[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (11) 이항분포의 평균

[확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(11) 이항분포의 평균]

이항분포의 평균

확률변수 X가 이항분포를 따른다고 해봅시다. 시행횟수는 n번이고, 사건 발생확률이 p라면 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

X~B(n,p)

위와 같은 이항분포를 따르는 확률변수 X의 평균은 np 가 됩니다. 유도해봅시다.

아래와 같이 n개의 확률변수가 있다고 해봅시다. 

확률변수 X의 평균은 아래와 같이 구합니다. 

시그마의 형태로 나타내면 아래와 같습니다. 

위 식에 이항분포의 확률변수와 확률을 대입하면 아래와 같습니다. 이항분포의 확률변수는 0부터 n까지의 값을 갖습니다. 

조합을 팩토리얼 형태로 나타냅시다. 

x가 0일때는 값이 0이므로 아래와 같이 시그마의 시작을 1으로 바꿀 수 있습니다. 

아래와 같이 변형합시다. 

p와 n은 시그마에 독립적이므로 아래와 같이 꺼내줄 수 있습니다. x는 약분됩니다. 

이제 치환을 하겠습니다. n-1을 m로, x-1을 r로 치환합시다. 

이번에는 n-1에서 x-1을 뺍시다. n-x가 나오고, 이 값은 m-r과 같습니다. 치환합시다. 구간도 아래와 같이 바꿔줍니다. 

조합표현으로 바꿔보겠습니다. 

빨간색 부분은 시행횟수가 m이고 사건 발생확률이 p인 이항분포의 전체 확률 합입니다. 따라서 값이 1이고, 아래와 같은 결과를 얻습니다.