[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (12) 일대일 대응의 개수

[수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(12)일대일 대응의 개수]

 

일대일 대응의 개수

 

일대일 대응은 x의 함수값이 전부 다르고, 공역과 치역이 같은 대응입니다. 

 

집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 일대일 대응에서는 집합 X와 Y의 원소 수가 같아야 합니다. 집합 X와 Y 모두 세개의 원소가 있다고 합시다. 

 

 

 

 

x의 첫번째 원소인 x1에는 3개의 y가 대응될 수 있습니다. 동시에 대응된다는게 아니라 3가지 선택권이 있다는 것입니다. x1에 y중 하나가 대응되면, x2는 2개의 선택권을 가집니다. 따라서 함수의 개수는 아래와 같습니다. 

 

함수의 개수 = 3x2x1

 

일반화시켜봅시다. 집합 X와 Y의 원소 수를 n개라고 합시다. 

 

 

 

x의 첫번째 원소인 x1에는 n개의 선택권, x2는 n-1개의 선택권, x3는 n-2개의 선택권을 가집니다. 이런 규칙에 따라 xn 은 1개의 선택권을 가집니다. 

 

 

함수의 개수 : nx(n-1)x(n-2)x...x1 = n!