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확률과 통계/1. 경우의 수14

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (14)이항계수의 성질 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[②이항정리]-[(14)이항계수의 성질] 이항계수의 성질 이항정리는 아래와 같습니다. 위 식의 계수가 '이항계수'였는데요. 이항계수를 이용해서 만들 수 있는 몇가지 성질을 알아봅시다. a대신 x를 b대신 1을 대입하면 아래와 같습니다. 1의 거듭제곱은 1이므로 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 1) x에 1을 대입해봅시다. 좌우를 바꿔씁시다. 2) x에 -1을 대입해봅시다. 3) 1번식과 2번식을 더해봅시다. n이 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나눌 수 있습니다. n이 짝수라면 2번식의 마지막항이 양수이고, 홀수면 음수가 되기 때문입니다. 먼저 n이 짝수인 경우입니다. 따라서 아래 결과를 얻습니다. 이번에는 n이 홀수인 경우입니다. 따라서 아래 결과를 얻습니다. 4) 이번에는 .. 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (13)파스칼의 삼각형 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[②이항정리]-[(13)파스칼의 삼각형] 파스칼의 삼각형 지난 강의에서 유도한 이항계수는 아래와 같습니다. 이항계수들을 아래와 같이 나열해 봅시다. 위에 보시는 삼각형을 파스칼의 삼각형이라고 합니다. 파스칼의 삼각형의 몇가지 특징을 살펴봅시다. 1) 먼저 각 줄은 n에 1부터 하나씩 늘려간 이항계수들입니다. 2) 파스칼의 삼각형에서 연속한 두 항을 더하면, 그 두항의 가운데 아랫항과 같습니다. 일반화 시키면 아래 등식입니다. 위 성질은 조합을 공부할 때도 나왔던 내용입니다. 3) 파스칼의 삼각형에서 각 행의 수를 더하면 2의 제곱수가 됩니다. 1번성질을 이용하면 됩니다. 이항계수의 합은 a와 b에 1을 넣으면 구해지는 값입니다. 따라서 2의 제곱수가 됩니다. 4) 하키스틱.. 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (12)이항정리와 이항계수 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[②이항정리]-[(12)이항정리와 이항계수] 이항정리와 이항계수 아래와 같은 n제곱식이 있습니다. 괄호 안에 항이 몇개죠? 2개입니다. 이항(2항,binomial)입니다. 그래서 이항정리에요. 위와 같이 이항식의 n제곱을 전개해서, 계수들을 조합으로 표현하는게 '이항정리'입니다. 자 그럼 전개를 해봅시다. 전개한 결과를 생각해봅시다. a의 입장에서 생각해보면, a가 0차인 항 부터 a가 n차인 항 까지 생길 것입니다. a가 0차인 항을 생각해보면 아래와 같이 전개할 때 모든 괄호에서 b만 곱해지는 것입니다. 이번에는 a가 1차인 항을 생각해봅시다. 하나의 괄호에서만 a가 곱해지고, 나머지 괄호에서는 b가 곱해집니다. 몇가지 경우가 있을까요? n가지가 있습니다. 이번에는 a.. 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (11)중복조합 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(11)중복조합] 중복조합 서로 다른 n개의 문자가 있습니다. 이 중에서 r개를 택할건데, 중복을 허락해서 택하는 것입니다. 예를들어봅시다. a,b 두 문자가 있습니다. 중복을 허락해서 문자 두개를 뽑는 것입니다. 어떤 경우가 있을까요?? aaabbb 세가지가 있습니다. ba는요? 순열이 아니라 '조합'입니다. ab와 ba는 같은 경우입니다. 이해되시나요? 문자를 셋으로 늘려봅시다. a,b,c 세 문자에서 중복을 허락해서 문자 두개를 뽑아봅시다. aabbccabacbc 입니다. n개 중에서 r개를 중복을 허락하여 뽑는 경우의 수를 '중복 조합'이라고 하고, 기호로 아래와 같이 나타냅니다. 중복 조합은 아래와 같이 구합니다. [증명] 위 수식이 어떻게 성.. 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (10)최단거리 문제 (합의법칙 관점) [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(10)최단거리 문제 (합의법칙 관점)] 최단거리 문제 (합의 법칙 관점) 바둑판모양의 도로가 있습니다. 가로선과 세로선들이 도로입니다. 도로의 한쪽 끝에서 반대편 끝까지 이동할 때, 최단거리로 이동할 수 있는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 1) 같은 것이 있는 순열 관점2) 합의 법칙 관점 오늘은 두번째 방법을 설명하겠습니다. 출발지점부터 가까운 교차점들부터 경우의 수를 세봅시다. 가장 가까운 지점까지 가는 방법은 한가지입니다. 오른쪽과 위쪽 모든 포인트들도 다 한가지씩입니다. 이제 아래 교차점까지 가는 경우의 수를 생각해봅시다. 두 가지 입니다. 너무 쉬워서 미쳐 생각하기 어려운데요. 사실 이 '두 가지'라는 것은 교차점 아래와 왼쪽의 경우의 수를.. 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (9)최단거리 문제 (같은 것이 있는 순열 관점) [확률과통계]-[1.경우의 수]-[(8)순열과 조합]-[(9)최단거리 문제 (같은 것이 있는 순열 관점)] 최단거리 문제 (같은 것이 있는 순열 관점) 바둑판모양의 도로가 있습니다. 가로선과 세로선들이 도로입니다. 도로의 한쪽 끝에서 반대편 끝까지 이동할 때, 최단거리로 이동할 수 있는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 풀이 방법이 두가지가 있습니다. 1) 같은 것이 있는 순열 관점 2) 합의 법칙 관점 오늘은 첫번째 방법을 설명하겠습니다. 아래와 같은 경우가 최단거리입니다. 최단거리의 특징 살펴봅시다. 가로방향의 한칸 길이를 a, 세로방향 한칸 길이를 b라고 놓는다면 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 최단거리의 특징이 어떤가요. a가 5개, b가 4개입니다. 바둑판의 가로방향 칸의 수와 세로방향 칸의 수.. 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (8)특정한 r개의 순서가 정해진 순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[(7)순열과 조합]-[(8)특정한 r개의 순서가 정해진 순열] 특정한 r개의 순서가 정해진 순열 1) 설명 서로다른 n개의 문자가 있다고 해봅시다. 그 중에서 r개의 순서가 정해져 있는 것입니다. 한가지 수학적인 트릭을 이용해서 이해합니다. r개를 서로 같은 문자로 생각해버리는 겁니다. 이렇게 배열한 뒤에 앞에서부터 우리가 정해놓은 순서대로 문자를 넣어버리면 됩니다. 같은 것이 있는 수열 문제가 됩니다. 따라서 경우의수는 아래와 같습니다. 2) 예시 아래와 같이 다섯개의 문자가 있습니다. a,b,c,d,e 이 문자를 일렬로 배열하는데 c,e 는 이 순서대로 배열해야 합니다. 경우의 수를 구해봅시다. e를 c로 바꿔버립니다 . a,b,c,d,c 그리고 배열합니다. 경우의 .. 2019. 8. 9.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (7)같은 것이 있는 순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[(6)순열과 조합]-[(7)같은 것이 있는 순열] 같은 것이 있는 순열 아래 예시로 시작해봅시다. a,a,b 위의 세개 문자를 배열해봅시다. 일단 같은 것이 없다고 생각하고 세개의 문자를 배열하는 경우의 수는 아래와 같습니다. 3x2x1=6 여기서 겹치는 경우를 없애 보겠습니다. 편의상 a 두개를 a₁과 a₂로 나눠서 배열해보겠습니다. a₁ a₂ ba₂ a₁ ba₁ b a₂a₂ b a₁b a₁ a₂b a₂ a₁ 이렇게 여섯가지입니다. a₁과 a₂가 같은 문자이기 때문에, 아래 같은 색으로 칠한 경우들은 겹치는 경우입니다. a₁ a₂ ba₂ a₁ ba₁ b a₂a₂ b a₁b a₁ a₂b a₂ a₁ 따라서 결과를 2로 나눠주어야 합니다. 여기서 '2'라는 것은 '중복되는 .. 2019. 8. 9.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (6)중복순열과 함수 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(6)중복순열과 함수] 중복순열과 함수 두 집합 A와 B가 있습니다. A={1,2,3,4}B={a,b,c} 두 집합 A와 B가 함수 f에 의해 대응된다고 해봅시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. f: A→B 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. X에서 Y로의 함수를 몇가지 만들 수 있을까요? 일단 X의 원소에는 Y의 원소가 하나만 대응되야 합니다. 반대로 하나의 Y에는 여러개의 X가 대응될 수 있습니다. 예를들어 봅시다. X의 첫번째 원소 1에 대응될 수 있는 Y는 a,b,c 입니다. 원소 1에 a가 대응됐다고 해봅시다. 이때 원소 2에는 어떤 값이 대응될 수 있을까요? 그대로 a,b,c 입니다. 원소 1에 a가 대응되고 2에도 a가 대응될 수 있는 .. 2019. 8. 8.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (5)중복순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(5)중복순열] 중복순열 간단한 예로 시작합시다. 1,2,3 을 이용해서 두자리 정수를 만들겁니다. 몇가지를 만들 수 있을까요? OO 이렇게 두자리가 있습니다. 십의자리와 일의자리입니다. 십의자리에 1,2,3 세가지가 올 수 있고, 일의자리에도 1,2,3 세가지가 올 수 있습니다. 따라서 3x3=9가지가 됩니다. 1,2,3,4,5를 이용해서 세자리 정수를 만들면 몇가지가 될까요? 5x5x5=125가지가 됩니다. 위 예시는 이렇게 이해할 수 있습니다. "5개의 숫자중에서 3개를 뽑는데, 중복을 허락해서 뽑는 경우의 수" 뽑는다는게 잘 와닿지 않는다면 이렇게도 이해할 수 있습니다. 바구니에 1,2,3,4,5 가 각각 적힌 공이 다섯개 들어있습니다. 공을 꺼.. 2019. 8. 8.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (4) 다각형순열 - 정삼각형 순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(4)다각형 순열-정삼각형 순열] 다각형순열 - 정삼각형순열 다각형순열은 원순열이 응용된 형태입니다. 여러가지 다각형 순열을 만들 수 있는데 대표적으로는 아래 세가지가 있습니다. - 정사각형 - 직사각형 - 정삼각형 이번시간에는 정삼각형순열을 공부해봅시다. 정삼각형순열도 원순열과 마찬가지로 회전하는 판 위에 올려진 정삼각형 테이블이라고 생각하면 됩니다. 한 사람을 먼저 앉히고 시작합시다. 자리는 총 두 종류가 있습니다. 위 그림의 1,2입니다. 나머지 자리는 회전판을 돌리면 이 두 자리와 겹칩니다. 먼저 한 사람을 1번 자리에 앉힙시다. 이때 나머지 사람들을 배열하는 경우의 수는 5!입니다. 2번에 앉힐때도 경우의 수는 7!입니다. 따라서 전체 경우의 .. 2019. 8. 8.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (3)다각형순열 - 직사각형 순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(3)다각형 순열-직사각형 순열] 다각형순열 - 직사각형순열 다각형순열은 원순열이 응용된 형태입니다. 여러가지 다각형 순열을 만들 수 있는데 대표적으로는 아래 세가지가 있습니다. - 정사각형- 직사각형- 정삼각형 이번시간에는 정사각형순열을 공부해봅시다. 정사각형순열도 원순열과 마찬가지로 회전하는 판 위에 올려진 직사각형 테이블이라고 생각하면 됩니다. 한 사람을 먼저 앉히고 시작합시다. 자리는 총 네 종류가 있습니다. 위 그림의 1,2,3,4입니다. 나머지 자리는 회전판을 돌리면 이 네 자리와 겹칩니다. 먼저 한 사람을 1번 자리에 앉힙시다. 이때 나머지 사람들을 배열하는 경우의 수는 7!입니다. 2,3,4번에 앉힐때도 경우의 수는 7!입니다. 따라서 전.. 2019. 8. 7.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (2) 다각형순열 - 정사각형순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(2)다각형순열 - 정사각형순열] 다각형순열 - 정사각형순열 다각형순열은 원순열이 응용된 형태입니다. 여러가지 다각형 순열을 만들 수 있는데 대표적으로는 아래 세가지가 있습니다. - 정사각형- 직사각형- 정삼각형 이번시간에는 정사각형순열을 공부해봅시다. 정사각형순열도 원순열과 마찬가지로 회전하는 판 위에 올려진 정사각형 테이블이라고 생각하면 됩니다. 한 사람을 먼저 앉히고 시작합시다. 자리는 총 두 종류가 있습니다. 1번자리와 2번자리입니다. 나머지 자리는 회전판을 돌리면 이 두 자리와 겹칩니다. 먼저 한 사람을 1번 자리에 앉힙시다. 이때 나머지 사람들을 배열하는 경우의 수는 7!입니다. 이번에는 사람을 2번자리에 앉힙시다. 경우의 수는 7!입니다. .. 2019. 8. 7.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (1) 원순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(1)원순열] 원순열 원순열은 순열이 원형으로 배열되어 있는 것입니다. 원순열을 이해할 때는, 회전판 위에 올려진 원형 테이블을 생각하시면 됩니다. 이 원탁에 A,B,C,D 네사람이 앉는 경우의 수를 생각해봅시다. 네 자리에 네 사람을 앉히는 경우를 생각하면 4x3x2x1 입니다. 그런데 원순열에서는 이야기가 달라집니다. 회전을 하고 있기 때문에 아래의 네가지 경우가 '같은 경우'가 됩니다. ABCDBCDACDABDABC 따라서 결과를 4로 나눠주어야 합니다. (4x3x2x1)/4 의자를 n개로 확장해 봅시다. n명의 사람을 원형 테이블에 앉히는 경우의 수는 아래와 같습니다. 위에서 설명한 관점은 '겹치는 것을 제거한다'의 관점입니다. 다른 관점으로 이.. 2019. 8. 7.

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