반응형 수학(하)/2. 함수와 그래프42 [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (42) 무리함수의 역함수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(42) 무리함수의 역함수] 무리함수의 역함수 함수 $y=f(x)$ 는 역함수를 구하려면 아래 세가지만 하면 됩니다. 1. x와 y 자리를 바꿔줌 2. y에 대해서 정리함 3. 원래 함수의 치역이 역함수의 정의역이됨. 무리함수의 역함수를 구하는 방법도 동일합니다. $y=\sqrt{2x-3}+5$ 의 역함수를 구해봅시다. 그래프는 아래와 같습니다. 먼저 x와 y의 자리를 바꿔줍니다. $x=\sqrt{2y-3}+5$ 이제 y에 대해서 정리해야합니다. 5를 먼저 이항합니다. $x-5=\sqrt{2y-3}$ 양변을 제곱합니다. $(x-5)^{2}=2y-3$ 3을 이항하고 양변을 바꾸겠습니다. $2y=(x-5)^{2}+3$ 2로 양변을 나눠줍니다. $y=\fra.. 2021. 6. 19. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (41) 무리함수의 그래프 hard [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(41) 무리함수의 그래프 hard] 무리함수의 그래프 hard 무리함수의 그래프는 난이도 별로 세 종류로 나눌 수 있습니다. $y=\pm \sqrt{ax} \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{a(x-p)}+q \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{ax+b}+c \ (a\neq 0)$ 오늘은 세번째 그래프를 공부해봅시다. 플러스 마이너스 이므로 크게 둘로 나뉩니다. 1. $y=\sqrt{ax+b)}+c $ 의 그래프 $y=\sqrt{ax+b}+c $ 를 아래와 같이 변형합니다. $y= \sqrt{ a \left( x+ \frac{b}{a} \right) }+c $ 위 함수의 그래프는 는 $y=\sqrt{ax} $의 그래프를 x축으로 .. 2021. 6. 12. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (40) 무리함수의 그래프 normal [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(40) 무리함수의 그래프 normal] 무리함수의 그래프 normal 무리함수의 그래프는 난이도 별로 세 종류로 나눌 수 있습니다. $y=\pm \sqrt{ax} \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{a(x-p)}+q \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{ax+b}+c \ (a\neq 0)$ 오늘은 두번째 그래프를 공부해봅시다. 플러스 마이너스 이므로 크게 둘로 나뉩니다. 1. $y=\sqrt{a(x-p)}+q $ 의 그래프 $y=\sqrt{a(x-p)}+q $ 는 $y=\sqrt{ax} $의 그래프를 x축으로 p, y축으로 q만큼 이동시킨 그래프입니다. $a>0$ 인 경우의 정의역과 치역은 아래와 같습니다. 정의역 : $\left .. 2021. 5. 29. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (39) 무리함수의 그래프 easy [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(39) 무리함수의 그래프 easy] 무리함수의 그래프 easy 무리함수의 그래프는 난이도 별로 세 종류로 나눌 수 있습니다. $y=\pm \sqrt{ax} \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{a(x-p)}+q \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{ax+b}+c \ (a\neq 0)$ 오늘은 가장 쉬운 형태인 첫번째 형태의 그래프를 공부해봅시다. 플러스 마이너스 이므로 첫번째 형태도 크게 둘로 나뉩니다. 1) $y=\sqrt{ax} $ 의 그래프 $y=\sqrt{ax} $의 그래프는 아래와 같습니다. $a>0$ 인 경우의 정의역과 치역은 아래와 같습니다. 정의역 : $\left \{ x|x \geq 0 \right \}$ 치역 : $.. 2021. 5. 22. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (38) 무리함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(38) 무리함수란 무엇인가] 무리함수란 무엇인가 우리가 지금까지 배운 함수는 다항함수와 유리함수입니다. 다항함수와 유리함수의 정의는 아래와 같습니다. $y=f(x)$에서 $f(x)$ 가 $x$에 대한 다항식인 함수 $y=f(x)$에서 $f(x)$ 가 $x$에 대한 유리식인 함수 포함 관계는 아래와 같습니다. 같은 맥락에서 무리함수는 아래와 같이 정의됩니다. $y=f(x)$에서 $f(x)$ 가 $x$에 대한 무리식인 함수 예를 들면 아래와 같습니다. $y=\sqrt{x}$ $y=\sqrt{2x-3}$ $y=\sqrt{-3x+5}-2$ $y=\sqrt{\frac{-3x+5}{x-3}}-2$ 2021. 5. 19. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (37) 무리식 분모의 유리화 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(37) 무리식 분모의 유리와] 무리식 분모의 유리화 무리식을 계산할 때 분모를 유리화해야하는 경우가 있습니다. 무리식 a와 b가 있고, 두 무리식이 0보다 클 경우 아래와 같이 분모를 유리화해줄 수 있습니다. 2,3번은 곱셉공식의 합차공식을 사용합니다. $1) \ \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b} \sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$ $2) \ \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{ c(\sqrt{a} - \sqrt{b} ) }{ (\sqrt{a} + \sqrt{b} )( \sqrt{a} - \sqrt{b} ) } =\frac{ c(\sqrt{a} - \sqrt{b} ) }{ a.. 2021. 5. 18. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (36) 무리식의 곱셈과 나눗셈 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(36) 무리식의 곱셈과 나눗셈] 무리식의 곱셈과 나눗셈 무리식 $a$와 $b$가 있다고 합시다. 두 무리식이 0보다 클 때 아래 연산이 성립합니다. $1) \ \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ $2) \ \sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$ $3) \ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ $4) \ \sqrt{\frac{a}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{a}}{b}$ 증명을 하지는 않겠습니다. 원래 1+1=2 처럼 직관적으로 당연하게 받아들여지는 내용이 증명이 더 어렵습니다. 2021. 5. 4. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (35) 무리식의 정의 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(35) 무리식의 정의] 무리식의 정의 우리가 지금까지 배운 식은 '다항식'과 '유리식'입니다. 유리식은 다항식을 포함하는 더 큰 개념입니다. 아래와 같이 분류할 수 있습니다. 분수식은 다항식의 비로 표현되는 식입니다. 무리식은 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 말합니다. 무리수가 유리수로 나타낼 수 없는 실수 였던 것과 같은 맥락입니다. 유리식과 무리식을 합쳐서 '식'이라고 합니다. 무리식을 예로 들면 아래와 같습니다. $\sqrt{x+1}$ $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ 다항식도 아니고, 다항식의 비도 아니므로 유리식이 아닙니다. 유리식이 아닌 식이 무리식이므로, 위 식은 무리식입니다. 질문을 하나 하겠습니다. 아래 식은 무리식일까요 아닐까.. 2021. 4. 20. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (34) 유리함수의 역함수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(34) 유리함수의 역함수] 유리함수의 역함수 유리함수의 형태는 아래와 같이 세 종류가 있습니다. easy normal hard $y=\frac{k}{x} \ (k\neq 0)$ $y=\frac{k}{x-p}+q \ (k \neq 0)$ $y=\frac{ax+b}{cx+d} \ (ad-bc\neq 0,c\neq 0)$ 1. easy 버전 역함수 $y=\frac{k}{x}$ 에서 x와 y의 자리를 바꿉니다. $x=\frac{k}{y}$ y에 대하여 정리합시다. $y=\frac{k}{x}$ 자기자신이 됩니다. $y=\frac{k}{x}$ 의 역함수는 자기자신입니다. 지난 강의에서 그래프를 그릴 때, $y=x$ 대칭이었던 것을 기억하실겁니다. 2. norma.. 2021. 4. 10. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (33) 유리함수의 그래프 - hard [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(33) 유리함수의 그래프- hard] 유리함수의 그래프 - hard 유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 어려운 난이도인 $y=\frac{ax+b}{cx+d} \ (ad-bc \neq 0,c \neq0)$입니다. hard 버전은 normal 버전의 형태로 변형하여 그래프를 그립니다. 과정에서 왜 괄호 안의 조건이 붙어야 하는지도 알아봅시다. 먼저 아래와 같이 변형합니다. $y=\frac{\frac{a}{c}(cx)+b}{cx+d}$ 아래와 같이 c를 더하고 뺴줍니다. $y=\frac{\frac{a}{c}(cx+d-d)+b}{cx+d}$ d를 괄호 밖으로 꺼내줍니다. $y=\frac{\frac{a}{c}(cx+.. 2021. 4. 8. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (32) 유리함수의 그래프 - normal [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(31) 유리함수의 그래프- normal] 유리함수의 그래프 - normal 유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 중간 난이도인 $y=\frac{k}{x-p}+q \ (k\neq 0)$입니다. 지난 시간에 배운 $y=\frac{k}{x}$ 를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프입니다. $y=\frac{k}{x-p}+q \ (k\neq 0)$ 의 그래프는 아래와 같습니다. 위 그래프의 몇가지 성질을 정리해봅시다. 1) 점근선은 직선 $x=p$ 와 $y=q$이다. 2) k의 절댓값이 커질 수록 그래프가 원점에서 멀어진다. 3) 그래프는 점 (p,q)에 대해 대칭이다. 4) 그래프는 $ y=(x-p).. 2021. 4. 3. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (31) 유리함수의 그래프 - easy 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(31) 유리함수의 그래프- easy] 유리함수의 그래프 - easy 유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 가장 쉬운 형태인 $y=\frac{k}{x} \ (k\neq 0)$의 그래프에 대한 설명입니다. 유리함수 $y=\frac{k}{x} \ (k\neq 0)$ 의 그래프는 아래와 같습니다. 위 그래프의 몇가지 성질을 정리해봅시다. 1) k 가 양수이면 1,3 사분면에 그래프가 그려진다. 2) k 가 음수이면 2,4 사분면에 그래프가 그려진다. 3) 점근선은 x축과 y축이다. 4) k의 절댓값이 커질 수록 그래프가 원점에서 멀어진다. 5) 그래프는 원점에 대해 대칭이다. 6) 그래프는 y=x 에 대해 대칭이다. .. 2021. 3. 31. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (30) 유리함수의 정의역 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(30) 유리함수의 정의역] 유리함수의 정의역 다항함수의 정의역은 모든 실수였습니다. 예를들어 $y=3x+1$ 의 x값은 모든 실수가 될 수 있습니다. 유리함수는 다항함수와 분수함수를 포함합니다. 분수함수는 모든 실수를 정의역으로 가질 수 없습니다. 분모를 0으로 만드는 x값이 있기 때문입니다. 아래 함수를 봅시다. $y=\frac{1}{x-3}$ x가 3이면 분모가 0이 되어 정의되지 않습니다. 따라서 위 함수의 정의역은 3이 아닌 실수입니다. 정의역을 조건제시법으로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. { x | x≠3 인 실수} 아래와 같이 표현할 수도 있습니다. $\left \{ x \in \mathbb{R} :x\neq 3 \right \} $ 2021. 3. 9. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (29) 유리함수 무엇인가 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(29) 유리함수 무엇인가] 유리함수 무엇인가 유리함수는 유리식으로 되어 있는 함수입니다. $y=f(x)$에서 $f(x)$가 유리식인 함수입니다. 몇가지 유리함수를 예로 들면 아래와 같습니다. $y=2x+1, \ y=\frac{1}{x+1}, \ y=\frac{3x-1}{x+5}, \ y=\frac{x^{2}+3}{5x-1}$ 우리에게 익숙한 함수인 다항함수도 유리함수입니다. 다항함수는 분자가 1인 유리함수라고 생각하시면 됩니다. 유리함수를 굳이 나누자면 다항함수와 분수함수로 나눌 수 있습니다. 이는 유리수가 정수를 포함한다는 것, 유리식이 다항식을 포함한다는 것과 일맥상통합니다. 2021. 3. 3. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (28) 유리식의 계산 (분모가 다항식의 곱) 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(28) 유리식의 계산(분모가 다항식의 곱)] 유리식의 계산 (분모가 다항식의 곱) 유리식을 계산하는 방법입니다. 유리식을 계산한다는 것은 유리식을 최대한 간단히 만든다는 의미입니다. 누군가에게는 당연한 내용일 것이고, 누군가에게는 테크닉을 익히는 귀찮은 과정일겁니다. 이런저런 문제를 풀 때 유리식을 간단히 만들어야 하는 상황을 위한 준비라고 생각합니다. 아래와 같은 몇가지 유형이 있습니다. 1) 분모차수 > 분자차수 2) 분모가 다항식의 곱 이번 글은 두번째 경우입니다. 아래 수식을 봅시다. $\frac{1}{AB}$ A와 B는 어떤 다항식입니다. 위 수식은 아래와 같이 두개의 분수로 나뉘집니다. 이를 "부분분수로 변형한다"라고 합니다. $\frac{1.. 2021. 2. 24. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (27) 유리식의 계산 (분모차수≥분자차수) 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(28) 유리식의 계산(분모가 다항식의 곱)] 유리식의 계산 (분모차수 ≥ 분자차수) 유리식을 계산하는 방법입니다. 유리식을 계산한다는 것은 유리식을 최대한 간단히 만든다는 의미입니다. 누군가에게는 당연한 내용일 것이고, 누군가에게는 테크닉을 익히는 귀찮은 과정일겁니다. 이런저런 문제를 풀 때 유리식을 간단히 만들어야 하는 상황을 위한 준비라고 생각합니다. 아래와 같은 몇가지 유형이 있습니다. 1) 분모차수 > 분자차수 2) 분모가 다항식의 곱 이번 글은 첫번째 경우입니다. 아래 수식을 봅시다. $\frac{x^{2}+2x+1}{x+1}+\frac{x^{2}-3x+2}{x+2}$ 통분을 하면 전개해야할 수식이 너무 많습니다. 이런 경우 아래와 같이 변형합.. 2021. 2. 16. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (26) 유리식의 사칙연산 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(26) 유리식의 사칙연산] 유리식의 사칙연산 유리식의 사칙연산은 유리수의 사칙연산과 원리가 같습니다. 유리식도 유리수처럼 사칙연산에 대해 닫혀 있습니다. 1) 덧셈과 뺄셈 통분해줍니다. $\frac{A}{B}+\frac{D}{C}=\frac{AC+DB}{BC}$ $\frac{A}{B}-\frac{D}{C}=\frac{AC-DB}{BC}$ 2) 곱셈 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 곱합니다. $\frac{A}{B} \times \frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$ 3) 나눗셈 나누기를 곱하기로 바꾸고 역수를 취하여 곱해줍니다. $\frac{A}{B} \div \frac{D}{C}=\frac{A}{B} \times \frac{C}{D}$ 2021. 2. 9. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (25) 유리식의 정의 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(25) 유리식의 정의] 유리식의 정의 유리식은 다항식/다항식 으로 표현되는 식입니다. 두 다항식 A,B 가 있을 때 아래와 같이 표현되는 식이 유리식입니다. $\frac{A}{B}$ 식이 정의되어야 하므로, B는 0이 아니라는 조건이 필요합니다. 다항식이 무엇인지는 기억나나요? 다항식은 단항식들의 덧셈으로 이루어진 식입니다. 단항식은 수와 문자의 곱으로 이루어진 식입니다. 다항식의 예는 아래와 같습니다. $3x^{2}+5xy-3$ 유리식의 예는 아래와 같습니다. $\frac{3x^{2}+5xy-3}{3x+3}$ 2021. 2. 2. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (24) 역함수의 그래프 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(24) 역함수의 그래프] 역함수의 성질 그래프 $y=f(x)$ 라는 함수가 있다고 해봅시다. 이 함수의 역함수를 $y=f^{-1}(x)$ 라고 합시다. $y=f(x)$ 위에 한 점 $(a,b)$ 가 있을 때, $f(a)=b$ 입니다. 역함수에서는 정의역과 치역이 서로 바뀌므로 $a=f^{-1}(b)$ 가 됩니다. 이 원리를 이용하면 $y=f(x)$위의 임의의 점 $(a,b)$ 에 대응하는 점 $(b,a)$가 역함수 $y=f^{-1}(x)$ 에 존재함을 알 수 있습니다. 점 $(a,b)$ 와 $(b,a)$ 는 $y=x$ 라는 직선에 대해 대칭관계입니다. 따라서 함수 $y=f(x)$ 와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$ 는 직선 $y=x$에 대하.. 2021. 1. 26. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (23) 역함수의 성질 (함수 2개 이상) [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(23) 역함수의 성질 (함수 2개)] 역함수의 성질 (함수2개 이상) 역함수는 아래와 같은 4가지 성질을 같습니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. 4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 이번 글에서는 3,4번을 증명해봅시다. 3번은 두개의 함수, 4번은 두개 이상의 함수를 다루는 경우입니다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. 수식으로.. 2021. 1. 5. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (22) 역함수의 성질 (함수 1개) [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(22) 역함수의 성질 (함수 1개)] 역함수의 성질 (함수1개) 역함수는 아래와 같은 4가지 성질을 같습니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. ㅇ4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 이번 글에서는 1,2번을 증명해봅시다. 1,2번은 한가지 함수만을 다루는 경우입니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $$(f^{-1})^{-1}=f$$ 아래 그림에서 역함수는 화살.. 2020. 12. 29. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (21) 역함수 구하는 방법 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(21) 역함수 구하는 방법] 역함수 구하는 방법 $y=f(x)$ 의 역함수를 구하는 방법을 알아봅시다. 한가지 예시를 통해 역함수를 구해보고 일반화시켜봅시다. $y=3x+2$ 의 역함수를 구해봅시다. 먼저 "일대일 대응"인지확인해야합니다. 일대일대응 함수여야 역함수가 존재하기 때문입니다. 일단 일대일함수입니다. $x$값 하나당 $y$이 하나만 존재합니다. 또한 정의역, 공역, 치역 모두 실수 전체의 집합입니다. 일대일 함수에 공역과 치역이 같으므로 일대일 대응입니다. 어떤 함수의 역함수는 치역과 정의역이 뒤바뀐 것입니다. 따라서 $y=3x+2$ 함수에서 $x$와 $y$의 자리를 바꿔줍니다. $$x=3y+2$$ 이제 $y=f^{-1}(x)$ 형.. 2020. 12. 22. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (20) 역함수가 존재할 조건 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(20) 역함수가 존재할 조건] 역함수가 존재할 조건 함수 f: X→Y 의 역함수가 존재할 조건을 알아봅시다. 역함수가 존재하지 않는 경우를 살펴보며 존재할 조건을 알아내도록 합시다. 1) 공역과 치역이 다른 경우 역함수가 존재하지 않습니다. 따라서 공역과 치역이 같아야 합니다. 2) 함수값이 중복되는 경우 역함수가 존재하지 않습니다. 따라서 일대일 함수여야 합니다. 두 조건을 종합해보면, 공역과 치역이 같아야 하고 일대일함수여야합니다. 공역과 치역이 같고 일대일 함수인 경우는 '일대일 대응'입니다. 역함수가 존재할 조건은 '일대일 대응'입니다. 반대로 두 함수가 일대일 대응이여도 역함수가 존재합니다. 따라서 일대일 대응은 역함수가 존재할 필요.. 2020. 12. 15. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (19) 역함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(19) 역함수란 무엇인가] 역함수란 무엇인가 역함수는 함수를 반대방향으로 정의한 것입니다. 정의역이 치역이 되고, 치역이 정의역이 되는 것입니다. 화살표 방향이 반대로 바뀐다고 이해하시면 됩니다. 아래 함수 f(x)를 봅시다. f(x)를 반대방향으로 정의하면 아래와 같습니다. 기호로는 로 나타냅니다. 이 함수를 f(x)의 역함수라고 부릅니다. 기호를 이용하여 함수 f(x)와 그 역함수를 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 12. 8. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴] 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 세번째 성질을 증명해봅시다. 항등함수와 합성 시 자기 자신이 나온다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 증명해봅시다. 먼저 첫번째 식의 순서로 항등함수와 f를 함성하면 아래와 같습니다. 정의역을 x로 놓겠습니다. 항등함수 I(x) 는 x입니다. I(x)=x 이므로 아래와 같이 변형됩니다. 이번에는 두번째 식의 순서로 항등함수와 f를 합성해 봅시다. 위에서와 같은 이유로 아래와 같이 변형됩니다.. 2020. 12. 1. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함] 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 두번째 성질을 증명해봅시다. 결합법칙이 성립한다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 이 등식의 성립을 증명하기 전에, 조건부터 알아봅시다. 아무 함수에서나 성립하는 조건은 아닙니다. 일단 합성이 가능해야합니다. f와 g가 합성이 가능하고, g와 h가 합성이 가능하려면 함수가 아래와 같이 정의되어 있어야 합니다. 임의의 집합 X,Y,Z,W 에서 정의된 함수 f,g,h 는 아래와 같다. 이제 결합법칙을 증명해봅시다. 좌변의 경우 .. 2020. 11. 24. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함] 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 첫번째 성질을 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 합성함수에서 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 두 함수 f, g에 대하여 이제 위 등식이 성립하지 않는다는 것을 증명해 봅시다. 수학에서 대표적인 증명방법은 아래의 네가지가 있습니다. - 직접증명- 수학적 귀납법- 귀류법- 반례 반례를 이용하여 증명하겠습니다. 반례가 하나라도 존재한다면 위 등식은 성립하지 않는 것입니다. 두 함수를 아래와 같이 놓겠습.. 2020. 11. 24. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건] 함수의 합성이 가능하기 위한 조건 아무 함수나 합성이 가능한 것은 아닙니다. 합성이 가능한 상황과, 불가능한 상황을 살펴보며 언제 합성이 가능한지 알아봅시다. 아래 두 함수 f와 g를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 알아보는 방법은 g(f(x)) 라는 합성함수에 정의역 1,2,3,4,5 를 하나씩 대입해서 함수값이 존재하는지 알아보는 것입니다. g(f(1)) 은 얼마일까요? a입니다. 같은방법으로 확인하다 보면 g(f(5)) 의 값이 정의되지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 위 함수는 정의될 수 없습니다. 이번엔 아래 함수를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 확인해봅시다. g(f(1.. 2020. 11. 18. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (14) 합성함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(14)합성함수란 무엇인가] 합성함수란 무엇인가 세 집합이 있다고 합시다. 세 집합을 X, Y, Z 라고 놓겠습니다. 세 집합으로 함수를 정의하겠습니다. X에서 Y로의 함수를 하나 정의하고 f(x)라고 놓겠습니다. Y에서 Z로의 함수를 하나 정의하고 g(x)라고 놓겠습니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다. f(x) 와 g(x)를 이용하면, X에서 Z로의 함수를 하나 정의할 수 있습니다. g(f(x)) 입니다. 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 합니다. g(f(x)) : f와 g의 합성함수 합성함수를 나타내는 기호도 있습니다. 아래와 같은 기호를 사용합니다. 위 함수를 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 10. 20. [모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (13)상수함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(13)상수함수의 개수] 상수함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 5개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 상수 함수의 개수를 구해봅시다. 상수 함수는 X의 함수값이 전부 하나의 Y값으로 가는 경우를 말합니다. 따라서 위 경우 상수함수의 개수는 5가지입니다. 일반화시켜봅시다. 집합 X의 원소 수를 n개, Y의 원소 수를 m개 라고 합시다. 위 경우, 상수함수의 개수는 m개 입니다. 2020. 10. 13. 이전 1 2 다음 반응형
