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통계24

[5분 고등수학] 원의 벡터방정식 원의 정의는 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 집합입니다. 이 일정한 거리를 반지름 r이라고 놓구요. 한 점을 $C(a,b)$ 라고 놓겠습니다. 이 점의 위치벡터를 $\vec{c}$ 라고 합시다. 이 원 위의 임의의 점을 $P(x,y)$라고 하겠습니다. 점 P의 위치벡터를 $\vec{p}$ 라고 합시다. 벡터 CP의 길이는 r이므로 아래 등식이 성립합니다. $\left | \overrightarrow{CP} \right |=r$ (1) 벡터 $\left | \overrightarrow{CP} \right |$ 를 $\vec{c}$ 와 $\vec{p}$ 로 표현하면 아래와 같습니다. $\overrightarrow{CP}=\vec{p}-\vec{c}$ (1) 번식에 대입하면 아래와 같이 변형됩니다... 2022. 4. 28.

[5분 고등수학] 모평균 추정의원리 표본평균의 평균은 모평균과 같고, 표본평균의 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 것과 같다는 것을 배운 상태입니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $E\left(\overline {X}\right)=m$ $V\left(\overline {X}\right)=\frac{ {\sigma }^2}{n}$ 표본의 크기 n이 충분히 큰 경우에 표본평균의 분포가 정규분포를 따른다는 것도 배웠습니다. $\overline {X}\sim N\left(m,\frac{ {\sigma }^2}{n}\right)$ 위 성질을 이용하면 모평균의 구간을 추정해볼 수 있습니다. 먼저 표본평균의 분포를 그래프로 그려봅시다. 위 그래프에서 넓이가 95% 인 구간을 표시하면 아래와 같습니다. 95% 신뢰구간은 아래와 같습니다. $m-.. 2022. 3. 29.

[5분 고등수학] 표본평균의 평균과 분산 먼저 모집단에서 표본을 뽑는 상황을 가정해봅시다. 모집단은 영어로 population 이라고 합니다. 모집단의 평균을 m, 모집단의 분산을 σ² 라고 합시다. 모집단의 평균이나 분산과 같은 모집단의 통계량을 '모수'라고 합니다. 모수 : 모집단의 통계량 모집단을 하나 가정하고 표본을 뽑아봅시다. 모집단은 대한민국 국민이고, 우리가 궁금한 것은 대한민국 국민의 키라고 해봅시다. 대한민국 국민 전체 키의 평균을 냈더니 m이었고, 분산이 σ² 였습니다. 그런데, 이런 평균과 분산이 존재하는 것은 확실하지만 실제로 구할 수 가 있을까요? 모든 국민을 다 조사해서 구하는 것은 불가능합니다. 이런 이유로 표본을 뽑는 것입니다. 국민의 일부를 표본으로 뽑아서 그 키를 측정하는 겁니다. 1) 표본평균의 평균 첫번째 표.. 2022. 3. 17.

[5분 고등수학] 독립시행 독립시행의 정의는 아래와 같습니다. "어떤 시행을 여러번 반복할 때, 각 시행이 서로 독립인 경우의 시행" 예를 들면 주사위 던지기가 있습니다. 우리가 주사위를 던질 때, 이번에 2가 나왔다고 해서 다음번에 2가 나올 확률이 달라지지 않죠. 매번 던질 때마다 각각의 눈이 나올 확률은 1/6으로 일정합니다. 이런 시행을 독립시행이라고 합니다. 이번에는 독립시행의 확률을 공부해봅시다. 독립시행의 확률의 정의는 아래와 같습니다. "시행을 1번 했을 때, A가 발생할 확률을 P라고 하자. 이 시행을 n번 했을 때 A가 r번 일어날 확률이 '독립시행의 확률'이다" 예를들어 봅시다. 주사위를 한번 던질 때, 홀수의 눈이 나올 확률을 1/2입니다. 이 주사위를 n번 던졌을 때, 홀수의 눈이 r번 나올 확률이 독립시행.. 2022. 3. 2.

[5분 고등수학] 조건부 확률 & 확률의 곱셈정리 먼저 조건부확률의 정의를 말씀드리겠습니다. 조건부확률은 사건 A가 일어났다는 조건 하에, 사건 B가 일어날 호가률입니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $P\left({B}|{A}\right)$ 위 수식의 나온 기호 | 는 bar라고 부릅니다. 집합의 조건제시법에서도 사용된 기호입니다. 조건부 확률을 계산해봅시다. 아래와 같은 표본공간이 있습니다. 이 표본공간에서 A라는 사건이 발생한겁니다. A가 발생했기 때문에, 표본공간이 A로 좁혀집니다. 이런 상황에서 B가 발생하는 사건은 A와 B가 겹치는 부분이 됩니다. 따라서 확률은 아래와 같이 계산됩니다. $P\left({B}|{A}\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}$ 우변의 분자와 분모를 n(S.. 2022. 2. 28.

[5분 고등수학] 이항계수의 네가지 성질 이항정리를 이용해서 아래 식을 전개해보겠습니다. ${\left({1+x}\right)}^n=_n{C}_n{x}^n+_n{C}_{n-1}{x}^{n-1}+...+_n{C}_2{x}^2+_n{C}_1{x}+_n{C}_0$ 1) x에 1을 넣어봅시다. $2^n=_n{C}_n+_n{C}_{n-1}+...+_n{C}_2+_n{C}_1+_n{C}_0$ 적용을 해봅시다. 아래 식을 계산한 값이 얼마일까요? $_{15}{C}_0+_{15}{C}_1+_{15}{C}_2+...+_{15}{C}_{14}+_{15}{C}_{15}$ 손으로 계산하려면 엄두가 나지 않는데요. 위 식을 이용하면 쉽게 계산됩니다. $_{15}{C}_0+_{15}{C}_1+_{15}{C}_2+...+_{15}{C}_{14}+_{15}{C}_{15}=.. 2022. 2. 22.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (32) 모평균의 추정 [확률과통계]-[3.통계]-[②통계적 추정]-[(32) 모평균의 추정] 모평균의 추정 모집단에서 표본을 추출하는 이유는 표본이 궁금해서가 아니라, 모집단이 궁금하기 때문입니다. 따라서 우리는 추출한 표본을 이용하여 모집단의 특성을 최대한 추측할 것입니다. 모집단의 특성 중에는 모집단의 통계량이 있습니다. 모집단의 통계량은 모수라고 합니다. 모집단의 통계량 (모수) : 모집단의 평균, 분산, 표준편차 등 이렇게 표본을 이용하여 모집단의 특성들을 추측하는 것을 추정이라고 합니다. 고등학교 과정에서는 모집단의 평균만을 추정합니다. 추정에는 '점추정'과 '구간 추정' 두가지가 있습니다. 점추정은 모집단의 통계량을 하나의 값으로 추정하는 것이고, 구간 추정은 어떤 범위 사이에 있다고 추정하는 것입니다. 우리는 이.. 2019. 11. 18.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (31) 표본평균의 분포 [확률과통계]-[3.통계]-[②통계적 추정]-[(31) 표본평균의 분포] 표본평균의 분포 지난 글에서 표본평균들의 평균이 모평균과 같고, 표본평균들의 분산은 모집단의 분산을 표본의 크기로 나눈 것과 같다는 것을 배웠습니다. 만약 모집단이 정규분포를 따른다면, 표본평균의 분포는 항상 정규분포를 따릅니다. 고등학교 과정에서는 알려져있다라고 배우는데 증명은 가능합니다. 증명이 준비되면 링크로 달겠습니다. 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도, 표본의 크기가 충분히 크면 표본평균의 분포를 정규분포에 근사시킬 수 있습니다. n이 커질 수록 표본평균의 분포는 정규분포에 가까워져 갑니다. 이 성질은 통계학에서 가장 중요한 성질 중 하나입니다. '중심 극한정리'라고 부르는데 증명이 궁금하신 분들을 위해 링크를 달아놓겠습.. 2019. 11. 14.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (27) 임의추출 (복원추출, 비복원추출) [확률과통계]-[3.통계]-[②통계적 추정]-[(27) 임의추출 (복원추출, 비복원추출)] 임의추출 (복원추출, 비복원추출) 모집단에서 표본을 뽑는 것을 '추출'이라고 합니다. 표본을 추출할 때, 각 표본들을 동일한 확률로 뽑는 것이 중요한 상황들이 있습니다. 로또 번호를 추첨한다고 할 때, 번호마다 뽑힐 확률이 다르다면 '번호 맞추기'가 아니라 사기가 될 것입니다. 또 설문 조사를 할 때, 설문조사를 하는 설문조사를 하는 사람이 본인 스타일만 골라서 설문조사를 한다면 공정한 설문이 되지 않을 것입니다. 모집단에 속하는 표본 혹은 대상을 같은 확률로 추출하는 것을 '임의추출'이라고 합니다. 임의추출은 무작위추출이라고도 부른다. 임의추출에는 두 가지가 있습니다. 로또 번호를 추첨할 때, 뽑힌 공을 다시 넣.. 2019. 11. 6.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (26) 모집단과 표본추출 [확률과통계]-[3.통계]-[②통계적 추정]-[(26) 모집단과 표본추출] 모집단과 표본추출 지난 글에서 대한민국 40대 이상 인구 중에서 너튜버 '보겸'을 아는 사람이 몇 %인지 알고 싶은 상황을 가정했습니다. 비용과 시간 등의 문제로 40대 인구 전체를 조사할 수 없으니, 일부를 뽑아서 조사했다고 했습니다. 이 예시에서 대한민국 40대 이상 인구 전체를 '모집단'이라고 합니다. 어떤 조사를 하려고 했을 때, 대상이 되는 전체집단이 '모집단'입니다. 전체집단에서 일부를 뽑았다고 했는데, 이를 '표본'이라고 합니다. 어떤 조사를 하기 위해 모집단에서 일부를 뽑은 것을 표본이라고 합니다. 이렇게 모집단에서 표본을 뽑는 행위를 '표본추출'이라고 합니다. 또 우리가 뽑은 자료의 수(위 경우에는 사람의 수)를 .. 2019. 11. 4.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (25) 통계 조사 (전수조사, 표본조사) [확률과통계]-[3.통계]-[②통계적 추정]-[(25) 통계 조사 (전수조사, 표본조사)] 통계 조사 (전수조사, 표본조사) 어떤 집단의 어떤 특성을 조사하고 싶은 상황입니다. 예를 들면 대한민국 40대 이상 인구 중에서 너튜버 '보겸'을 아는 사람이 몇 %인지 알고 싶었습니다. 돈과 시간이 아주 많은 사람이라면 대한민국의 40대 이상인 모든 사람을 찾아가서 물어볼 수 있겠죠. 이런 방식의 조사를 '전수조사'라고 합니다. 보통 전수조사는 하기 어렵습니다. 40대 이상의 인구를 어떻게 다 조사할까요. 못해요. 그래서 전체 집단 중일부을 뽑습니다. 40대 이상인 사람을 임의로 500명 정도 뽑습니다. 그리고 보겸을 아냐고 물어봐요. 예를들어 100명이 안다고 대답했다면 20%가 알고 있는 것이죠. 이렇게 전.. 2019. 11. 3.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (21) 표준정규분포표 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(21) 표준정규분포표] 표준정규분포표 표준정규분포 함수는 아래와 같습니다. 그래프로 그리면 아래와 같습니다. 아래의 넓이를 봅시다. 이 넓이는 확률입니다. 아래의 확률을 나타냅니다. 이 확률을 표로 구해놓은 것이 표준정규분포표입니다. a를 바꿔가면서 값을 구해놓은 것이죠. 아래 방향으로는 a가 0.1씩 증가하고, 오른쪽으로는 0.01씩 증가합니다. 예를들어 a가 0.15일 때의 확률은, 0.0596 입니다. 이 값을 왜 구해놓을 걸까요? 모든 정규분포의 확률을 이 표 하나로 구할 수가 있습니다. '표준화'를 이용하면 되는데요. 이후에 설명하겠습니다. 2019. 10. 27.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (20) 표준정규분포 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(20) 표준정규분포] 표준정규분포 아래와 같은 정규분포함수가 있습니다. m이 평균이고, σ 가 표준편차였습니다. m이 0이고, σ 가 1인 정규분포도 있을 것입니다. 이런 정규분포를 '표준정규분포'라고 합니다. 확률밀도함수는 아래와 같고, 보통 표준정규분포의 확률변수는 Z로 나타냅니다. 그래프는 아래와 같습니다. 2019. 10. 25.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (17) 정규분포 (+유도과정 영상) [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(17) 정규분포] 정규분포 정규분포는 아래와 같은 확률밀도함수를 갖는 확률변수 X의 확률분포입니다. m은 확률변수 X의 평균이고, σ 는 표준편차입니다. 함수를 잘 뜯어보면 지수함수입니다. 밑이 e(자연상수)인 지수함수입니다. 갑자기 복잡한 모양의 함수가 왜 등장했나 궁금하실텐데요. 이 정규분포는 사회의 여러 현상들을 설명하는 함수입니다. 예를 들어 전국민 키를 조사해서 분포를 그려보면, 정규분포와 같은 모양으로 그려집니다. 키 뿐만 아니라 몸무게나 다른 여러 사회 현상 자료들로 그래프를 그려보면 정규분포와 같은 모양을 하는 경우가 많습니다. 어떤 현상을 수학적으로 표현할 수 있다는 것에는 굉장한 유익이 있습니다. 정규분포는 사회현상을 수학적으로 표현할 수 있.. 2019. 10. 22.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (15) 확률밀도함수 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(15) 확률밀도함수] 확률밀도함수 확률분포를 나타내는 함수를 확률분포함수라고 부릅니다. 확률변수의 종류에 따라 확률분포함수를 부르는 용어가 달라집니다. 이산확률변수의 확률분포함수를 '확률질량함수'라고 불렀었는데요. 연속확률변수의 확률분포함수를 '확률밀도함수'라고 부릅니다. - 이산확률변수 → 확률질량함수- 연속확률변수 → 확률밀도함수 확률질량함수는 함수값이 곧 확률인 함수였습니다. 예를들어 동전을 던지는 시행의 확률질량함수를 그려보면 아래와 같습니다. 확률밀도함수는 함수 값이 확률이 아니라, 어떤 구간의 넓이가 확률인 함수입니다. 예시를 통해 이해해봅시다. 시계가 하나 있고, 시침을 튕겨서 돌린다고 해봅시다. 이때 시침이 멈추는 위치의 각도를 12시를 기준으로.. 2019. 10. 17.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (14) 연속확률변수 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(14) 연속확률변수] 연속확률변수 확률변수는 두가지가 있습니다. - 이산확률변수- 연속확률변수 이산확률변수는 지난강의에서 배웠습니다. 오늘은 연속확률변수를 배워봅시다. 이산확률변수는 "셀 수 있는 변수"였습니다. 셀 수 있다는 말이 "개수가 유한하다"는 말이 아니라는 것을 이미 배웠습니다. 개수가 무한해도 이산확률변수가 될 수 있습니다. 확률변수가 모든 자연수집합이라면, 개수가 무한하지만 셀 수 있습니다. 셀 수 있다는 것은 전체가 몇개인지 말 할 수 있다는게 아니라, 1-2-3-4-5....이렇게 순서대로 카운트 할 수 있다는 것입니다. 그렇다면 연속확률변수는 무엇일까요? 먼저 떠오르는 말은 "셀 수 없는 변수"일 것입니다. 셀 수 없다는 말도 맞는데, 셀 .. 2019. 10. 16.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (10) 이항분포 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(10) 이항분포] 이항분포 시행을 1번 했을 때, 어떤 사건이 일어날 확률을 p라고 합시다. 이때 이 사건이 일어나지 않을 확률은 (1-p)입니다. 이러한 시행을 n번 했다고 해봅시다. 사건이 발생한 횟수를 X라고 놓는다면, 사건이 X번 발생할 확률은 P(X)라고 놓을 수 있습니다. 예를들어 P(3)은 n번 시행에서 사건이 3번 발생할 확률인 것입니다. P(0)부터 계산해봅시다. P(0)는 n번의 시행에서 사건이 0번 발생한 확률입니다. 따라서 확률은 아래와 같습니다. P(1)은 n번의 시행에서 사건이 1번 발생한 확률입니다. 1번이라는 사건은 첫번째 시행에서 발생할 수도 있고, 두번째 시행에서 발생할 수도 있고, ... , n번째 시행에서 발생할 수도 있습니.. 2019. 10. 7.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (9) 이산확률변수 aX+b의 분산과 표준편차 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(9) 이산확률변수 aX+b의 분산과 표준편차] 이산확률변수 aX+b의 분산과 표준편차 이산확률변수 X의 분산을 V(X)라고 했을 때, aX+b의 분산은 아래와 같습니다. (a와 b는 상수입니다.) 증명해봅시다. 이산확률변수 X와, 각 변수에 해당하는 확률값을 표로 나타내면 아래와 같습니다. 이산확률변수 X의 개수는 n개라고 가정하겠습니다. aX+b의 분산을 구하면 아래와 같습니다. (m을 X의 평균이라고 놓겠습니다.) 우변의 괄호 안을 계산하면 아래와 같습니다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. a제곱으로 묶어줍시다. 빨간 부분은 X의 분산입니다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 표준편차는 분산에 루트를 씌운 것이므로 아래와 같습니다. 2019. 10. 6.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (5)확률질량함수의 성질 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(5)확률질량함수의 성질] 확률질량함수의 성질 이산확률변수 X의 분포를 나타내는 함수가 확률질량함수입니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 확률질량함수에는 세가지 성질이 있습니다. 확률은 0이상 1이하의 값을 같습니다. 확률의 합은 1입니다. 확률변수의 범위를 지정하여 확률을 나타낼 수도 있습니다. 2019. 9. 22.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (4)확률질량함수 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(4)확률질량함수] 확률질량함수 확률분포를 나타내는 함수를 확률분포함수라고 부릅니다. 확률변수의 종류에 따라 확률분포함수를 부르는 용어가 달라집니다. 이산확률변수의 확률분포함수를 '확률질량함수'라고 부릅니다. 용어가 다른 이유는 함수가 갖는 값의 의미가 다르기 때문입니다. 확률질량함수에서 함수값은 '확률'입니다. 확률질량함수는 기호로 아래와 같이 나타냅니다. 확률질량함수에 '질량'이라는 용어가 붙어있는 이유는 확률밀도함수와 구별해주기 위함입니다. 이산확률변수의 확률분포와 연속확률변수의 확률분포를 구별할 때, '질량'과 '밀도'라는 개념이 효과적이기 때문에 통계와 무관하지만 사용하게된 용어입니다. 질량과 밀도라는 용어사용에 대해서는 확률밀도함수를 설명하는 글에서 .. 2019. 9. 22.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (3)확률분포 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(3)확률분포] 확률분포 확률변수 X가 있다고 해봅시다. X는 확률변수이고 변수의 개수는 n개입니다. 변수는 아래와 같습니다. 이 확률 변수에 대응되는 확률은 아래와 같습니다. 이러한 대응 관계를 확률변수 X의 확률분포라고 합니다. 표와 그래프로 나타내면 아래와 같습니다. 2019. 9. 15.

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (2)이산확률변수 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(2)이산확률변수] 이산확률변수 확률변수는 두가지가 있습니다. - 이산확률변수- 연속확률변수 오늘은 이산확률변수에 대해 공부해봅시다. 이산의 뜻을 먼저 풀이해봅시다. 떠날(리)흩어질(산) 서로 떨어져서 흩어져 있는 변수라는 듯입니다. 다른 말로 하면 "셀 수 있는 변수" 입니다. 이산확률변수 : 확률변수 X가 가질 수 있는 값이 셀 수 있는 경우의 확률변수. 개수는 유한개이거나 무한개이거나 상관 없음. 자연수의 경우는 그 수가 무한개이지만 셀 수 있기 때문에 이산확률변수임. 주사위를 한번 던져서 나오는 수가 X라면, 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1,2,3,4,5,6 입니다. 셀 수 있기 때문에 이산확률변수입니다. 변수 X가 0과 1 사이의 실수라고 해봅시다.. 2019. 9. 15.

고등수학 [실용수학] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [실용수학] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 고등교육과정에서 '실용수학'은 세개의 카테고리로 구성되어 있습니다. 첫번째 카테고리 [해석,기하]에서는 '규칙'을 배웁니다. 두번째 카테고리 [기하]에서는 '공간'을 배웁니다. 세번째 카테고리 [통계]에서는 '자료'를 배웁니다. 2. 성취기준 가. 규칙 1) 식과 규칙- 다양한 현상에서 규칙을 찾고, 이를 식으로 나타낼 수 있다. - 실생활에서 활용되는 수식의 의미를 이해한다. 2) 도형과 규칙- 실생활에서 도형의 닮음이 이용되는 예를 찾고 그 원리를 이해한다. - 실생활에서 도형의 합동이 이용되는 예를 찾고 그 원리를 이해한다. - 도형의 닮음과 합동을 이용하여 산출물을 만들 수 있다. 나. 공간 1) 도형의 관찰- 평면도형과 입체도형.. 2019. 8. 1.

고등수학 [확률과 통계] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [확률과 통계] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 고등교육과정에서 '확률과 통계'는 하나의 카테고리로 구성되어 있습니다. 카테고리 [확률과 통계]에서는 '경우의 수'과 '확률'과 '통계'을 배웁니다. 2. 성취기준 가. 경우의 수 1) 순열과 조합- 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다. - 중복조합을 이해하고, 중복조합의 수를 구할 수 있다. 2) 이항정리- 이항정리를 이해하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 나. 확률 1) 확률의 뜻과 활용- 통계적 확률과 수학적 확률의 의미를 이해한다. - 확률의 기본 성질을 이해한다. - 확률의 덧셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. - 여사건의 확률의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있.. 2019. 8. 1.

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