반응형 고등수학 5분증명(2009개정)/미적분218 [5분 고등수학] 정적분의 부분적분법 부분적분법은 기본적인 적분방법으로 적분이 안될때 사용하는 하나의 텍크닉입니다. 다양한 분야에서 자주 사용하는 테크닉이라 매우 중요합니다. 부분적분법은 아래와 같습니다. $\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx=\left[ f(x)g(x) \right]^{b}_{a}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx$ 유도해봅시다. f(x)와 g(x)의 곱의 미분은 아래와 같습니다. $\left\{ f(x)g(x) \right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ 양변에 구간 a~b 까지의 적분을 취해봅시다. $\int_{a}^{b}\left\{ f(x)g(x) \right\}'dx=\int_{a}^{b}\left\{ f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \right\}dx$ 좌변을 적분하면 아래와 같습니.. 2021. 12. 24. [5분 고등수학] 정적분의 삼각치환 적분법 삼각함수로 치환해야 적분을 계산할 수 있는 경우가 있습니다. 아래와 같은 경우들입니다. $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$ $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx$ $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx$ a는 양수입니다. 하나씩 풀어봅시다. 1) $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$ x를 $a\sin \theta$로 치환합시다. 이때 변수 x가 치환될 변수는 $\theta$입니다. $x=a\sin\theta$ $\theta$의 적분 구간도 구해주여야 하는데요. x가 $x_{1}$에서 $x_{2}$까지 변할 때 $\th.. 2021. 12. 22. [5분 고등수학] 정적분의 치환적분 정적분의 치환적분은 일반적인 방법으로 적분이 되지 않을 때, 치환을 이용하여 적분을 하는 테크닉입니다. 일반화 된 공식만 보면 와닿지 않을 수 있어서, 예시를 통해 먼저 이해하고나서 일반화해보겠습니다. 아래 문제를 풀어봅시다. $\int_{1}^{3}3x\sqrt{x^{2}-1}dx$ $x^{2}-1$을 t로 치환합시다. $x^{2}-1=t$ 먼저 구간을 구합시다. x가 1~3로 변할 때, t는 0~8로 변합니다. 이제 양변을 미분합시다. $2xdx=dt$ 원래 식에 치환한 식들을 대입합시다. $\int_{0}^{8}\frac{2}{3}\sqrt{t}dt$ 적분합시다. $\frac{3}{2}\left[ \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \right]^{8}_{0}$ 계산하면 아래와 같습니다.. 2021. 12. 21. [5분 고등수학] 역함수의 미분법 함수 f(x)의 역함수를 g(x)라고 놓겠습니다. 이때 아래 두 등식이 성립합니다. $f^{-1}(x)=g(x)$ $f\circ g(x)=f(g(x))=x$ 아래 식의 양변을 미분합시다. $f(g(x))=x$ 미분 결과는 아래와 같습니다. $f'(g(x))g'(x)=1$ 아래와 같이 변형합시다. $g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$ 역함수의 미분공식이 유도되었습니다. 예시 문제를 하나 풀면서 어떻게 사용되는지 알아봅시다. $f(x)$와 $g(x)$가 서로 역함수 관계이다. $f'(1)=5,f(1)=3$일 때, $g'(3)$을 구하여라. 우리가 유도한 공식의 x자리에 3을 대입합시다. $g'(3)=\frac{1}{f'(g(3))}$ f(1)=3이므로, 역함수 관계에 의해 g(3)=1 입니다. 따.. 2021. 12. 20. [5분 고등수학] 삼각함수의 미분법 (tanx, cotx, secx, cscx) 우리는 지난 강의에서 $\sin x$와 $\cos x$의 미분을 유도한 상태입니다. 몫의 미분법도 유도했습니다. 오늘은 아래 네 삼각함수의 미분을 유도해봅시다. 앞에서 배운 미분법이 사용됩니다. $(\tan x)'=\sec^{2}x$ $(\cot x)'=-\csc^{2}x$ $(\sec x)'=\sec x \tan x$ $(\csc x)'=-\csc x \cot x$ 하나씩 유도해봅시다. 1. $(\tan x)'$ 아래 성질에서 출발합시다. $\tan x =\frac{\sin x }{\cos x}$ 양변을 x로 미분합시다. 우변은 몫의 미분법을 이용하여 미분하면 됩니다. $(\tan x)'=\frac{(\sin x)'\cos x-(\cos x)'\sin x}{\cos^{2}x}$ 사인과 코사인의 미분을 .. 2021. 12. 17. [5분 고등수학] 합성함수의 미분 합성함수의 미분법은 아래와 같습니다. $y=f(g(x))$ $y'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ 유도해봅시다. 합성함수에서 출발합니다. $y=f(g(x))$ g(x)를 u로 치환하겠습니다. $y=f(u)$ 양변을 x로 미분합시다. $\frac{dy}{dx}=\frac{df(u)}{dx}$ u는 x로 미분할 수 없으므로 체인룰을 적용합니다. $\frac{dy}{dx}=\frac{df(u)}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ g(x)=u 이므로 미분하면 아래와 같습니다. $g'(x)=\frac{du}{dx}$ 유도하던 식에 대입합시다. $\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)$ u=g(x)입니다. 아래 식이 유도됩니다. $\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'.. 2021. 12. 16. [5분 고등수학] 함수의 몫의 미분법 유도 유리식 형태 함수의 미분결과는 아래와 같습니다. $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ $y'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{ g(x) \right\}^{2}}$ 유도해봅시다. 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$ 분자를 통분합시다. $y'=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{f(x+h)g(x)-g(x+h)f(x)}{g(x+h)g(x)}}{h}$ 범분수를 계산해줍니다. $y'=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-g(x+h)f(x)}{h\cdot g(x+h)g(x)}$ 분자에 g(x)f(x) 를 더하고 빼줍니다. 0을 .. 2021. 12. 15. [5분 고등수학] 삼각함수의 미분법 유도 (sin, cos) $\sin x $와 $\cos x $ 의 미분은 아래와 같습니다. $(\sin x)' =\cos x$ $(\cos x)' =-\sin x$ 하나씩 유도해봅시다. 1) $(\sin x)$ 의 미분 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$ 삼각함수의 덧셈정리를 적용합시다. $(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h}$ $\sin x$로 묶어줍시다. $(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x (\cos h-1)+\cos x \sin h}{h}$ 아래와 같이 둘로 분리해서 써줍니다. $(\sin x)'=\lim_{h.. 2021. 12. 14. [5분 고등수학] 삼각함수의 극한 삼각함수에는 아래와 같은 두가지 유명한(?) 극한이 있습니다. 상당히 흥미로운 결과입니다. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1$ 하나씩 유도해 봅시다. 1) $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 원을 하나 그리고 꼭지점이 원의 중심과 호 위에 있는 삼각형을 그려줍니다. 점 A를 지나는 점선을 긋고, OB의 연장선과 만나는 점을 T라고 놓겠습니다. 이때 아래와 같은 부등식이 성립합니다. △OAB의 넓이 < 부채꼴 OAB 넓이 < △OAT의 넓이 부등식을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $\frac{1}{2}\sin x 2021. 12. 13. [5분 고등수학] 삼각함수의 합성 삼각함수 두개를 하나로 합치는 방법이 있습니다. 모든 경우에 다 되는 것은 아니고 각도가 같은 사인과 코사인값을 합치는 것이 가능합니다. 아래와 같이 두 가지 방법으로 합칠 수 있는데요. $\alpha$와 $\beta$의 의미는 뒤에서 설명하겠습니다. $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$ $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta-\beta)$ 외워서 풀면 금방 잊습니다. 원리를 이해하고 원리로 푸는 것을 추천드립니다. 하나씩 유도해봅시다. 1) $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)$ 계수인 a와 b.. 2021. 12. 7. [5분 고등수학] 삼각함수의 덧셈정리 삼각함수에서 각도의 합과 차에 대한 유용한 공식들이 있습니다. 아래 여섯가지 공식입니다. $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ $\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan.. 2021. 12. 1. [5분 고등수학] 삼각함수들 사이의 관계 (sin,cos,tan,sec,csc,cot) 우리가 배운 삼각함수들은 아래와 같습니다. $\sin \theta$ $\cos \theta$ $\tan \theta$ $\sec \theta$ $\csc \theta$ $\cot \theta$ 이들을 서로 연결하는 관계식들이 유도되어 있습니다. 아래와 같은 관계식들입니다. 1) $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 2) $\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta=1$ 3) $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ 4) $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$ 각 관계를 직접 유도해봅시다. 삼각함수의 정의를 이용하면 쉽게 유도할 수 있습니다. 삼각함수는 아래와 같은 원에서 정의됩니다. $\sin \t.. 2021. 11. 30. [5분 고등수학] 부채꼴 호의 길이와 넓이 (호도법 이용) 지난 시간에 배운 호도법을 이용하면 부채꼴 호의 길이와 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다. 60분법을 이용할 때와 비교해서 쉽다는 말입니다. 1) 부채꼴의 호의 길이 중심각이 $\theta$, 반지름이 $r$, 호의 길이가 $l$, 넓이가 $S$인 부채꼴을 그렸습니다. 원의 둘레 길이는 $2 \pi$ 입니다. 아래와 같은 비례식을 세울 수 있습니다. $2 \pi r : l=2 \pi : \theta $ 비례식을 계산합니다. $2 \pi l =2 \pi r \theta$ 아래와 같이 약분해줍니다. $l = r \theta $ 부채골의 둘레 길이를 반지름과 중심각으로 구할 수 있게 된 것입니다. 이때 중심각은 라디안각입니다. 비례식에서 단위가 삭제되었기 때문에 크기만 남은 라디안각입니다. 예를들어 반지름이 3이.. 2021. 11. 29. [5분 고등수학] 호도법은 무엇이며 왜 필요한가 (라디안) 각도는 크게 두가지가 있습니다. 우리에게 익숙한 도(º)를 사용하는 60분법과, 라디안(radian)을 사용하는 호도법이 있습니다. - 60분법 (º) - 호도법 (rad) 60분법은 1회전 360으로 놓은 것입니다. 원의 중심각이 360개로 나눠지고 그중 하나가 1도가 됩니다. 60분법은 일상에서 자주 사용하기 때문에 우리에게 익숙합니다. 반면 호도법은 일상에서 자주 쓰이지는 않습니다. 하지만 호도법은 수학과 공학 분야에서 아주 유용하게 사용되는 표기법입니다. 오늘은 호도법이 무엇인지 배워봅시다. 1) 1 라디안은 어떻게 정의되는가 호도법은 라디안을 각도의 단위로 합니다. 1라디안은 아래와 같이 정의됩니다. 1라디안은 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각입니다. 2) 1라디안은 몇도일까? .. 2021. 11. 26. [5분 고등수학] 로그함수의 미분법 (도함수) 로그함수는 아래와 같이 두 종류가 있습니다. 밑이 실수 a인 경우와 밑이 e인 경우입니다. e도 실수에 포함되지만 특별한 성질이 있어서 따로 분류하였습니다. 밑이 e인 경우의 로그를 자연로그라고 하고 기호로는 $\ln x$로 나타냅니다. $y=\text{log}_{a}x$ $y=\ln x$ 각각의 미분방법을 알아봅시다. 1) $y=\text{log}_{a}x$ 의 미분 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h} $ 분자를 계산해줍니다. $y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\log_{a}\frac{x+h}{x}}{h} $ 아래.. 2021. 11. 25. [5분 고등수학] 지수함수의 미분법 (도함수) 지수함수는 아래와 같이 두 종류가 있습니다. 밑이 실수 a인 경우와 밑이 e인 경우입니다. e도 실수에 포함되지만 특별한 성질이 있어서 따로 분류하였습니다. $a^{x}$ $e^{x}$ 각각의 미분방법을 알아봅시다. 1) $a^{x}$ 의 미분 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}$ 아래와 같이 묶어줍니다. $y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x}\left( a^{h}-1 \right)}{h}$ 극한과 무관한 항을 밖으로 꺼내줍니다. $y'=\frac{dy}{dx}= a^{x} \lim_{h \rightarrow 0} \frac.. 2021. 11. 24. [5분 고등수학] 지수함수와 로그함수의 극한 지수함수와 로그함수의 극한을 공부해봅시다. 아래와 같은 네가지 종류의 극한값을 공부해볼 것입니다. (1) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}$ (2) $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}$ (3) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{log}^{}_{a}(1+x)}{x}$ (4) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}$ 1번부터 극한값을 구해봅시다. (1) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(1+x)}{x}$ 아래와 같이 식을 분리해서 써줍시다. $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{ln}(.. 2021. 11. 23. [5분 고등수학] 무리수 e는 어떻게 발견되었을까? 여러분이 잘 아는 대표적인 무리수는 파이가 있습니다. 파이는 약 3.14라는 값을 갖습니다. 파이만큼 중요한 무리수가 하나 더 있는데요. 바로 e입니다. 이 무리수는 약 2.718이라는 값을 갖습니다. 이 무리수의 다른 이름은 아래와 같습니다. - 오일러 수 - 네이피어 상수 - 자연상수 오일러, 네이피어는 사람이름입니다. 오일러는 이 수에 e라는 이름을 붙였고, 이 수가 무리수라는 것을 증명했습니다. 네이피어는 e를 자연로그의 밑으로 사용했습니다. 자연상수라는 이름은 왜 붙여진걸까요? 그 이유는 무리수 e가 사람이 억지로(?) 만들어낸 수가 아니라 자연에서 혹은 우리 삶에서 발견된 수 이기 때문입니다. 어떤 상황에서 무리수 e가 발견되었는지 알아봅시다. e라는 이름이 붙어있던 시절은 아니지만, 이 수를.. 2021. 11. 22. 이전 1 다음 반응형
