식 형태의 극한을 구해보겠습니다. x제곱은 무한대로 가고 -3x는 마이너스 무한대로 가고 있습니다. 이럴 때는 최고차항으로 묶어주면 됩니다. 괄호 안은 1로 수렴합니다. 따라서 극한값은 아래와 같습니다. 2019. 12. 27.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (15) 부정형 극한값 - 영 나누기 영(무리식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(15) 부정형 극한값 - 영 나누기 영(무리식 형태)] 부정형 극한값 - 영 나누기 영(무리식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 두번째 유형인 영 나누기 영 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 0/0 유형은 유리식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 무리식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 무리식의 경우 루트가 들어있는 분모 또는 분자를 유리화해주면 됩니다. x-1을 약분합시다. 아래와 같이 수렴합니다. 2019. 12. 26.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (14) 부정형 극한값 - 영 나누기 영(유리식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(14) 부정형 극한값 - 영 나누기 영(유리식 형태)] 부정형 극한값 - 영 나누기 영(유리식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 두번째 유형인 영 나누기 영 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 0/0 유형은 유리식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 유리식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 분모와 분자를 인수분해합니다. 약분이 가능해졌습니다. 약분합시다. 아래와 같이 수렴합니다. 2019. 12. 26.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (13) 부정형 극한값 - 무한대 나누기 무한대 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(13) 부정형의 극한값 - 무한대 나누기 무한대] 부정형 극한값 - 무한대 나누기 무한대 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 첫번째 유형인 무한대 나누기 무한대 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 예제를 통해 알아봅시다. 방법은 간단합니다. 분자와 분모를 최고차항으로 나눠주는 것입니다. 위 예제의 경우 최고차항인 x제곱으로 나눠주면 됩니다. x가 무한대로갈 때, 위 식의 빨간 부분은 전무 0으로 수렴합니다. 따라서 극한값은 아래와 같습니다. 2019. 12. 19.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (12) 극한값 구하기 - 부정형이란? [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(12) 극한값 구하기 - 다항함수] 극한값 구하기 - 부정형이란? 부정형의 '형'은 형태를 말합니다. 부정은 정해지지 않는다는 뜻입니다. 따라서 부정형의 의미를 풀이하면 아래와 같습니다. 부정형 : 정해지지 않은 형태 그래서 뭐가 정해지지 않았다는 걸까요? 극한값이 정해지지 않았다는 말입니다. 아래 극한값을 한번 구해볼까요? 극한값이 0이라는 것을 바로 구할 수 있습니다. 이번에는 아래의 경우를 봅시다. 분모도 0에 가까워져 가고, 분모도 0에 가까워져 갑니다. 0/0 형태입니다. 현재 상태로는 극한값을 정할 수가 없습니다. 이런 형태를 부정형이라고 합니다. 부정형에는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 다음 글부터 한 유형씩 알아봅시다. 2019. 12. 18.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (11) 극한값 구하기 - 다항함수 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(11) 극한값 구하기 - 다항함수] 극한값 구하기 - 다항함수 먼저 다항식이 무엇인지 복습해봅시다. "다항식(polynomial)은 문자의 거듭제곱의 상수 배 여럿의 합을 표현하는 수식이다." (링크 : https://hsm-edu-math.tistory.com/3) 다항함수는 다항식으로 만들어진 함수입니다. 따라서 다항함수는 모든 점에서 극한이 존재합니다. f(x)가 다항함수라면 x가 a로 갈 때, f(x)의 극한값은 f(a)입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 2019. 12. 17.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (10) 함수의 극한의 성질 (나눗셈) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(10) 함수의 극한의 성질 (나눗셈)] 함수의 극한의 성질 (나눗셈) x가 a에 가까워져 갈 때, f(x)는 실수 L에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a에 가까워져 갈 때, g(x)는 실수 M에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a로 갈 때, f(x)를 g(x)로 나누면 어떻게 될까요? x=a에서 함수가 수렴한다는 것은, x=a에서의 좌극한값과 우극한값이 같다는 말입니다. x=a에서 각 함수의 좌극한값과 우극한값이 같으므로, f(x)를 g(x)로 나눠도 좌극한값과 우극한값이 같아집니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. (단, M은 0이 아닙니다.) 2019. 12. 16.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (9) 함수의 극한의 성질 (곱) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(9) 함수의 극한의 성질 (곱)] 함수의 극한의 성질 (곱) x가 a에 가까워져 갈 때, f(x)는 실수 L에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a에 가까워져 갈 때, g(x)는 실수 M에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a로 갈 때, 두 함수의 곱은 어떻게 될까요? x=a에서 함수가 수렴한다는 것은, x=a에서의 좌극한값과 우극한값이 같다는 말입니다. x=a에서 각 함수의 좌극한값과 우극한값이 같으므로, 두 함수의 곱에서도 좌극한값과 우극한값이 같아집니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 이 결과는 함수의 곱을 구할 때 ,두 함수가 수렴하는 경우 극한값을 따로 나눠도 등식이 성립한다.. 2019. 12. 12.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (6) 극한값이 존재할 조건 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(6) 극한값이 존재할 조건] 극한값이 존재할 조건 지난시간에 좌극한과 우극한을 배웠습니다. x=a에서 좌극한과 우극한이 다른 경우를 봅시다. 위 경우는 x=a 에서 극한이 존재하지 않겠죠? 극한이 존재할 조건은 좌극한과 우극한이 같아야합니다. 이 조건이면 충분할까요? 아래 경우를 봅시다. a에서 극한값이 존재하나요? 네 존재합니다. 좌극한과 우극한이 같은 것으로 충분합니다. 이 값을 L이라고 놓겠습니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 위와 같이 x=a에서 우극한과 좌극한이 같다면 x=a에서 극한값이 존재합니다. 반대로 이야기해도 맞습니다. x=a에서 극한값이 존재하면, x=a에서 좌극한과 우극한이 같습니다. 명제와 명제의 역이 둘다 성립하는.. 2019. 12. 4.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (4) 함수의 발산 (x → ∞ 또는 x → -∞) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(4) 함수의 발산 (x → ∞ 또는 x → -∞) ] 함수의 발산 (x → ∞ 또는 x → -∞) 함수 f(x)의 x값이 한없이 커지거나 작아질 때(음의 무한대로 커질 때), f(x)값은 한없이 커지거나 한없이 작아지는(음의 무한대로 커지는) 경우가 있습니다. 아래와 같은 경우들입니다. x가 한없이 작아질 때f(x)값이 한없이 커지면, 함수 f(x)가 양의 무한대로 발산한다고 합니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 한없이 커질 때 f(x)값이 한없이 커지면 함수 f(x)가 양의 무한대로 발산한다고 합니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 한없이 작아질 때 f(x)값이 한없이 작아지면, 함수 f(x)가 음의 무한대로 발산한다고 합니.. 2019. 12. 2.

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