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etc/어려운 수학이야기14

라그랑주 승수법 (쉬운설명) x+y 의 최댓값을 찾고 싶은 상황이라고 해봅시다. 아래와 같은 조건이 걸려 있는 상황입니다. $x^2+y^2=1$ x+y=k 라고 놓고 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. k의 최댓값은 직선이 원에 접할때 발생합니다. 여기서 주의해야할 점은 직선이 원이 접할때가 항상 최댓값은 아니라는 것입니다. 직선이 원에 접하는 k 값을 중에 최댓값이나 최솟값이 있을 수 있는 것입니다. 이제 차원을 하나 확장해봅시다. x+y+z 의 최댓값을 구하고 싶은 상황입니다. 아래와 같은 조건이 걸려 있습니다. $x^2+y^2+z^2=1$ x+y+z=k 라고 놓고 k의 최댓값을 구하면 됩니다. x+y+z=k 는 평면입니다. $x^2+y^2+z^2=1$는 구 입니다. 최댓값은 구와 평면이 접하는 곳에서 발생합니다. 구와 평면이 .. 2023. 10. 24.

기저변환 쉽게 이해하기 (좌표변환) 어떤 벡터 $\vec{v}$가 있다고 합시다. 이 벡터를 기저 $\vec{e}_{1}$과 $\vec{e}_{2}$를 이용하여 나타내면 $(x,y)$ 라고 하겠습니다. $\vec{v}=x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}$ 같은 벡터를 기저 $\vec{g}_{1}$ 과 $\vec{g}_{2}$로 나타내면 어떻게 되는지를 구하는 것이 목적입니다. 기저들 사이의 관계는 아래와 같습니다. 아래 식을 1번 식이라고 놓겠습니다. $\vec{g}_{1}=a_{11}\vec{e}_{1}+a_{12}\vec{e}_{2}$ $\vec{g}_{2}=a_{21}\vec{e}_{1}+a_{22}\vec{e}_{2}$ 위 조건들을 이용하여 벡터 $\vec{v}$ 를 기저 $\vec{g}_{1}$ 과 $\vec{g}_{2.. 2023. 8. 10.

고윳값과 고유벡터 쉽게 이해하기 1) 고윳값과 고유벡터란? 어떤 행렬 A가 있다고 합시다. 어떤 벡터에 행렬 A를 곱하면 벡터가 선형변환됩니다. 어떤 벡터에 행렬 A를 곱했는데, 그 결과가 벡터의 상수배가 되는 벡터가 존재할 수 있습니다. 아래와 같은 등식이 성립하는 것입니다. $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$ 2x2 행렬과 2차원 벡터를 예로 들면 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\lambda \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}$ 이러한 조건을 만족하는 벡터를 행렬 A의 고유벡터, $\lambda$를 고유값이라고 부릅니다. 2) 고윳값.. 2023. 8. 9.

행렬형태의 연립방정식을 이해하는 세가지 관점 아래와 같은 연립방정식이 있다고 합시다. $x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=3 \\ 2x_{1}-x_{2}+4x_{3}=1 \\ 3x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=1$ 행렬형태로 표현하면 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 2 & -1 & 4\\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 3차원 공간을 떠올릴 수 있는 익숙한 미지수인 x,y,z 로 바꾸겠습니다. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 2 & -1 & 4\\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{.. 2023. 8. 8.

다각형의 넓이를 구하는 방법 (모든 다각형 가능, +코딩) 아래와 같은 다각형이 있다고 합시다. 이 다각형의 넓이를 구하는 방법은 여러가지가 있을 것입니다. 삼각형 여러개로 나눠서 구할 수도 있고, 정사각형의 넓이에서 나머지 부분을 빼서 구할 수도 있습니다. 그 외에도 방법이 더 있을 겁니다. 오늘 소개할 방법은 어떤 다각형이던 상관없이 통하는 방법입니다. 간단한 예제로 방법을 배워봅시다. 아래 다각형의 넓이를 구하고 싶은 상황입니다. 먼저 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{1}$이라고 놓겠습니다. 다음은 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{2}$이라고 놓겠습니다. 다음은 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{3}$이라고 놓겠습니다. 다음은 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{4}$라고 놓겠습니다. 모아보면 아래와 같습니다. 다각형의 넓이는 아래와.. 2023. 6. 20.

[좌표 변환] 글로벌 좌표를 로컬좌표로, 또는 그 반대 좌표평면에 P 라는 점이 있습니다. 로컬좌표계의 중점은 $O_{L}$입니다. 로컬 좌표계는 x축에 대해 $\theta$만큼 기울어져 있습니다. $\theta$ 만큼 회전시키는 회전행렬을 M이라고 놓겠습니다. 위 상황에 대해 아래 등식이 성립합니다. $\vec{OP}=M\times \vec{O_{L}P}+\vec{OO_{L}}$ 만약 로컬좌표계의 중점의 좌표 (a,b)와 로컬좌표계에서의 점 P의 좌표 (c,d)를 알고 있다면 위 식을 이용하여 글로벌 좌표계에서의 P의 좌표를 구할 수 있습니다. $\vec{OP}=\begin{bmatrix} \cos 30^{\circ} & -\sin 30^{\circ} \\ \sin 30^{\circ} & \cos 30^{\circ} \end{bmatrix} \begin{b.. 2023. 5. 29.

[벡터의 회전과 행렬] (1) 2차원 평면 벡터의 회전은 벡터의 행렬을 곱하는 것으로 나타낼 수 있습니다. 어떻게 그럴 수 있는지 알아봅시다. x축과의 각도가 $\alpha$ 인 벡터 $(a,b)$를 $\theta$ 만큼 회전한 벡터를 $(c,d)$ 라고 합시다. 두 벡터의 관계를 $\theta$ 에 대해 나타내 볼 것입니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 벡터의 길이를 r이라고 했을 때 a와 b를 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $r\cos \alpha =a$ $r\sin \alpha =b$ c와 d는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $r\cos (\theta+\alpha)=c$ $r\sin (\theta+\alpha)=d$ 위 두 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $r\left ( \cos\theta\cos\alpha-\sin\.. 2023. 5. 24.

미분형식 이해하기 (3) 전미분공식 유도 미분형식의 개념을 3차원으로 확장하면 이변수 함수의 전미분 공식이 유도됩니다. $z=f(x,y)$라는 곡면이 있다고 합시다. 이 곡면 위의 한 점 $P(a,b,c)$에서의 접선을 $\vec{v}$라고 놓겠습니다. $dx, dy, dz$를 정의할 건데요. 각각을 접선벡터 $\vec{v}$의 x,y,z 방향 성분으로 정의합시다. 이제 $dx,dy,dz$ 사이의 관계식을 구해볼겁니다. 점 P에서의 접평면의 방정식을 이용합시다. 점 P에서의 접평면의 방정식은 아래와 같습니다. $(z-a)=f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)$ 접평면 방정식의 유도는 링크를 참고하세요. 점 $(a+dx(\vec{v}),b+dy(\vec{v}),c+dz(\vec{v}))$ 는 벡터 $\vec{v}$의 종점이므로.. 2023. 2. 24.

미분형식 이해하기 (2) dx와 dy의 부활 2차원 평면에 어떤 함수 $y=f(x)$가 있다고 합시다. 이 함수 위의 한 점 $(x,f(x))$에서의 접선의 기울기는 $f'(x)$ 입니다. 이 접선과 방향이 같은 벡터를 $\vec{v}$라고 놓겠습니다. $\vec{v}$의 크기는 얼마이던 상관 없습니다. 이제 $dx$와 $dy$를 새롭게 정의해봅시다. $dx$를 $\vec{v}$의 x축 성분을 구하는 함수라고 정의합시다. $dy$를 $\vec{v}$의 y축 성분을 구하는 함수라고 정의합시다. 이렇게 정의하면 $\vec{v}$의 크기가 얼마건 아래 등식이 성립합니다. $dy=f'(x)dx$ 이제 $dy$와 $dx$를 각각 사용할 수 있게 되었습니다. 2023. 2. 21.

미분형식 이해하기 (1) dx와 dy의 문제점 라이프니츠는 $x$와 $y$의 아주 작은 증가량을 dx와 dy라는 기호를 이용하여 나타냈습니다. 함수 f(x)에서 dx와 dy의 관계는 아래와 같습니다. $dy=f(x+dx)-f(x)$ 라이프니츠는 dx와 dy를 무한히 작은 양이라는 의미인 무한소라고 가정합니다. 무한소를 이용하여 순간변화율을 아래와 같이 정의했습니다. $\frac{dy}{dx}$ 무한소를 0은 아니지만 어떤 수 보다도 작은 수라고 정의했습니다. 그런데 dy와 dx가 0보다 큰 값을 가지면 $\frac{dy}{dx}$은 순간변화율이 아니게 되는데 이러한 모순은 해결하지 않고 넘어갔습니다. 이후 실수체계가 확립되고 나서 무한소는 존재할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 무한소를 수로 놓는 순간 0과 무한소 사이에 있는 또다른 수를 정의할 수 .. 2023. 2. 19.

3차원 곡면에서 접평면 구하는 방법 2차원 평면에서의 곡선은 $y=f(x)$ 형태로 표현됩니다. 예를 들면 $y=x^2$이 있습니다. 3차원 공간에서의 곡면은 $z=f(x,y)$ 형태로 표현됩니다. 예를 들면 $z=x^2+y^2$이 있습니다. $z=x^2+y^2$의 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. 빨간색이 x축, 초록색이 y축, 파란색이 z축입니다. 포물선을 z축을 중심으로 회전시킨 모양입니다. $z=x^2+y^2$ 의 x자리에 0을 한번 넣어봅시다. 아래와 같은 이차함수됩니다. $z=y^2$ x가 0이라는 것이 어떤 의미일까요? $z=x^2+y^2$ 에서 x가 0인 점들을 생각해봅시다. 이 점들은 아래와 같이 x=0 인 평면으로 $z=x^2+y^2$ 을 자른 단면과 같습니다. 단면의 형상은 $z=y^2$인 포물선입니다. 이제 본격적으.. 2023. 2. 16.

미분과 극한 제대로 이해하기 (3) 극한을 엄밀하게 정의한 입실론-델타 우리는 극한이라는 개념을 도입하여 함수 $y=x^2$ 위의 한 점 $A(a,a^2)$ 에서 그은 접선의 기울기를 아래와 같이 정의했습니다. A에서의 접선의 기울기 = $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^2 }{h}$ 이 값은 h가 0으로 갈 때, $\frac{2ah+h^2 }{h}$ 은 2a에 한 없이 가까워져 가므로 극한값은 2a 입니다. 그런데 누군가 이렇게 묻습니다. 2a로 한 없이 가까워져 간다는걸 어떻게 확신하는데? h는 0에 아주 가까워지면서 뭔가 다른 값이 되지 않으리란 보장이 있어? 질문을 듣고 다시 생각해 보니 헷갈립니다. 더 엄밀한 정의가 필요해 보입니다. 이러면 어떨까요? $\frac{2ah+h^2 }{h}$와 2a의 차이를 어떤 값으로 잡아도 , 차이를 그 .. 2023. 1. 30.

미분과 극한 제대로 이해하기 (2) 극한의 등장 지난시간에 만들었던 직선 AB의 기울기 수식은 아래와 같습니다. 직선 AB의 기울기 = $\frac{2ah+h^2 }{h}$ 아래 그림에서 유도했습니다. 우리는 한 가지 딜레마에 빠진 상태입니다. h가 0에 가까워져 가면 분명 기울기는 2a에 가까워져 간다는 것을 알 수 있습니다. 또한 x=a 에서 접선의 기울기가 존재한다는 것도 알 수 있습니다. 접선의 기울기는 2a 일 것입니다. 하지만 위 식에서 h는 0일 수 없기 때문에 위 식을 이용해서 x=a 에서의 접선의 기울기를 구할 수가 없습니다. 사람들은 함수의 극한이라는 개념을 만들어냈습니다. x가 한없이 a에 가까워질 떄 f(x) 가 한없이 L에 가까워지면, L을 극한값이라고 정의했습니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $\lim_{x\righta.. 2023. 1. 30.

미분과 극한 제대로 이해하기 (1) 미분의 모순 미분은 함수의 접선의 기울기를 구하는 것입니다. 우리는 미분을 이해하고 있다고 생각하지만 사실은 아닐 수도 있습니다. 오늘은 미분이 가지고 있는 모순에 대해 이야기해보려고 합니다. 먼저 미분의 원리를 알아보기 위해 간단한 함수를 가지고 접선의 기울기를 구해봅시다. 아래와 같은 2차함수가 있다고 합시다. $y=x^2$ 입니다. 점 A에서의 접선의 기울기를 구해볼 것입니다. A보다 값이 큰 점 B를 하나 더 설정합니다. 이제 A와 B를 연결한 직선을 만들어줍니다. 이 직선의 기울기를 수식으로 표현한 뒤, 점 B를 점점 A에 가깝게 만들어주다 보면 기울기가 A의 접선의 기울기에 가까워져 갑니다. 위 상황을 수식으로 표현해봅시다. 점 A의 좌표를 $(a,a^2)$ 이라고 놓겠습니다. 점 B의 좌표는 $(a+h,.. 2023. 1. 26.

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