[5분 고등수학] 이차방정식 판별식

 

 

이차방정식의 판별식은 아래와 같습니다. 

 

$b^{2}-4ac$

 

판별식을 D 라고 부르는데요. Discriminant 의 첫글자입니다. 판별식이라는 뜻이구요. 참고로 discriminate라는 동사는 '식별하다, 판별하다' 라는 뜻입니다. 

 

판별식이 근을 어떻게 판별하는지 알아봅시다. 판별식이 0보다 크면 두개의 실근을 갖고, 0이면 한개의 실근, 0보다 작으면 실근을 갖지 않습니다. (0보다 작은 경우는 두 허근을 갖습니다.)

 

기호로 표현하면 아래와 같습니다.

 

$D>0$ → 실근 2개

$D=0$ → 실근 1개(중근=중복되는 근)

$D<0$ → 실근 없음 (허근2개)

 

왜 위와 같은 조건이 성립하는 것일까요? 그 이유를 알아봅시다. 판별식은 아래와 같은 근의공식에서 나왔습니다. 

 

$x
= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

 

루트 안에 있는 식이 판별식입니다. 루트 안에 있는 값이 0보다 크다면 +인 경우의 실근 하나, -인 경우의 실근하나를 갖습니다. 총 실근 2개를 갖습니다. 만약 루트 안에 있는 값이 0이라면 아래와 같은 근 하나만 갖습니다. 

 

$x
= \frac{-b}{2a}$

 

만약 루트 안에 있는 값이 0보다 작다면, 루트 안이 음수이므로 실수가 아닙니다. 따라서 실근을 갖지 않습니다.