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라그랑주 승수법 (쉬운설명) x+y 의 최댓값을 찾고 싶은 상황이라고 해봅시다. 아래와 같은 조건이 걸려 있는 상황입니다. $x^2+y^2=1$ x+y=k 라고 놓고 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. k의 최댓값은 직선이 원에 접할때 발생합니다. 여기서 주의해야할 점은 직선이 원이 접할때가 항상 최댓값은 아니라는 것입니다. 직선이 원에 접하는 k 값을 중에 최댓값이나 최솟값이 있을 수 있는 것입니다. 이제 차원을 하나 확장해봅시다. x+y+z 의 최댓값을 구하고 싶은 상황입니다. 아래와 같은 조건이 걸려 있습니다. $x^2+y^2+z^2=1$ x+y+z=k 라고 놓고 k의 최댓값을 구하면 됩니다. x+y+z=k 는 평면입니다. $x^2+y^2+z^2=1$는 구 입니다. 최댓값은 구와 평면이 접하는 곳에서 발생합니다. 구와 평면이 .. 2023. 10. 24.
컨볼루션 적분(합성곱) 쉽게 이해하기 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있을 때, 두 함수의 합성곱은 아래와 같이 정의됩니다. $\left ( f\ast g \right )(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(t-x)dx$ 식만봐서는 잘 와닿지 않은데 간단한 예제를 풀고 나면 의미가 이해되실 겁니다. 쉬운 예제를 하나 풀어봅시다. 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 합성곱을 구하는 예제입니다. 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 아래와 같이 놓겠습니다. 그래프가 없는 나머지 영역에서의 함수값은 0입니다. 컨볼루션 적분을 위해 $g(t-x)$ 를 그려야합니다. $g(x)$를 y축 대칭하고 x축으로 t만큼 평행이동한 그래프입니다. 아래와 같습니다. t의 번위에 따라 몇가지 경우로 나눠서 f(x)와 g(x)를 하나의 좌표평면.. 2023. 10. 17.
이 기호는 무슨 의미일까? ≜ 공학과 관련된 문헌들을 읽다 보면 아래와 같은 기호가 등장하는 경우가 있다. 아래 수식은 캐빈 머피가 쓴 책인 확률적 머신러닝에 등장하는 수식이다. 등호 위에 세모가 올려져 있는 이상한 기호가 등장하고, 이 기호는 별것 아닌 간단한 수식을 어려워 보이게 만든다. 이 기호는 왼쪽이 오른쪽과 같이 '정의'된다는 뜻이다. 세모는 그리스어 delta 의 대문자이고, 아마 definition 의 d를 의도한 것 같다. 2023. 9. 12.
기저변환 쉽게 이해하기 (좌표변환) 어떤 벡터 $\vec{v}$가 있다고 합시다. 이 벡터를 기저 $\vec{e}_{1}$과 $\vec{e}_{2}$를 이용하여 나타내면 $(x,y)$ 라고 하겠습니다. $\vec{v}=x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}$ 같은 벡터를 기저 $\vec{g}_{1}$ 과 $\vec{g}_{2}$로 나타내면 어떻게 되는지를 구하는 것이 목적입니다. 기저들 사이의 관계는 아래와 같습니다. 아래 식을 1번 식이라고 놓겠습니다. $\vec{g}_{1}=a_{11}\vec{e}_{1}+a_{12}\vec{e}_{2}$ $\vec{g}_{2}=a_{21}\vec{e}_{1}+a_{22}\vec{e}_{2}$ 위 조건들을 이용하여 벡터 $\vec{v}$ 를 기저 $\vec{g}_{1}$ 과 $\vec{g}_{2.. 2023. 8. 10.
고윳값과 고유벡터 쉽게 이해하기 1) 고윳값과 고유벡터란? 어떤 행렬 A가 있다고 합시다. 어떤 벡터에 행렬 A를 곱하면 벡터가 선형변환됩니다. 어떤 벡터에 행렬 A를 곱했는데, 그 결과가 벡터의 상수배가 되는 벡터가 존재할 수 있습니다. 아래와 같은 등식이 성립하는 것입니다. $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$ 2x2 행렬과 2차원 벡터를 예로 들면 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\lambda \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}$ 이러한 조건을 만족하는 벡터를 행렬 A의 고유벡터, $\lambda$를 고유값이라고 부릅니다. 2) 고윳값.. 2023. 8. 9.
행렬형태의 연립방정식을 이해하는 세가지 관점 아래와 같은 연립방정식이 있다고 합시다. $x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=3 \\ 2x_{1}-x_{2}+4x_{3}=1 \\ 3x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=1$ 행렬형태로 표현하면 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 2 & -1 & 4\\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 3차원 공간을 떠올릴 수 있는 익숙한 미지수인 x,y,z 로 바꾸겠습니다. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 2 & -1 & 4\\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{.. 2023. 8. 8.
다각형의 넓이를 구하는 방법 (모든 다각형 가능, +코딩) 아래와 같은 다각형이 있다고 합시다. 이 다각형의 넓이를 구하는 방법은 여러가지가 있을 것입니다. 삼각형 여러개로 나눠서 구할 수도 있고, 정사각형의 넓이에서 나머지 부분을 빼서 구할 수도 있습니다. 그 외에도 방법이 더 있을 겁니다. 오늘 소개할 방법은 어떤 다각형이던 상관없이 통하는 방법입니다. 간단한 예제로 방법을 배워봅시다. 아래 다각형의 넓이를 구하고 싶은 상황입니다. 먼저 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{1}$이라고 놓겠습니다. 다음은 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{2}$이라고 놓겠습니다. 다음은 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{3}$이라고 놓겠습니다. 다음은 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{4}$라고 놓겠습니다. 모아보면 아래와 같습니다. 다각형의 넓이는 아래와.. 2023. 6. 20.
[좌표 변환] 글로벌 좌표를 로컬좌표로, 또는 그 반대 좌표평면에 P 라는 점이 있습니다. 로컬좌표계의 중점은 $O_{L}$입니다. 로컬 좌표계는 x축에 대해 $\theta$만큼 기울어져 있습니다. $\theta$ 만큼 회전시키는 회전행렬을 M이라고 놓겠습니다. 위 상황에 대해 아래 등식이 성립합니다. $\vec{OP}=M\times \vec{O_{L}P}+\vec{OO_{L}}$ 만약 로컬좌표계의 중점의 좌표 (a,b)와 로컬좌표계에서의 점 P의 좌표 (c,d)를 알고 있다면 위 식을 이용하여 글로벌 좌표계에서의 P의 좌표를 구할 수 있습니다. $\vec{OP}=\begin{bmatrix} \cos 30^{\circ} & -\sin 30^{\circ} \\ \sin 30^{\circ} & \cos 30^{\circ} \end{bmatrix} \begin{b.. 2023. 5. 29.
[벡터의 회전과 행렬] (1) 2차원 평면 벡터의 회전은 벡터의 행렬을 곱하는 것으로 나타낼 수 있습니다. 어떻게 그럴 수 있는지 알아봅시다. x축과의 각도가 $\alpha$ 인 벡터 $(a,b)$를 $\theta$ 만큼 회전한 벡터를 $(c,d)$ 라고 합시다. 두 벡터의 관계를 $\theta$ 에 대해 나타내 볼 것입니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 벡터의 길이를 r이라고 했을 때 a와 b를 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $r\cos \alpha =a$ $r\sin \alpha =b$ c와 d는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $r\cos (\theta+\alpha)=c$ $r\sin (\theta+\alpha)=d$ 위 두 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $r\left ( \cos\theta\cos\alpha-\sin\.. 2023. 5. 24.
함수의 극한 설명 문과버전 f(x)=3x 라는 함수가 있습니다. x가 3에 가까이 갈 때, f(x) 는 어디에 가까이 갈까요? y는 9에 가까이 갑니다. 이때 9를 x가 3으로 가까이 갈 때, f(x)의 극한값이라고 정의합니다. 이 상황을 기호로 표현하면 아래와 같습니다. $\lim_{x\rightarrow 3}3x=9$ 여기서 주의할 점이 있습니다. 위 수식은 f(x)가 9가 된다는 말이 아닙니다. f(x)가 다가가는 수가 9라는 것입니다. 이 미묘한 차이를 이해해야 합니다.미묘한 차이를 크게 확대해 볼 수 있는 예시를 하나 가져왔습니다. 극한이 무엇인지 정말 이해했는지 알아볼 수 있는 예시입니다. $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x(x-3)}{x-3}$ 위 극한값은 얼마일까요? 6입니다. 6이라는게 이해되시.. 2023. 4. 13.
미분형식 이해하기 (3) 전미분공식 유도 미분형식의 개념을 3차원으로 확장하면 이변수 함수의 전미분 공식이 유도됩니다. $z=f(x,y)$라는 곡면이 있다고 합시다. 이 곡면 위의 한 점 $P(a,b,c)$에서의 접선을 $\vec{v}$라고 놓겠습니다. $dx, dy, dz$를 정의할 건데요. 각각을 접선벡터 $\vec{v}$의 x,y,z 방향 성분으로 정의합시다. 이제 $dx,dy,dz$ 사이의 관계식을 구해볼겁니다. 점 P에서의 접평면의 방정식을 이용합시다. 점 P에서의 접평면의 방정식은 아래와 같습니다. $(z-a)=f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)$ 접평면 방정식의 유도는 링크를 참고하세요. 점 $(a+dx(\vec{v}),b+dy(\vec{v}),c+dz(\vec{v}))$ 는 벡터 $\vec{v}$의 종점이므로.. 2023. 2. 24.
미분형식 이해하기 (2) dx와 dy의 부활 2차원 평면에 어떤 함수 $y=f(x)$가 있다고 합시다. 이 함수 위의 한 점 $(x,f(x))$에서의 접선의 기울기는 $f'(x)$ 입니다. 이 접선과 방향이 같은 벡터를 $\vec{v}$라고 놓겠습니다. $\vec{v}$의 크기는 얼마이던 상관 없습니다. 이제 $dx$와 $dy$를 새롭게 정의해봅시다. $dx$를 $\vec{v}$의 x축 성분을 구하는 함수라고 정의합시다. $dy$를 $\vec{v}$의 y축 성분을 구하는 함수라고 정의합시다. 이렇게 정의하면 $\vec{v}$의 크기가 얼마건 아래 등식이 성립합니다. $dy=f'(x)dx$ 이제 $dy$와 $dx$를 각각 사용할 수 있게 되었습니다. 2023. 2. 21.
미분형식 이해하기 (1) dx와 dy의 문제점 라이프니츠는 $x$와 $y$의 아주 작은 증가량을 dx와 dy라는 기호를 이용하여 나타냈습니다. 함수 f(x)에서 dx와 dy의 관계는 아래와 같습니다. $dy=f(x+dx)-f(x)$ 라이프니츠는 dx와 dy를 무한히 작은 양이라는 의미인 무한소라고 가정합니다. 무한소를 이용하여 순간변화율을 아래와 같이 정의했습니다. $\frac{dy}{dx}$ 무한소를 0은 아니지만 어떤 수 보다도 작은 수라고 정의했습니다. 그런데 dy와 dx가 0보다 큰 값을 가지면 $\frac{dy}{dx}$은 순간변화율이 아니게 되는데 이러한 모순은 해결하지 않고 넘어갔습니다. 이후 실수체계가 확립되고 나서 무한소는 존재할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 무한소를 수로 놓는 순간 0과 무한소 사이에 있는 또다른 수를 정의할 수 .. 2023. 2. 19.
3차원 곡면에서 접평면 구하는 방법 2차원 평면에서의 곡선은 $y=f(x)$ 형태로 표현됩니다. 예를 들면 $y=x^2$이 있습니다. 3차원 공간에서의 곡면은 $z=f(x,y)$ 형태로 표현됩니다. 예를 들면 $z=x^2+y^2$이 있습니다. $z=x^2+y^2$의 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. 빨간색이 x축, 초록색이 y축, 파란색이 z축입니다. 포물선을 z축을 중심으로 회전시킨 모양입니다. $z=x^2+y^2$ 의 x자리에 0을 한번 넣어봅시다. 아래와 같은 이차함수됩니다. $z=y^2$ x가 0이라는 것이 어떤 의미일까요? $z=x^2+y^2$ 에서 x가 0인 점들을 생각해봅시다. 이 점들은 아래와 같이 x=0 인 평면으로 $z=x^2+y^2$ 을 자른 단면과 같습니다. 단면의 형상은 $z=y^2$인 포물선입니다. 이제 본격적으.. 2023. 2. 16.
미분과 극한 제대로 이해하기 (3) 극한을 엄밀하게 정의한 입실론-델타 우리는 극한이라는 개념을 도입하여 함수 $y=x^2$ 위의 한 점 $A(a,a^2)$ 에서 그은 접선의 기울기를 아래와 같이 정의했습니다. A에서의 접선의 기울기 = $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^2 }{h}$ 이 값은 h가 0으로 갈 때, $\frac{2ah+h^2 }{h}$ 은 2a에 한 없이 가까워져 가므로 극한값은 2a 입니다. 그런데 누군가 이렇게 묻습니다. 2a로 한 없이 가까워져 간다는걸 어떻게 확신하는데? h는 0에 아주 가까워지면서 뭔가 다른 값이 되지 않으리란 보장이 있어? 질문을 듣고 다시 생각해 보니 헷갈립니다. 더 엄밀한 정의가 필요해 보입니다. 이러면 어떨까요? $\frac{2ah+h^2 }{h}$와 2a의 차이를 어떤 값으로 잡아도 , 차이를 그 .. 2023. 1. 30.
미분과 극한 제대로 이해하기 (2) 극한의 등장 지난시간에 만들었던 직선 AB의 기울기 수식은 아래와 같습니다. 직선 AB의 기울기 = $\frac{2ah+h^2 }{h}$ 아래 그림에서 유도했습니다. 우리는 한 가지 딜레마에 빠진 상태입니다. h가 0에 가까워져 가면 분명 기울기는 2a에 가까워져 간다는 것을 알 수 있습니다. 또한 x=a 에서 접선의 기울기가 존재한다는 것도 알 수 있습니다. 접선의 기울기는 2a 일 것입니다. 하지만 위 식에서 h는 0일 수 없기 때문에 위 식을 이용해서 x=a 에서의 접선의 기울기를 구할 수가 없습니다. 사람들은 함수의 극한이라는 개념을 만들어냈습니다. x가 한없이 a에 가까워질 떄 f(x) 가 한없이 L에 가까워지면, L을 극한값이라고 정의했습니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $\lim_{x\righta.. 2023. 1. 30.
미분과 극한 제대로 이해하기 (1) 미분의 모순 미분은 함수의 접선의 기울기를 구하는 것입니다. 우리는 미분을 이해하고 있다고 생각하지만 사실은 아닐 수도 있습니다. 오늘은 미분이 가지고 있는 모순에 대해 이야기해보려고 합니다. 먼저 미분의 원리를 알아보기 위해 간단한 함수를 가지고 접선의 기울기를 구해봅시다. 아래와 같은 2차함수가 있다고 합시다. $y=x^2$ 입니다. 점 A에서의 접선의 기울기를 구해볼 것입니다. A보다 값이 큰 점 B를 하나 더 설정합니다. 이제 A와 B를 연결한 직선을 만들어줍니다. 이 직선의 기울기를 수식으로 표현한 뒤, 점 B를 점점 A에 가깝게 만들어주다 보면 기울기가 A의 접선의 기울기에 가까워져 갑니다. 위 상황을 수식으로 표현해봅시다. 점 A의 좌표를 $(a,a^2)$ 이라고 놓겠습니다. 점 B의 좌표는 $(a+h,.. 2023. 1. 26.
복소수가 처음 등장한 책 (카르다노의 아르스 마그나) 이탈리아의 수학자 카르다노는 3차방정식의 해법을 담은 책인 아르스 마그나의 저자로 다들 한번쯤 들어본 이름일 겁니다. 카르다노의 아버지도 유능한 수학자였는데, 레오나르도 다 빈치의 친구였습니다. 카르다노는 의대에 진학했는데 학생 때부터 도박을 즐겼습니다. 의사가 된 후에도 버는 돈이 만족스럽지 않아 도박을 해서 큰 돈을 날리기도 합니다. 후에는 밀라노 대학의 기하학 교수가 됩니다. 카르다노는 니콜라 폰타나라는 사람이 발견한 2차항이 없는 3차 방정식 해법을 자신이 발견한 것처럼 책을 출간했는데, 그 책이 아르스 마그나입니다. 아르스마그나는 복소수가 처음 등장한 책이기도 합니다. 오늘은 아르스마그나에 복소수가 등장한 대목을 소개하려고 합니다. 아르스마그나는 1545년에 출간한 책이고, PDF도 공개되어 있.. 2023. 1. 21.
기원전 1700년 바벨로니아 석판 숫자 설명 아래 석판은 기원전 1700년경에 바벨로니인들이 만든 것으로 추정되는 점토판입니다. 표면에는 사각형과 대각선이 새겨져 있고, 바벨로니아 숫자들이 새겨져 있습니다. MMA라는 기관에서 재구성한 그림은 아래와 같습니다. 가운데 첫째 줄에 써있는 숫자는 1 24 51 10 입니다. 바벨로니아 인들은 60진법을 사용했으므로 아래와 같이 계산됩니다. $1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}$ 계산해보면 아래와 같습니다. > 1+24/60+51/(60^2)+10/(60^3) [1] 1.414213 1.414213 뭔지 알것 같으신가요? 루트 2의 근사값입니다. 기원전 1700년에 바벨로니아 사람들은 루트 2를 소수 6째 자리까지 정확하게 계산해 놓았습니다. 나머지 문자.. 2023. 1. 18.
루트 2는 무리수 증명 유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 입니다. 무리수가 발견되지 전에는 만물의 근원이 정수라고 생각했습니다. 유리수의 구성요소도 정수였기 때문입니다. 그러다 유리수로 표현되지 않는 수가 발견됩니다. 한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 유리수로 나타낼 수 없었습니다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 x라고 두고 x가 무리수인 것을 증명해보겠습니다. 먼저 피타고라스 정리에 의해 아래 등식이 성립합니다. $x^2=1+1$ 변형하면 아래와 같습니다. $x^2=2$ (1) 위 식을 1번식이라고 두겠습니다. x가 무리수라는 증명에는 '귀류법'이 사용됩니다. 귀류법의 귀는 따라갈 귀, 류는 잘못될 류 입니다. 잘못된 길을 따라가서 모순에 이르게 됨을 보여서 애초에 그 주장이 잘못됐다.. 2023. 1. 16.
0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 3편 0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 세번째 시간입니다. 아래 두 극한값을 봅시다. $\lim_{x\rightarrow +0}0^x$ $\lim_{x\rightarrow +0}x^0$ x가 0보다 클 때 $0^x$은 0이므로, 첫번째 극한값은 0입니다. x가 0보다 클 때 $x^0$은 1이므로 두번째 극한값은 1입니다. $\lim_{x\rightarrow +0}0^x=0$ $\lim_{x\rightarrow +0}x^0=1$ 두 극한값이 다르니 $0^0$이 정의될 수 없다는 증명입니다. 이는 잘못된 증명입니다. 극한값이 여러개인 것과 함수값이 정의되는지 여부는 무관합니다. 2022. 12. 13.
미분방정식에서 1계, 2계, 제차, 비제차, 선형 비선형이 뭔가요? 미분방정식은 계, 제차/비제차를 기준으로 나눌 수 있습니다. 1. 계란 무엇인가 미분방정식에 포함된 도함수에서 가장 많이 미분된 횟수를 계 또는 차수라고 부릅니다. 1계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. $a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$ 2계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. $a_{2}(x)\frac{d^2 y}{dx^2}+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$ n계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. $a_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$ 2. 제차/비제차란 무엇인가 제차는.. 2022. 12. 13.
0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 2편 0^0 을 정의할 수 없다는 것을 증명하는 잘못된 방법이 참 많이 돌아다니고 있는 것 같습니다. 제가 찾은 것만 세가지가 됩니다. 오늘은 두번째 잘못된 증명입니다. 1편의 증명과 유사하지만 더 그럴듯해 보이는 증명입니다. a가 0 보다 큰 실수 일 때, 아래와 같은 지수법칙이 성립합니다. x와 y는 자연수라고 가정하겠습니다. $a^{x-y}=a^x \div a^y$ x와 y가 같다면 아래 지수법칙도 성립합니다. $a^{x-x}=a^x \div a^x$ 좌변을 계산하면 아래와 같습니다. $a^{0}=a^x \div a^x$ 이때 a가 0일 수 있느냐는 문제인데요. a에 0을 넣게되면 모순이 발생합니다. 따라서 a는 0이 될 수 없구요. $0^0$은 정의될 수 없다는 것이 이 증명의 내용입니다. 하지만 이 .. 2022. 12. 6.
0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 1편 0^0 을 정의할 수 없다는 것을 증명하는 잘못된 방법이 참 많이 돌아다니고 있는 것 같습니다. 제가 찾은 것만 세가지가 됩니다. 오늘은 첫번째 잘못된 증명입니다. $0^0=0^{m-m}=0^m \div 0^m =\frac{0}{0}$ 0^0 을 변형하면 0/0 이 되고, 0/0을 정의 할 수 없으므로 0^0 도 정의할 수 없다는 논리입니다. 이런 증명을 다른 말로 하면 이렇게 됩니다. "어떤 수에 지수법칙을 적용하여 모순된 결과가 나오면 그 수는 정의할 수 없다." 라는 것인데요. 이와 같은 논리 대로라면 0도 정의할 수 없어야 합니다. 0은 아래와 같이 변형되기 때문입니다. $0=0^{3-2}=0^3 \div 0^2 =\frac{0}{0}$ 이 증명은 밑이 0일 때 위와 같은 지수법칙을 적용할 수 없.. 2022. 12. 6.
0/0=0 증명 (오류를 찾아보세요) $\frac{0}{0}$은 무수히 많은 값을 갖기 때문에 하나로 정의되지 않는다고 알려져 있습니다. 정말일까요? $\frac{0}{0}$ 을 어떤 수 k라고 놓겠습니다. $\frac{0}{0}$ 은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $\frac{0}{0}=\frac{0+0}{0}=\frac{0}{0}+\frac{0}{0}$ 따라서 아래 등식이 유도됩니다. $k=2k$ 위 방정식을 풀면 k는 0입니다. 따라서 $\frac{0}{0}=0$ 입니다. 2022. 11. 27.
0/0 은 왜 정의할 수 없을까 우리가 사용하고 있는 사칙연산에서 곱셈과 나눗셈은 아래와 같은 관계가 있습니다. 이러한 관계에는 한가지 조건이 있습니다. a는 0이 아니어야 한다는 것입니다. 다시 말하면 0으로는 나눌 수 없는 것입니다. 왜 그럴까요? a에 0을 넣어봅시다. 0xb 는 0이므로, c는 0이어야만 합니다. 0이 아닌 수를 0으로 나누는 것은 정의될 수 없다는 것입니다. 그렇다면 0을 0으로 나누는 것은 괜찮은걸까요? c에 0을 넣어봅시다. 0xb=0 에서 b는 하나로 정의되지 않습니다. 무수히 많은 값을 가질 수 있습니다. 따라서 0/0 은 무수히 많은 값을 갖습니다. 2022. 11. 27.
x^x의 0에서의 우극한 아래 극한값을 구해봅시다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x$ $x^x$를 아래와 같이 변형합니다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{\ln x^x}$ 아래와 같이 지수부분을 앞으로 내려줍니다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}$ x를 $\frac{1}{t}$로 치환합니다. $\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=\lim_{t\rightarrow \infty}e^{\frac{1}{t}\ln \frac{1}{t}}$ 로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. $\lim_{x\rightarr.. 2022. 11. 21.
y=x^x 를 미분해봅시다. 오늘은 $y=x^x$ 라는 함수를 x로 미분해봅시다. 먼저 양변에 자연로그를 취합니다. $\ln y=\ln x^x$ 로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 이 식을 1번 식이라고 놓겠습니다. $\ln y=x\ln x$ (1) 양변을 x로 미분합시다. $\frac{d(\ln y)}{dx}=\ln x+1$ 체인룰을 사용하여 아래와 같이 변형합니다. $\frac{d(\ln y)}{dy}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$ 좌변을 미분합니다. $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$ 아래와 같이 y를 우변으로 보냅니다. $\frac{dy}{dx}=y\left (\ln x+1 \right )$ $y=x^x$ 이므로 아래와 같이 대입합니다. $\frac{dy}{dx}=x^x\lef.. 2022. 11. 19.
e 의 수렴성 증명 (3편) 증명 우리는 자연상수 e의 수렴성을 증명하기 위한 재료 두가지를 배웠습니다. 첫번째 재료는 단조수렴정리입니다. 단조수렴정리 중 증가수열의 수렴조건을 이용할 겁니다. 어떤 수열이 증가수열 일 때, 절대 넘을 수 없는 값이 있다면 이 수열은 수렴합니다. 두번째 재료는 아래 부등식입니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} 2022. 11. 15.
e 의 수렴성 증명 (2편) 1+1/2!+1/3!+... 의 수렴성 e의 수렴성을 증명하고 있습니다. 지난시간에는 e의 수렴성 증명에 사용되는 단조수렴정리가 무엇인지 설명했는데요. e의 수렴성을 증명하기 위해서는 한가지 재료가 더 필요합니다. 아래 급수의 수렴성입니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots $ 이 급수의 수렴성은 아래 부등식을 이용하여 보일 수 있습니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots 2022. 11. 11.
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