반응형 etc/쉬운 수학이야기105 이 기호는 무슨 의미일까? ≜ 공학과 관련된 문헌들을 읽다 보면 아래와 같은 기호가 등장하는 경우가 있다. 아래 수식은 캐빈 머피가 쓴 책인 확률적 머신러닝에 등장하는 수식이다. 등호 위에 세모가 올려져 있는 이상한 기호가 등장하고, 이 기호는 별것 아닌 간단한 수식을 어려워 보이게 만든다. 이 기호는 왼쪽이 오른쪽과 같이 '정의'된다는 뜻이다. 세모는 그리스어 delta 의 대문자이고, 아마 definition 의 d를 의도한 것 같다. 2023. 9. 12. 함수의 극한 설명 문과버전 f(x)=3x 라는 함수가 있습니다. x가 3에 가까이 갈 때, f(x) 는 어디에 가까이 갈까요? y는 9에 가까이 갑니다. 이때 9를 x가 3으로 가까이 갈 때, f(x)의 극한값이라고 정의합니다. 이 상황을 기호로 표현하면 아래와 같습니다. $\lim_{x\rightarrow 3}3x=9$ 여기서 주의할 점이 있습니다. 위 수식은 f(x)가 9가 된다는 말이 아닙니다. f(x)가 다가가는 수가 9라는 것입니다. 이 미묘한 차이를 이해해야 합니다.미묘한 차이를 크게 확대해 볼 수 있는 예시를 하나 가져왔습니다. 극한이 무엇인지 정말 이해했는지 알아볼 수 있는 예시입니다. $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x(x-3)}{x-3}$ 위 극한값은 얼마일까요? 6입니다. 6이라는게 이해되시.. 2023. 4. 13. 복소수가 처음 등장한 책 (카르다노의 아르스 마그나) 이탈리아의 수학자 카르다노는 3차방정식의 해법을 담은 책인 아르스 마그나의 저자로 다들 한번쯤 들어본 이름일 겁니다. 카르다노의 아버지도 유능한 수학자였는데, 레오나르도 다 빈치의 친구였습니다. 카르다노는 의대에 진학했는데 학생 때부터 도박을 즐겼습니다. 의사가 된 후에도 버는 돈이 만족스럽지 않아 도박을 해서 큰 돈을 날리기도 합니다. 후에는 밀라노 대학의 기하학 교수가 됩니다. 카르다노는 니콜라 폰타나라는 사람이 발견한 2차항이 없는 3차 방정식 해법을 자신이 발견한 것처럼 책을 출간했는데, 그 책이 아르스 마그나입니다. 아르스마그나는 복소수가 처음 등장한 책이기도 합니다. 오늘은 아르스마그나에 복소수가 등장한 대목을 소개하려고 합니다. 아르스마그나는 1545년에 출간한 책이고, PDF도 공개되어 있.. 2023. 1. 21. 기원전 1700년 바벨로니아 석판 숫자 설명 아래 석판은 기원전 1700년경에 바벨로니인들이 만든 것으로 추정되는 점토판입니다. 표면에는 사각형과 대각선이 새겨져 있고, 바벨로니아 숫자들이 새겨져 있습니다. MMA라는 기관에서 재구성한 그림은 아래와 같습니다. 가운데 첫째 줄에 써있는 숫자는 1 24 51 10 입니다. 바벨로니아 인들은 60진법을 사용했으므로 아래와 같이 계산됩니다. $1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}$ 계산해보면 아래와 같습니다. > 1+24/60+51/(60^2)+10/(60^3) [1] 1.414213 1.414213 뭔지 알것 같으신가요? 루트 2의 근사값입니다. 기원전 1700년에 바벨로니아 사람들은 루트 2를 소수 6째 자리까지 정확하게 계산해 놓았습니다. 나머지 문자.. 2023. 1. 18. 루트 2는 무리수 증명 유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 입니다. 무리수가 발견되지 전에는 만물의 근원이 정수라고 생각했습니다. 유리수의 구성요소도 정수였기 때문입니다. 그러다 유리수로 표현되지 않는 수가 발견됩니다. 한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 유리수로 나타낼 수 없었습니다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 x라고 두고 x가 무리수인 것을 증명해보겠습니다. 먼저 피타고라스 정리에 의해 아래 등식이 성립합니다. $x^2=1+1$ 변형하면 아래와 같습니다. $x^2=2$ (1) 위 식을 1번식이라고 두겠습니다. x가 무리수라는 증명에는 '귀류법'이 사용됩니다. 귀류법의 귀는 따라갈 귀, 류는 잘못될 류 입니다. 잘못된 길을 따라가서 모순에 이르게 됨을 보여서 애초에 그 주장이 잘못됐다.. 2023. 1. 16. 0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 3편 0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 세번째 시간입니다. 아래 두 극한값을 봅시다. $\lim_{x\rightarrow +0}0^x$ $\lim_{x\rightarrow +0}x^0$ x가 0보다 클 때 $0^x$은 0이므로, 첫번째 극한값은 0입니다. x가 0보다 클 때 $x^0$은 1이므로 두번째 극한값은 1입니다. $\lim_{x\rightarrow +0}0^x=0$ $\lim_{x\rightarrow +0}x^0=1$ 두 극한값이 다르니 $0^0$이 정의될 수 없다는 증명입니다. 이는 잘못된 증명입니다. 극한값이 여러개인 것과 함수값이 정의되는지 여부는 무관합니다. 2022. 12. 13. 미분방정식에서 1계, 2계, 제차, 비제차, 선형 비선형이 뭔가요? 미분방정식은 계, 제차/비제차를 기준으로 나눌 수 있습니다. 1. 계란 무엇인가 미분방정식에 포함된 도함수에서 가장 많이 미분된 횟수를 계 또는 차수라고 부릅니다. 1계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. $a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$ 2계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. $a_{2}(x)\frac{d^2 y}{dx^2}+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$ n계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. $a_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$ 2. 제차/비제차란 무엇인가 제차는.. 2022. 12. 13. 0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 2편 0^0 을 정의할 수 없다는 것을 증명하는 잘못된 방법이 참 많이 돌아다니고 있는 것 같습니다. 제가 찾은 것만 세가지가 됩니다. 오늘은 두번째 잘못된 증명입니다. 1편의 증명과 유사하지만 더 그럴듯해 보이는 증명입니다. a가 0 보다 큰 실수 일 때, 아래와 같은 지수법칙이 성립합니다. x와 y는 자연수라고 가정하겠습니다. $a^{x-y}=a^x \div a^y$ x와 y가 같다면 아래 지수법칙도 성립합니다. $a^{x-x}=a^x \div a^x$ 좌변을 계산하면 아래와 같습니다. $a^{0}=a^x \div a^x$ 이때 a가 0일 수 있느냐는 문제인데요. a에 0을 넣게되면 모순이 발생합니다. 따라서 a는 0이 될 수 없구요. $0^0$은 정의될 수 없다는 것이 이 증명의 내용입니다. 하지만 이 .. 2022. 12. 6. 0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 1편 0^0 을 정의할 수 없다는 것을 증명하는 잘못된 방법이 참 많이 돌아다니고 있는 것 같습니다. 제가 찾은 것만 세가지가 됩니다. 오늘은 첫번째 잘못된 증명입니다. $0^0=0^{m-m}=0^m \div 0^m =\frac{0}{0}$ 0^0 을 변형하면 0/0 이 되고, 0/0을 정의 할 수 없으므로 0^0 도 정의할 수 없다는 논리입니다. 이런 증명을 다른 말로 하면 이렇게 됩니다. "어떤 수에 지수법칙을 적용하여 모순된 결과가 나오면 그 수는 정의할 수 없다." 라는 것인데요. 이와 같은 논리 대로라면 0도 정의할 수 없어야 합니다. 0은 아래와 같이 변형되기 때문입니다. $0=0^{3-2}=0^3 \div 0^2 =\frac{0}{0}$ 이 증명은 밑이 0일 때 위와 같은 지수법칙을 적용할 수 없.. 2022. 12. 6. 0/0=0 증명 (오류를 찾아보세요) $\frac{0}{0}$은 무수히 많은 값을 갖기 때문에 하나로 정의되지 않는다고 알려져 있습니다. 정말일까요? $\frac{0}{0}$ 을 어떤 수 k라고 놓겠습니다. $\frac{0}{0}$ 은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $\frac{0}{0}=\frac{0+0}{0}=\frac{0}{0}+\frac{0}{0}$ 따라서 아래 등식이 유도됩니다. $k=2k$ 위 방정식을 풀면 k는 0입니다. 따라서 $\frac{0}{0}=0$ 입니다. 2022. 11. 27. 0/0 은 왜 정의할 수 없을까 우리가 사용하고 있는 사칙연산에서 곱셈과 나눗셈은 아래와 같은 관계가 있습니다. 이러한 관계에는 한가지 조건이 있습니다. a는 0이 아니어야 한다는 것입니다. 다시 말하면 0으로는 나눌 수 없는 것입니다. 왜 그럴까요? a에 0을 넣어봅시다. 0xb 는 0이므로, c는 0이어야만 합니다. 0이 아닌 수를 0으로 나누는 것은 정의될 수 없다는 것입니다. 그렇다면 0을 0으로 나누는 것은 괜찮은걸까요? c에 0을 넣어봅시다. 0xb=0 에서 b는 하나로 정의되지 않습니다. 무수히 많은 값을 가질 수 있습니다. 따라서 0/0 은 무수히 많은 값을 갖습니다. 2022. 11. 27. x^x의 0에서의 우극한 아래 극한값을 구해봅시다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x$ $x^x$를 아래와 같이 변형합니다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{\ln x^x}$ 아래와 같이 지수부분을 앞으로 내려줍니다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}$ x를 $\frac{1}{t}$로 치환합니다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=\lim_{t\rightarrow \infty}e^{\frac{1}{t}\ln \frac{1}{t}}$ 로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. $\lim_{x\rightarr.. 2022. 11. 21. y=x^x 를 미분해봅시다. 오늘은 $y=x^x$ 라는 함수를 x로 미분해봅시다. 먼저 양변에 자연로그를 취합니다. $\ln y=\ln x^x$ 로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 이 식을 1번 식이라고 놓겠습니다. $\ln y=x\ln x$ (1) 양변을 x로 미분합시다. $\frac{d(\ln y)}{dx}=\ln x+1$ 체인룰을 사용하여 아래와 같이 변형합니다. $\frac{d(\ln y)}{dy}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$ 좌변을 미분합니다. $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$ 아래와 같이 y를 우변으로 보냅니다. $\frac{dy}{dx}=y\left (\ln x+1 \right )$ $y=x^x$ 이므로 아래와 같이 대입합니다. $\frac{dy}{dx}=x^x\lef.. 2022. 11. 19. e 의 수렴성 증명 (3편) 증명 우리는 자연상수 e의 수렴성을 증명하기 위한 재료 두가지를 배웠습니다. 첫번째 재료는 단조수렴정리입니다. 단조수렴정리 중 증가수열의 수렴조건을 이용할 겁니다. 어떤 수열이 증가수열 일 때, 절대 넘을 수 없는 값이 있다면 이 수열은 수렴합니다. 두번째 재료는 아래 부등식입니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} 2022. 11. 15. e 의 수렴성 증명 (2편) 1+1/2!+1/3!+... 의 수렴성 e의 수렴성을 증명하고 있습니다. 지난시간에는 e의 수렴성 증명에 사용되는 단조수렴정리가 무엇인지 설명했는데요. e의 수렴성을 증명하기 위해서는 한가지 재료가 더 필요합니다. 아래 급수의 수렴성입니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots $ 이 급수의 수렴성은 아래 부등식을 이용하여 보일 수 있습니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots 2022. 11. 11. e 의 수렴성 증명 (1편) 단조 수렴 정리 자연상수 e는 아래와 같은 극한으로 표현되는 값입니다. $\lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$ 우리는 이 극한이 어떤 무리수로 수렴하며, 그 무리수를 e 라고 부르기고 했다는 것을 알고 있습니다. 하지만 정말 위 극한이 수렴하는지 한번 쯤 확인해 볼 필요는 있습니다. 수렴성을 증명하기 전에, 수렴성 증명에 사용되는 재료 하나를 먼저 설명하겠습니다. 단조수렴정리 라는 것인데요. 단조수열이 수렴할 조건에 대한 정리입니다. 말이 어려운데요. 최대한 쉬운 말로 설명해보겠습니다. 단조수열은 두 가지가 있습니다. 단조증가수열과, 단조감소수열인데요. 단조증가수열은 $a_{n} \leq a_{n+1}$ 이구요. 이름 그대로 단조증가수열은 증가하는 .. 2022. 11. 7. 조화수열에는 왜 '조화'라는 이름이 붙었을까 역수를 취하면 등차수열이 되는 수열을 조화수열이라고 부릅니다. 예를들면 등차수열 2,5,8 의 역수를 취한 수열 $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}$ 이 조화수열입니다. 그런데 왜 이런 수열에 조화수열이라는 이름이 붙었을까요. 그 이유를 지금부터 알아봅시다. 그리스의 철학자 피타고라스는 음악에도 관심이 많았습니다. 피타고라스는 기타 줄과 같은 줄을 튕기며 소리를 내다가 이런 두가지 원리를 발견하게 됩니다. 1. 현의 길이를 반으로 줄이면 원래 나던 소리보다 음이 높고 비슷한 소리가 난다. 2. 현의 길이를 2/3 으로 줄여 튕기면 원래 나던 소리보다 음이 높고 잘 어울리는 소리가 난다. 첫번째 원리는 옥타브 입니다. 도를 예로들면 도와 한옥타브 높은 도는 비슷한 소리가 .. 2022. 11. 6. 이걸 왜 기하평균이라고 부르는걸까 이것은 a와 c의 기하평균입니다. $\sqrt{ac}$ 기하는 도형을 연구하는 학문인데요. 따라서 기하평균은 도형과 관련되어 있습니다. 지금부터 그 예시를 알아보겠습니다. 아래 직사각형을 봅시다. 위 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이가 a와 c의 기하평균입니다. 등식으로 나타내면 아래와 같습니다. $ac=b^2$ b에 대해 정리하면 아래와 같습니다. $b=\sqrt{ac}$ 기하평균이 어떤 상황에서 사용되는지 알아봅시다. 작년에 연봉이 10배 오르고, 올해 20배 올랐다고 합시다. 연봉은 연 평균 몇배가 오른 것일까요? 산술평균으로 계산하면 15배 인데요. 산술평균으로 계산하면 어떤일이 벌어지는지 알아봅시다. 제작년 연봉을 a라고 한다면 현재 연봉은 아래와 같습니다. $a \times 10.. 2022. 11. 1. 등차수열을 '산술수열', 등비수열을 '기하수열'이라고 부르는 이유 세 수 a,b,c 가 등차수열을 이루고 있다고 합시다. 등차수열을 차이가 일정한 수열이므로 아래 등식이 성립합니다. $b-a=c-b$ 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $b=\frac{a+c}{2}$ b는 a와 c의 산술평균입니다. 등차수열에서 나란한 세 항 중에서 가운데 항은 양쪽 항의 산술평균입니다. 이러한 이유로 등차수열을 산술수열이라고도 부릅니다. 이번에는 세 수 a,b,c가 등비수열을 이루고 있다고 합시다. 등비수열은 '비(ratio)'가 일정한 수열이므로 아래 등식이 성립합니다. $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$ 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $b^{2}=ac$ 세 수가 양수라고 가정하고 양변에 루트를 씌웁시다. $b=\sqrt{ac}$ b는 a와 c의 기하평.. 2022. 11. 1. e^x 는 어디에 쓰일까? (지수함수적 증가는 언제 생기는걸까?) 지난 두편의 영상은 지수함수적 변화가 일어나는 두 가지 상황을 살펴본 것입니다. 지수함수적 변화는 어떤 수량의 변화 속도가, 현재 수량에 비례하는 경우에 발생합니다. 이 말을 수식으로 나타낸 것이 아래 미분방정식인 것입니다. $f'(t)=kf(t)$ 지수함수적 변화가 무엇인지 더 잘 이해할 수 있도록 우리에게 더 와닿는 예시를 몇가지 더 들어보겠습니다. 1) 만약 돈이 벌리는 속도가 현재 가지고 있는 돈의 양에 비례한다면 돈은 지수함수적으로 많아질 것입니다. 2) 인구가 증가하는 속도가 현재 인구 수에 비례한다면, 인구도 지수함수적으로 증가할 것입니다. 3) 코로나 환자 증가 속도가 현재 코로나 걸린 사람 수에 비례한다면 코로나 환자 숫자도 지수함수적으로 증가할 것입니다. 지수함수적 증가가 발생하는 상황.. 2022. 10. 29. e^x 는 어디에 쓰일까? (뉴튼의 냉각법칙) 따듯한 물체를 차가운 곳에 놓으면 물체의 온도가 점점 낮아집니다. 물체가 열을 잃는 것인데요. 어떤 물체가 열을 잃는 속도는 물체와 주변환경의 온도 차이에 비례합니다. 이러한 사실을 뉴턴의 냉각법칙이라고 부릅니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\frac{dT}{dt}=r\left ( T(t)-T_{env} \right )$ $T(t)$는 물체의 온도, $T_{env}$는 주변 온도, r은 열전달 계수입니다. 주변온도는 특정 값으로 일정하다고 가정합니다. 위 식을 아래와 같이 변형합니다. $T'(t)=r\left (T(t)- T_{env} \right )$ 아래와 같이 변형합니다. $\frac{T'(t)}{\left ( T(t)-T_{env} \right )}=r$ 양변을 t에 대해 적분합니다. .. 2022. 10. 28. e^x 는 어디에 쓰일까? (탄소 연대측정법) 탄소는 양성자6개, 중성자 6개로 이루어진 원자라고 배웠습니다. 이를 탄소-12 라고 부릅니다. 그런데 이런 탄소는 98.89% 입니다. 나머지 1.11%는 탄소의 동위원소입니다. 동위원소는 양성자의 개수는 같고 중성자의 개수가 다른 원소입니다. 양성자는 6개인데 중성자는 7개인 탄소를 탄소-13이라고 부릅니다. 양성자는 6개인데 중성자는 8개인 탄소는 무엇일까요? 탄소-14 입니다. 대기중의 탄소-12 와 탄소-14 의 비율은 일정하게 유지된다고 합니다. 생물 내에 있는 탄소-12 와 탄소-14 의 비율도 대기중과 거의 일치합니다. 생물이 죽게 되면, 생물체 내의 탄소-12는 그대로 있고, 탄소-14가 붕괴하기 시작합니다. 죽은 생물에서 탄소-14가 붕괴하면 죽은 생물 내의 탄소-12와 탄소-14 비율.. 2022. 10. 25. e를 찾아라 (지수의 미분) 자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 지수함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 아래와 같이 밑이 a인 지수함수가 있습니다. $y=a^x$ 미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 지수함수에 적용하면 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$ 우변의 분자를 아래와 같이 변형합시다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x}\left ( a^h-1 \right )}{h}$ 아래와 같이 치환합니.. 2022. 10. 24. e를 찾아라 (로그의 미분) 자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 로그함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 아래와 같이 밑이 a인 로그함수가 있습니다. $y=\log_{a}x$ 미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 로그함수에 적용하면 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}$ 우변의 분자를 아래와 같이 변형합니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(\frac{x+h}{x})}{h.. 2022. 10. 22. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 4편 좀 멋진? 신기한? 증명 방법 미분해서 자기 자신이 나오는 함수가 $y=e^x$ 밖에 없다는 것을 재밌는 방법으로 증명해보겠습니다. 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 $f(x)$ 라고 한다면 $f(x)=f'(x)$ 가 성립합니다. $f(x)$를 $e^x$로 나눠줍니다. $\frac{f(x)}{e^x}$ 위 식을 x로 미분합니다. $\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{f'(x)e^x-e^x f(x)}{\left ( e^x \right )^2}$ 분자를 $e^x$로 묶어줍니다. $\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{e^x\left ( f'(x)- f(x) \right )}{\left ( e^x \right )^2}$ f'(x)-f(x.. 2022. 10. 21. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 3편 우리는 지금까지 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 유도했습니다. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $y'=y$ 라는 미분방정식의 해입니다. $y=y'$ 을 아래와 같이 변형했습니다. $\frac{dy}{dx}=y$ y로 양변을 나누고 dx를 양변에 곱했습니다. 1번 과정이라고 놓겠습니다. $\frac{1}{y}dy=dx$ 양변을 적분합니다. $\int \frac{1}{y}dy=\int 1dx$ 적분을 계산합니다. $\ln \left | y \right |=x+C$ 로그의 성질을 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $y=\pm e^x e^c$ 여기서 1번 과정을 보면 dy와 dy를 마치 숫자인 것처럼 각각 분리해서 사용하고 있습니다. 2번과정에서는 dx와 dy가 갑자기 적분상수가 됩니다. 이래도 되는 것.. 2022. 10. 20. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 2편 지난시간에 미분해서 자기자신이 나오는 함수가 $Ae^x$ 임을 보인 과정을 간단히 가져왔습니다. $y=f(x)$ $f'(x)=f(x)$ $y'=y$ $\frac{dy}{dx}=y$ y로 양변 나눔 $\frac{1}{y}dy=dx$ 적분취함 $\int \frac{1}{y}dy=\int dx$ 적분 계산 $\ln\left | y \right |=x+C$ 변형 $\left | y \right |=e^{x+C}$ 절댓값 풀어줌 $y=\pm e^{x+C}$ 변형 $y=\pm e^{C}e^{x}$ 치환 $y=Ae^{x}$ 위 수식에서 y로 양변을 나눠주는데요. y로 양변을 나누기 위해서는 한가지 조건이 필요한데, y가 0이 아니라는 조건이 필요합니다. 따라서 위 수식은 y가 0이 아니라는 전제로 유도된 수식입니다... 2022. 10. 15. 대수학은 왜 알제브라(algebra) 일까 기원 후 820년경에 페르시아의 수학자 '아부 압둘라 무함마드 이븐 무사 알콰리즈미'가 책을 하나 씁니다. 페르시아 최초의 수학책이었습니다. 책이름은 '알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라' 였는데 방정식의 풀이를 다룬 책이었습니다. 여기서 알자브르는 الجبر 인데 '흩어진 부분들을 묶음' 이라는 뜻입니다. 방정식을 풀 때 항들을 묶는 다는 의미로 사용되었습니다. 고전적인 의미의 대수학이란 수 대신 문자를 사용하여 방정식을 푸는 방법을 말합니다. 따라서 알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라는 대수학의 시초격인 책입니다. 이런 이유로 이 책 제목에 등장하는 단어인 알자브르가 오늘날 대수학을 의미하는 단어인 algebra 된 것입니다. 또한 오늘날 쓰이는 알고리즘이라는 표현도 위 책의 저.. 2022. 10. 13. 수학선생님들은 어떤 시험을 본걸까 (임용고시 과목) 임용고시는 1차시험과 2차시험이 있습니다. 1차시험에서는 교육학과 전공과목시험을 봅니다. 2차시험에서는 면접과 수업실연을 합니다. 수학선생님이 통과하신 임용고시의 수학전공과목들은 아래와 같습니다. 수학교육론 해석학 (수열, 미적분) 복소해석학 (복소평면에서의 해석학) 현대대수학 (군,환,체) 위상수학 (손잡이 달린 컵은 도넛과 같다) 선형대수학 (일차연립방정식과 그 응용) 정수론 (정수의 성질 연구, 약수 배수 등) 미분기하학 (곡선 곡면등을 미적분을 이용하여 연구) 확률과통계 이산수학 (조합론, 그래프이론. 컴공) 2022. 10. 13. 무리수는 움직인다? 무리수는 순환하지 않는 무한소수입니다. 대표적으로는 $\pi$ , e , $\sqrt{2}$ 가 있습니다. 파이는 3.141592..... 와 같이 소숫점 이후 자릿수가 끝없이 계속됩니다. 이런 이유 때문에 마치 무리수가 어딘가로 다가가는 중인 수라고 생각하시는 경우가 있습니다. 움직이는 상태인 수라고 생각하는 겁니다. 파이는 3.14 로 시작하여 3.14159265358979... 로 어딘가를 향해 다가가는 중이라고 말이죠. 오늘 이 오해를 풀어보겠습니다. 무리수는 어딘가로 다가가는 수가 아니라 멈춰있는 수 입니다. 크기가 얼마로 딱 정해진 수인 것입니다. $\sqrt{2}$를 생각해봅시다. $\sqrt{2}$는 아래와 같이 밑변과 높이가 1인 삼각형의 대각선 길이입니다. 파이도 마찬가지입니다. 파이는.. 2022. 10. 12. 이전 1 2 3 4 다음 반응형
