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고등수학340

[5분 고등수학] 이항분포 이해하기 이항분포는 영어로 binomial distribution 이구요. 이항분포에서 '이'라는 단어는 둘(이)입니다. 항이 두개인 분포라는 말입니다. 항이 둘이라는 것은 확률이 '어떤 사건의 발생' '발생하지 않음'두가지로만 나뉜다는 말입니다. 독립시행의 기억을 떠올려봅시다. 1회 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 P이고, n번의 독립시행에서 사건 A가 r회 일어날 확률은 아래와 같습니다. $_n{C}_r{p}^r{\left({1-p}\right)}^{n-r}$ ​ 이때 r을 확률변수 X로 놓으면 확률 분포는 아래와 같습니다. $P\left(X=x\right)=_n{C}_x{p}^x{q}^{n-x}$ ​ 이번에는 표로 나타내봅시다. X 0 1 ... n 합 $P(X=x)$ ${n}C_{0}p^{0}q^{n}$.. 2022. 3. 8.
[5분 고등수학] 확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차 확률변수 aX+b에 대한 세가지 등식을 유도해보겠습니다. 세가지 등식은 아래와 같습니다. 1) $ E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b$ 2) $ V\left(aX+b\right)={a}^2V\left(X\right)$ 3) $ \sigma \left(aX+b\right)=\left|{\sigma }\right|V\left(X\right)$ 하나씩 유도해봅시다. 1) $ E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b$ 유도하기 위해서 아래와 같은 표를 그리겠습니다. X $x_{1}$ ... $x_{n}$ 합계 P(X=x) $p_{1}$ ... $p_{n}$ 1 확률변수 X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. $E\left(X\right)=\sum _{i.. 2022. 3. 7.
[5분 고등수학] 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차 X라는 확률변수가 있다고 해봅시다. x라는 확률변수는 x1부터 xn까지의 값을 갖구요. 각각의 확률은 p1부터 pn이라고 합시다. 아래와 같이 표로 나타낼 수 있습니다. X $x_{1}$ $x_{2}$ ... $x_{n}$ 합계 $P(X=x)$ $p_{1}$ $p_{2}$ ... $p_{n}$ 1 먼저 이산확률변수의 평균을 구해봅시다. 1) 평균 평균은 기댓값이라고도 합니다. 확률변수 X의 기댓값은 영어로 expectation이기 때문에 앞글자 E를 따서 E(X)라고 놓습니다. E(X)는 아래와 같이 계산합니다. $E\left(X\right)={x}_1{p}_1+{x}_2{p}_2+...+{x}_n{p}_n$ 간단한 예제를 통해서 직관적으로 이해해봅시다. 동전던지기 예제가 있습니다. 동전던지기를 하는데,.. 2022. 3. 4.
[5분 고등수학] 이산확률변수 vs 연속확률변수 확률변수는 이산확률변수와 연속확률변수로 나눠집니다. 이산확률변수와 연속확률변수를 비교하면서 공부해봅시다. 이산확률변수의 이산의 뜻은 떠날 '이' 흩어질 '산'입니다. 떨어져서 흩어져 있는 확률변수라는 말입니다. 연속확률변수는 이산의 반대입니다. 끊어져 있지 않고, 연결되어 있는 확률변수입니다. 간단한 예시를 통해서 이해해봅시다. 이산확률변수의 대표적인 예시는 '동전던지기' 입니다. 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 한다면 아래와 같은 표로 정리할 수 있습니다. 확률변수 X는 0과 1이라는 두개의 값을 갖습니다. X 0 1 P(X) 0.5 0.5 이산확률변수의 특징은 표로 나타낼 수 있다는 것이구요. 그래프로 그리면 아래와 같습니다. 이 함수를 확률질량함수라고 부릅니다. 확률질량.. 2022. 3. 3.
[5분 고등수학] 독립시행 독립시행의 정의는 아래와 같습니다. "어떤 시행을 여러번 반복할 때, 각 시행이 서로 독립인 경우의 시행" 예를 들면 주사위 던지기가 있습니다. 우리가 주사위를 던질 때, 이번에 2가 나왔다고 해서 다음번에 2가 나올 확률이 달라지지 않죠. 매번 던질 때마다 각각의 눈이 나올 확률은 1/6으로 일정합니다. 이런 시행을 독립시행이라고 합니다. 이번에는 독립시행의 확률을 공부해봅시다. 독립시행의 확률의 정의는 아래와 같습니다. "시행을 1번 했을 때, A가 발생할 확률을 P라고 하자. 이 시행을 n번 했을 때 A가 r번 일어날 확률이 '독립시행의 확률'이다" 예를들어 봅시다. 주사위를 한번 던질 때, 홀수의 눈이 나올 확률을 1/2입니다. 이 주사위를 n번 던졌을 때, 홀수의 눈이 r번 나올 확률이 독립시행.. 2022. 3. 2.
[5분 고등수학] 조건부 확률 & 확률의 곱셈정리 먼저 조건부확률의 정의를 말씀드리겠습니다. 조건부확률은 사건 A가 일어났다는 조건 하에, 사건 B가 일어날 호가률입니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $P\left({B}|{A}\right)$ 위 수식의 나온 기호 | 는 bar라고 부릅니다. 집합의 조건제시법에서도 사용된 기호입니다. 조건부 확률을 계산해봅시다. 아래와 같은 표본공간이 있습니다. 이 표본공간에서 A라는 사건이 발생한겁니다. A가 발생했기 때문에, 표본공간이 A로 좁혀집니다. 이런 상황에서 B가 발생하는 사건은 A와 B가 겹치는 부분이 됩니다. 따라서 확률은 아래와 같이 계산됩니다. $P\left({B}|{A}\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}$ 우변의 분자와 분모를 n(S.. 2022. 2. 28.
[5분 고등수학] 확률의 덧셈정리 S라는 표본공간 안에 A라는 사건과 B라는 사건이 있습니다. 이때, A 또는 B가 발생할 확률을 아래와 같이 나타냅니다. $P\left(A\cup B\right)$ 주사위를 예로 든다면, 홀수의 눈 또는 2의 배수가 발생할 확률 등이 있습니다. A와 B의 합집합의 확률이 아래와 같이 계산된다는 등식이 '확률의 덧셈정리'입니다. $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$ A와 B의 교집합의 확률은 'A 그리고 B'의 확률입니다. 확률의 덧셈정리를 유도해봅시다. 위 벤다이어그램에서 집합의 원소의 개수들 사이에는 아래 등식이 성립합니다. $n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\le.. 2022. 2. 25.
[5분 고등수학] 시행, 표본공간, 사건 용어의 의미를 영어단어와 함께 이해해봅시다. 1. 시행 시행은 영어로 trial 또는 experiment라고 합니다. 위키피디아에서 가져온 시행의 뜻은 아래와 같습니다. "In probability theory, an experiment or tial is any procedure that can be infinitely repeated and has a well-defined set of possible outcomes" 확률이론에서, 시행은 무한히 반복될 수 있고 잘 정의된 집합을 결과로 가질 수 있는 과정 혹은 절차이다" 따라서 시행은 두가지 조건을 만족해야 합니다. 1) 무한히 반복될 수 있음 2) 잘 정의된 집합을 결과로 가져야 함 2. 표본공간 표본공간은 영어로 sample space라고 합니.. 2022. 2. 24.
[5분 고등수학] 이항계수의 네가지 성질 이항정리를 이용해서 아래 식을 전개해보겠습니다. ${\left({1+x}\right)}^n=_n{C}_n{x}^n+_n{C}_{n-1}{x}^{n-1}+...+_n{C}_2{x}^2+_n{C}_1{x}+_n{C}_0$ 1) x에 1을 넣어봅시다. $2^n=_n{C}_n+_n{C}_{n-1}+...+_n{C}_2+_n{C}_1+_n{C}_0$ 적용을 해봅시다. 아래 식을 계산한 값이 얼마일까요? $_{15}{C}_0+_{15}{C}_1+_{15}{C}_2+...+_{15}{C}_{14}+_{15}{C}_{15}$ 손으로 계산하려면 엄두가 나지 않는데요. 위 식을 이용하면 쉽게 계산됩니다. $_{15}{C}_0+_{15}{C}_1+_{15}{C}_2+...+_{15}{C}_{14}+_{15}{C}_{15}=.. 2022. 2. 22.
[5분 고등수학] 중복조합의 직관적 이해 중복조합은 n개 중에서 중복을 허락하여 r개를 택하는 경우의 수 입니다. 예를들어 a,b,c 라는 세개의 문자가 있다고 해봅시다. 중복을 허락하여 5개를 택하는 경우를 써봅시다. abbcc abccc abbbc ... aaaaa bbbbb cccccc 등이 있을 것입니다. 이 모든 경우가 몇가지인지 구하는 것이 중복조합입니다. 위와 같은 상황은 중복조합으로 아래와 같이 나타냅니다. $_3{H}_5$ n개 중에서 중복을 허락하여 r개를 뽑는 경우의 수는 아래와 같이 나타냅니다. $_n{H}_r$n​Hr​​ 직접 세려고 하면 너무 많은데요. 놀랍게도, 이 중복조합을 계산하는 식을 사람들이 발견했습니다. 그 식을 발견해가는 과정을 말씀드리겠습니다. 위 경우를 예로들어봅시다. 아래와 같이 문자와 문자 사이에 칸.. 2022. 2. 16.
[5분 고등수학] 조합 관련 공식의 직관적 이해 조합과 관련된 두 가지 공식을 유도하고, 이해해볼겁니다. 첫번째 공식은 아래와 같습니다. $_n{C}_r=_n{C}_{n-r}$ 먼저 수학적으로 증명해봅시다. 팩토리얼 식으로 양변을 전개하면 아래와 같습니다. $\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$ 양변이 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이번에는 간단한 예제를 이용해서 직관적으로 이해해봅시다. 농구선수 8명이 있는데요. 이 중에서 선발로 뛸 5명을 뽑아야 하는 상황입니다. 가장 먼저 떠오르는 생각은 8명중 5명을 조합으로 뽑는 것입니다. $_8{C}_5$ 이 상황을 다른 관점으로 생각해봅시다. 8명 중에 5명을 뽑는다고 생각하는게 아니라, 3명을 남긴다고 생각하는 겁니다. 벤치.. 2022. 2. 14.
[5분 고등수학] 조합 농구동아리의 맴버를 뽑아야 하는 상황입니다. 8명을 뽑으려고 했는데, 50명이 지원을 한겁니다. 이때 50명 중 8명을 뽑는 경우의 수가 몇가지 인지 계산해봅시다. 우리는 순열을 이미 배운 상태입니다. 순열은 n개 중에서 r개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수이고, 아래와 같이 계산합니다. $_n{P}_r=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$ 먼저 순열을 이용하여 50명 중에서 8명을 뽑아서 일렬로 나열하는 경우의 수를 구해봅시다. $_{50}{P}_8=\frac{50!}{\left(50-8\right)!}=\frac{50!}{42!}$ 순열은 50명 중에 8명을 뽑고, 일렬로 나열한 것입니다. 순열의 결과를 일렬로 나열한 경우의 수인 8!로 나눈다면, '50명 중에 8명을 뽑은' 경.. 2022. 2. 11.
[5분 고등수학] 다각형 순열 다각형순열은 원순열의 심화버전이라고 생각하시면 됩니다. 정사각형, 직사각형, 정삼각형, 직각삼각형 등 여러 유형을 만들 수 있습니다. 아래 보이는 그림처럼 정사각형으로된 식탁이 하나 있습니다. 8명의 사람을 앉히려고 합니다. 원순열과 마찬가지로, 정사각형 식탁 밑에 회전판이 있어서 식탁이 계속 회전하고 있다고 가정합시다. 우리는 지난 두 강의에서 원순열을 풀 때의 두 가지 관점을 배웠습니다. 1. n! 로 나열한 뒤, 중복되는 만큼 나눠줌. 2. 먼저 한명을 앉혀 놓고, 나머지 자리에 남은 사람들을 앉힘. 다각형순열은 두번째 관점으로 풀어주셔야 합니다. 식탁에 앉히려는 사람 8명의 이름이 아래와 같다고 합시다. A,B,C,D,E,F,G,H A라는 사람을 식탁에 먼저 앉혀봅시다. 몇가지 방법이 있을까요? .. 2022. 2. 7.
[5분 고등수학] 원순열 쉽게 이해하기 (관점2) 원순열을 이해하는 관점은 두가지가 있습니다. 1) 순열을 구하고 중복을 제거 2) 회전하는 성질을 처음부터 고려하여 계산 지난 시간에 피젯 스피너 예제를 통해서, 첫번째 관점을 배웠습니다. 우리가 찾아낸 원순열을 계산하는 방법은 아래와 같습니다. 크기가 n인 원순열에서 회전만 가능 : $\frac{n!}{n}$ 크키가 n인 원순열에서 회전과 뒤집기가 가능 $\frac{1}{2}\times \frac{n!}{n}$ 오늘은 테이블 예제를 통해 원순열을 이해하는 두번째 관점을 배워봅시다. 위와 같이 테이블과 의자 두개가 놓여있습니다. A라는 사람과 B라는 사람 두 사람을 의자에 앉혀봅시시다. 몇가지 경우가 있나요? 2가지입니다. 그런데 우리가 고등학교 과정에서 배우는 예제들은 한가지 가정을 하고 있습니다. 테.. 2022. 1. 11.
[5분 고등수학] 원순열 쉽게 이해하기 (관점1) 원순열을 이해하는 관점은 두가지가 있습니다. 1) 순열을 구하고 중복을 제거 2) 회전하는 성질을 처음부터 고려하여 계산 오늘은 첫번째 관점으로 원순열을 계산해봅시다. 우리가 피젯스피너를 만드는 회사에 다니고 있다고 해봅시다. 아래 보이시는 그림은 피제스피너입니다. 새로운 피젯스피너를 개발하는데, 빨강/초록/파랑 세가지 색을 이용하여 날개 부분을 칠하려고 합ㄴ다. ​ 색은 한번씩만 사용할 거구요. 몇가지 칠하는 방법이 있을지 계산해봅시다. ​ 먼저 빨/파/초 세가지 색을 일렬로 나열해봅시다. ​ 3x2x1 이므로, 6가지 경우가 있습니다. ​ 빨파초 빨초파 파빨초 파초빨 초빨파 초파빨 ​ 이 중에서 빨파초, 파초빨, 초빨파로 피젯스피너를 만들어봅시다. 위 그림의 첫번째 피젯스피너를 시계방향으로 회전시켜봅.. 2022. 1. 10.
[5분 고등수학] 이웃한 순열 쉽게 이해하기 어느 날 다섯명의 친구가 영화관에 갔습니다. 마침 영화관에는 서로 붙어있는 다섯자리가 남아있었습니다. 다섯명의 친구를 A,B,C,D,E라고 놓겠습니다. 다섯명의 친구 중 B와 C 두 친구가 커플이었습니다. 자리에 앉을 때 자기 둘은 붙어앉겠다고 했습니다. 이렇게 B와 C라는 커플이 옆자리에 나란히 앉게 하면서 다섯사람이 다섯자리에 앉을 수 있는 경우의수를 구해봅시다. 먼저 B와 C라는 커플을 하나로 묶어서 한사람인 것처럼 생각하겠습니다. 아래와 같은 상황입니다. A (BC) D E 마치 네 사람이 있는 것처럼 생각할 수 있습니다. 이제 이 네사람을 일렬로 배열하는 것입니다. 배열해봅시다. 4x3x2x1=24 24지가 있습니다. 이렇게 24가지의 상황 중에서 한가지 상황을 한번 생각해봅시다. A (BC) .. 2022. 1. 5.
[5분 고등수학] 정적분의 부분적분법 부분적분법은 기본적인 적분방법으로 적분이 안될때 사용하는 하나의 텍크닉입니다. 다양한 분야에서 자주 사용하는 테크닉이라 매우 중요합니다. 부분적분법은 아래와 같습니다. $\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx=\left[ f(x)g(x) \right]^{b}_{a}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx$ 유도해봅시다. f(x)와 g(x)의 곱의 미분은 아래와 같습니다. $\left\{ f(x)g(x) \right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ 양변에 구간 a~b 까지의 적분을 취해봅시다. $\int_{a}^{b}\left\{ f(x)g(x) \right\}'dx=\int_{a}^{b}\left\{ f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \right\}dx$ 좌변을 적분하면 아래와 같습니.. 2021. 12. 24.
[5분 고등수학] 정적분의 삼각치환 적분법 삼각함수로 치환해야 적분을 계산할 수 있는 경우가 있습니다. 아래와 같은 경우들입니다. $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$ $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx$ $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx$ a는 양수입니다. 하나씩 풀어봅시다. 1) $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$ x를 $a\sin \theta$로 치환합시다. 이때 변수 x가 치환될 변수는 $\theta$입니다. $x=a\sin\theta$ $\theta$의 적분 구간도 구해주여야 하는데요. x가 $x_{1}$에서 $x_{2}$까지 변할 때 $\th.. 2021. 12. 22.
[5분 고등수학] 정적분의 치환적분 정적분의 치환적분은 일반적인 방법으로 적분이 되지 않을 때, 치환을 이용하여 적분을 하는 테크닉입니다. 일반화 된 공식만 보면 와닿지 않을 수 있어서, 예시를 통해 먼저 이해하고나서 일반화해보겠습니다. 아래 문제를 풀어봅시다. $\int_{1}^{3}3x\sqrt{x^{2}-1}dx$ $x^{2}-1$을 t로 치환합시다. $x^{2}-1=t$ 먼저 구간을 구합시다. x가 1~3로 변할 때, t는 0~8로 변합니다. 이제 양변을 미분합시다. $2xdx=dt$ 원래 식에 치환한 식들을 대입합시다. $\int_{0}^{8}\frac{2}{3}\sqrt{t}dt$ 적분합시다. $\frac{3}{2}\left[ \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \right]^{8}_{0}$ 계산하면 아래와 같습니다.. 2021. 12. 21.
[5분 고등수학] 역함수의 미분법 함수 f(x)의 역함수를 g(x)라고 놓겠습니다. 이때 아래 두 등식이 성립합니다. $f^{-1}(x)=g(x)$ $f\circ g(x)=f(g(x))=x$ 아래 식의 양변을 미분합시다. $f(g(x))=x$ 미분 결과는 아래와 같습니다. $f'(g(x))g'(x)=1$ 아래와 같이 변형합시다. $g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$ 역함수의 미분공식이 유도되었습니다. 예시 문제를 하나 풀면서 어떻게 사용되는지 알아봅시다. $f(x)$와 $g(x)$가 서로 역함수 관계이다. $f'(1)=5,f(1)=3$일 때, $g'(3)$을 구하여라. 우리가 유도한 공식의 x자리에 3을 대입합시다. $g'(3)=\frac{1}{f'(g(3))}$ f(1)=3이므로, 역함수 관계에 의해 g(3)=1 입니다. 따.. 2021. 12. 20.
[5분 고등수학] 삼각함수의 미분법 (tanx, cotx, secx, cscx) 우리는 지난 강의에서 $\sin x$와 $\cos x$의 미분을 유도한 상태입니다. 몫의 미분법도 유도했습니다. 오늘은 아래 네 삼각함수의 미분을 유도해봅시다. 앞에서 배운 미분법이 사용됩니다. $(\tan x)'=\sec^{2}x$ $(\cot x)'=-\csc^{2}x$ $(\sec x)'=\sec x \tan x$ $(\csc x)'=-\csc x \cot x$ 하나씩 유도해봅시다. 1. $(\tan x)'$ 아래 성질에서 출발합시다. $\tan x =\frac{\sin x }{\cos x}$ 양변을 x로 미분합시다. 우변은 몫의 미분법을 이용하여 미분하면 됩니다. $(\tan x)'=\frac{(\sin x)'\cos x-(\cos x)'\sin x}{\cos^{2}x}$ 사인과 코사인의 미분을 .. 2021. 12. 17.
[5분 고등수학] 합성함수의 미분 합성함수의 미분법은 아래와 같습니다. $y=f(g(x))$ $y'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ 유도해봅시다. 합성함수에서 출발합니다. $y=f(g(x))$ g(x)를 u로 치환하겠습니다. $y=f(u)$ 양변을 x로 미분합시다. $\frac{dy}{dx}=\frac{df(u)}{dx}$ u는 x로 미분할 수 없으므로 체인룰을 적용합니다. $\frac{dy}{dx}=\frac{df(u)}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ g(x)=u 이므로 미분하면 아래와 같습니다. $g'(x)=\frac{du}{dx}$ 유도하던 식에 대입합시다. $\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)$ u=g(x)입니다. 아래 식이 유도됩니다. $\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'.. 2021. 12. 16.
[5분 고등수학] 함수의 몫의 미분법 유도 유리식 형태 함수의 미분결과는 아래와 같습니다. $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ $y'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^{2}}$ 유도해봅시다. 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$ 분자를 통분합시다. $y'=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)g(x)-g(x+h)f(x)}{g(x+h)g(x)}}{h}$ 범분수를 계산해줍니다. $y'=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-g(x+h)f(x)}{h\cdot g(x+h)g(x)}$ 분자에 g(x)f(x) 를 더하고 빼줍니다. 0을 .. 2021. 12. 15.
[5분 고등수학] 삼각함수의 합성 삼각함수 두개를 하나로 합치는 방법이 있습니다. 모든 경우에 다 되는 것은 아니고 각도가 같은 사인과 코사인값을 합치는 것이 가능합니다. 아래와 같이 두 가지 방법으로 합칠 수 있는데요. $\alpha$와 $\beta$의 의미는 뒤에서 설명하겠습니다. $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$ $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta-\beta)$ 외워서 풀면 금방 잊습니다. 원리를 이해하고 원리로 푸는 것을 추천드립니다. 하나씩 유도해봅시다. 1) $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$ 계수인 a와 b.. 2021. 12. 7.
[5분 고등수학] 삼각함수의 덧셈정리 삼각함수에서 각도의 합과 차에 대한 유용한 공식들이 있습니다. 아래 여섯가지 공식입니다. $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ $\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan.. 2021. 12. 1.
[5분 고등수학] 삼각함수들 사이의 관계 (sin,cos,tan,sec,csc,cot) 우리가 배운 삼각함수들은 아래와 같습니다. $\sin \theta$ $\cos \theta$ $\tan \theta$ $\sec \theta$ $\csc \theta$ $\cot \theta$ 이들을 서로 연결하는 관계식들이 유도되어 있습니다. 아래와 같은 관계식들입니다. 1) $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 2) $\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta=1$ 3) $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ 4) $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$ 각 관계를 직접 유도해봅시다. 삼각함수의 정의를 이용하면 쉽게 유도할 수 있습니다. 삼각함수는 아래와 같은 원에서 정의됩니다. $\sin \t.. 2021. 11. 30.
[5분 고등수학] 호도법은 무엇이며 왜 필요한가 (라디안) 각도는 크게 두가지가 있습니다. 우리에게 익숙한 도(º)를 사용하는 60분법과, 라디안(radian)을 사용하는 호도법이 있습니다. - 60분법 (º) - 호도법 (rad) 60분법은 1회전 360으로 놓은 것입니다. 원의 중심각이 360개로 나눠지고 그중 하나가 1도가 됩니다. 60분법은 일상에서 자주 사용하기 때문에 우리에게 익숙합니다. 반면 호도법은 일상에서 자주 쓰이지는 않습니다. 하지만 호도법은 수학과 공학 분야에서 아주 유용하게 사용되는 표기법입니다. 오늘은 호도법이 무엇인지 배워봅시다. 1) 1 라디안은 어떻게 정의되는가 호도법은 라디안을 각도의 단위로 합니다. 1라디안은 아래와 같이 정의됩니다. 1라디안은 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각입니다. 2) 1라디안은 몇도일까? .. 2021. 11. 26.
[5분 고등수학] 로그함수의 미분법 (도함수) 로그함수는 아래와 같이 두 종류가 있습니다. 밑이 실수 a인 경우와 밑이 e인 경우입니다. e도 실수에 포함되지만 특별한 성질이 있어서 따로 분류하였습니다. 밑이 e인 경우의 로그를 자연로그라고 하고 기호로는 $\ln x$로 나타냅니다. $y=\text{log}_{a}x$ $y=\ln x$ 각각의 미분방법을 알아봅시다. 1) $y=\text{log}_{a}x$ 의 미분 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h} $ 분자를 계산해줍니다. $y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\log_{a}\frac{x+h}{x}}{h} $ 아래.. 2021. 11. 25.
[5분 고등수학] 지수함수의 미분법 (도함수) 지수함수는 아래와 같이 두 종류가 있습니다. 밑이 실수 a인 경우와 밑이 e인 경우입니다. e도 실수에 포함되지만 특별한 성질이 있어서 따로 분류하였습니다. $a^{x}$ $e^{x}$ 각각의 미분방법을 알아봅시다. 1) $a^{x}$ 의 미분 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}$ 아래와 같이 묶어줍니다. $y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x}\left( a^{h}-1 \right)}{h}$ 극한과 무관한 항을 밖으로 꺼내줍니다. $y'=\frac{dy}{dx}= a^{x} \lim_{h \rightarrow 0} \frac.. 2021. 11. 24.
[5분 고등수학] 지수함수와 로그함수의 극한 지수함수와 로그함수의 극한을 공부해봅시다. 아래와 같은 네가지 종류의 극한값을 공부해볼 것입니다. (1) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}$ (2) $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}$ (3) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}$ (4) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}$ 1번부터 극한값을 구해봅시다. (1) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}$ 아래와 같이 식을 분리해서 써줍시다. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(.. 2021. 11. 23.
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