[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (9) 이산확률변수 aX+b의 분산과 표준편차

[확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(9) 이산확률변수 aX+b의 분산과 표준편차]

이산확률변수 aX+b의 분산과 표준편차

이산확률변수 X의 분산을 V(X)라고 했을 때, aX+b의 분산은 아래와 같습니다. (a와 b는 상수입니다.)

증명해봅시다. 

이산확률변수 X와, 각 변수에 해당하는 확률값을 표로 나타내면 아래와 같습니다. 이산확률변수 X의 개수는 n개라고 가정하겠습니다. 

aX+b의 분산을 구하면 아래와 같습니다. (m을 X의 평균이라고 놓겠습니다.)

우변의 괄호 안을 계산하면 아래와 같습니다. 

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

a제곱으로 묶어줍시다. 

빨간 부분은 X의 분산입니다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

표준편차는 분산에 루트를 씌운 것이므로 아래와 같습니다.