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다변수 함수 편미분의 연쇄법칙 (1) 공식 유도 아래와 같은 세 함수가 있다고 합시다. $z=f(u,v)$$u=g(x,y)$$v=h(x,y)$ 함수 f에 전미분 공식을 이용하여 아래 식을 얻을 수 있습니다. $dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$ (1) 함수 g와 h에 전미분 공식을 적용하면 아래 두 식을 더 얻을 수 있습니다. $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$ $dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy$ du와 dv 를 f의 전미분 공식인 1번 식에 대입합니다. $dz=\frac{\par.. 2024. 6. 13.

[명제논리] 3. 명제와 대우명제가 동치인 이유 'A 이면 B이다' 라는 명제가 있다고 합시다. 이 명제의 대우명제는 '(not B) 이면 (not A)이다' 입니다. 명제 : A 이면 B이다. 대우명제 : (not B) 이면 (not A) 이다 두 명제는 동치입니다. 두 명제가 동치라는 것은 진리표가 같다는 것입니다. 'A이면 B이다'의 진리표는 아래와 같습니다. '(not B) 이면 (not A) 이다' 의 진리표도 아래와 같이 구할 수 있습니다. 두 진리표가 동일하므로 두 명제는 동치입니다. 2023. 12. 27.

[명제논리] 2. 'A이면 B이다' 와 not(A and (not B)) 는 동치이다 논리학에서 두 명제가 동치라는 것은 진리표가 같다는 말입니다. 'A이면 B이다' 의 진리표는 지난 시간에 구했습니다. 아래와 같습니다. A B A → B T T T T F F F T T F F T not(A and (not B)) 의 진리표를 구해보고 'A이면 B이다' 의 진리표와 같은지 확인해봅시다. not(A and (not B)) 를 C라고 두고 진리표를 구하면 아래와 같습니다. A B C T T T T F F F T T F F T not(A and (not B)) 의 진리표를 구하는 것은 어렵지 않습니다. 하나씩 넣어서 순서대로 계산하면 됩니다. 예를들어 A가 참 이고, B도 참이라고 합시다. not B 는 거짓입니다. 따라서 not(A and (not B)) 는 아래와 같이 계산됩니다. not(.. 2023. 12. 27.

[명제논리] 1. 'A이면 B이다' 의 진리표 이해하기 명제와 조건명제 명제는 참 거짓을 판단할 수 있는 문장을 말합니다. 두 명제 A와 B가 있다고 합시다. 이때 아래와 같은 조건명제를 만들 수 있습니다. 'A 이면 B이다' 기호로 나타내면 아래와 같습니다. A → B 예시 문장을 넣어서 이해해봅시다. A : 철수는 학생이다. B : 철수는 학교에 다닌다. A → B : 철수가 학생이면 철수는 학교에 다닌다. 조건명제의 진리표 조건명제의 진리표는 아래와 같습니다. A B A → B T T T T F F F T T F F T 이 진리표를 이해하는 것이 이 글의 목적입니다. 위에서 들었던 예시를 가져와봅시다. A : 철수는 학생이다. B : 철수는 학교에 다닌다. A → B : 철수가 학생이면 철수는 학교에 다닌다. 철수가 학생인게 참이고, 철수가 학교를 다니.. 2023. 12. 25.

라그랑주 승수법 (쉬운설명) x+y 의 최댓값을 찾고 싶은 상황이라고 해봅시다. 아래와 같은 조건이 걸려 있는 상황입니다. $x^2+y^2=1$ x+y=k 라고 놓고 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. k의 최댓값은 직선이 원에 접할때 발생합니다. 여기서 주의해야할 점은 직선이 원이 접할때가 항상 최댓값은 아니라는 것입니다. 직선이 원에 접하는 k 값을 중에 최댓값이나 최솟값이 있을 수 있는 것입니다. 이제 차원을 하나 확장해봅시다. x+y+z 의 최댓값을 구하고 싶은 상황입니다. 아래와 같은 조건이 걸려 있습니다. $x^2+y^2+z^2=1$ x+y+z=k 라고 놓고 k의 최댓값을 구하면 됩니다. x+y+z=k 는 평면입니다. $x^2+y^2+z^2=1$는 구 입니다. 최댓값은 구와 평면이 접하는 곳에서 발생합니다. 구와 평면이 .. 2023. 10. 24.

컨볼루션 적분(합성곱) 쉽게 이해하기 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있을 때, 두 함수의 합성곱은 아래와 같이 정의됩니다. $\left ( f\ast g \right )(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(t-x)dx$ 식만봐서는 잘 와닿지 않은데 간단한 예제를 풀고 나면 의미가 이해되실 겁니다. 쉬운 예제를 하나 풀어봅시다. 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 합성곱을 구하는 예제입니다. 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 아래와 같이 놓겠습니다. 그래프가 없는 나머지 영역에서의 함수값은 0입니다. 컨볼루션 적분을 위해 $g(t-x)$ 를 그려야합니다. $g(x)$를 y축 대칭하고 x축으로 t만큼 평행이동한 그래프입니다. 아래와 같습니다. t의 번위에 따라 몇가지 경우로 나눠서 f(x)와 g(x)를 하나의 좌표평면.. 2023. 10. 17.

이 기호는 무슨 의미일까? ≜ 공학과 관련된 문헌들을 읽다 보면 아래와 같은 기호가 등장하는 경우가 있다. 아래 수식은 캐빈 머피가 쓴 책인 확률적 머신러닝에 등장하는 수식이다. 등호 위에 세모가 올려져 있는 이상한 기호가 등장하고, 이 기호는 별것 아닌 간단한 수식을 어려워 보이게 만든다. 이 기호는 왼쪽이 오른쪽과 같이 '정의'된다는 뜻이다. 세모는 그리스어 delta 의 대문자이고, 아마 definition 의 d를 의도한 것 같다. 2023. 9. 12.

[고급 행렬 연산] 9. 두 벡터로 만든 평행사변형의 넓이 편의상 벡터의 화살표 기호는 생략하겠습니다. 영어 소문자가 벡터, 그리스문자가 상수입니다. 두 벡터 a와 b가 있다고 합시다. 벡터 a를 벡터 b로 만들어지는 평행사변형의 넓이를 구해봅시다. 위 그림에서 평행사변형의 넓이를 S라고 놓는다면 아래 등식이 성립합니다. $S^2=\left | b \right |^2 \left | u \right |^2$ u는 아래와 같이 계산됩니다. $u=a-\frac{a^T b}{b^T b}b$ $\left | u \right |^2$는 아래와 같이 구할 수 있습니다. $\left | u \right |^2=u^T u=\left ( a-\frac{a^T b}{b^T b}b \right )^T\left ( a-\frac{a^T b}{b^T b}b \right )$ 전치행렬을 .. 2023. 9. 8.

[고급 행렬 연산] 8. 한 벡터를 다른 벡터에 투영 편의상 벡터의 화살표 기호는 생략하겠습니다. 영어 소문자가 벡터, 그리스문자가 상수입니다. 두 벡터 a와 b가 있다고 합시다. 벡터 a를 벡터 b에 투영한 벡터를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. u와 b는 수직이므로, u와 b의 내적은 0입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $u^{T}b=0$ $u=a-\alpha b $ 이므로 아래 등식이 성립합니다. $(a-\alpha b)^{T} b=0$ 아래와 같이 변형합니다. 전치를 해주었습니다. $(a^T-\alpha b^T ) b=0$ 아래와 같이 전개합니다. $a^Tb-\alpha b^Tb=0$ $\alpha$에 대해 정리해줍니다. $\alpha=\frac{a^Tb}{b^Tb}$ 따라서 벡터 a를 벡터 b에 투영한 벡터는 아래와 같습.. 2023. 9. 8.

[고급 행렬 연산] 7. 이중 시그마 순서 바꾸기 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. $\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}$ 왼쪽 식은 시그마 계산을 i 부터 한 것이고, 오른쪽 식은 j부터 한 것입니다. 좌변의 계산 결과를 생각해보면, 아래 행렬의 원소의 합과 같습니다. $\begin{bmatrix} a_{11} &\cdots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix}$ 우변도 위 행렬 원소의 합과 같습니다. 따라서 등식이 성립합니다. 2023. 8. 25.

[고급 행렬 연산] 6. 공분산행렬 구하기 먼저 인스턴스와 피처에 대한 개념을 이해해야 합니다. 아래와 같은 데이터가 있다고 합시다. 과목1 과목2 과목3 사람1 90 100 85 사람2 75 80 66 ... 위 데이터에서 과목을 피처(feature)라고 부르고, 사람을 인스턴스(instance)라고 부릅니다. 인스턴스를 벡터로 나타내면 아래와 같습니다. 사람1=[90 100 85 ] 사람2=[75 80 88] 일반화 시키면 아래와 같습니다. 인스턴스의 개수는 N개, 피처의 개수는 n개인 경우입니다. $\vec{x}^{(1)}=\left [ x^{(1)}_{1},\cdots,x^{(1)}_{n} \right ]$ $\vec{x}^{(2)}=\left [ x^{(2)}_{1},\cdots,x^{(2)}_{n} \right ]$ ... $\vec{.. 2023. 8. 22.

[고급 행렬 연산] 5. (AB)^{T}=B^{T}A^{T} $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ 를 증명해봅시다. A와 B는 행렬입니다. 행렬 A와 B의 곱을 C라고 놓겠습니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. $(AB)^{T}_{ij}=C^{T}_{ij}=C_{ji}$ $C_{ji}$ 를 변형하겠습니다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $C_{ji}=\sum_{k=1}^{n}A_{jk}B_{ki}=\sum_{k=1}^{n}B_{ki}A_{jk}=\sum_{k=1}^{n}(B^{T})_{ik}(A^{T})_{kj}=(B^{T}A^{T})_{ij}$ 따라서 아래 등식이 성립합니다. $(AB)^{T}_{ij}=(B^{T}A^{T})_{ij}$ 아래 등식이 유도됩니다. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ 2023. 8. 19.

[고급 행렬 연산] 4. (A+B)^T=A^T+B^T 증명 $\left ( A+B \right )^{T}=A^{T}+B^{T}$ 를 증명해봅시다. A,B는 행렬입니다. 행렬 A와 B의 합을 C라고 놓겠습니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. $A_{ij}+B_{ij}=C_{ij}$ 증명은 아래와 같습니다. $\left ( A+B \right )^{T}_{ij}=C^{T}_{ij}=C_{ji}=A_{ji}+B_{ji}=A^{T}_{ij}+B^{T}_{ij}$ $\left ( A+B \right )^{T}=A^{T}+B^{T}$ 2023. 8. 18.

[고급 행렬 연산] 3. 행렬과 행렬의 곱의 성분을 시그마로 나타내기 아래와 같이 두 행렬이 있습니다. $A=\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n}\\ \vdots & &\vdots \\ A_{m1} & \cdots & A_{mn} \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1p}\\ \vdots & &\vdots \\ B_{n1} & \cdots & B_{np} \end{bmatrix}$ A는 (mxn) 행렬이고 B는 (nxp) 행렬입니다. 따라서 곱셈이 가능하고 곱셈 결과는 (mxp) 행렬이 됩니다. 우리가 구하고 싶은 것은 곱한 결과인 행렬 AB의 성분을 행렬 A와 행렬 B의 성분으로 나타내는 것입니다. 행렬 AB의 성분을 몇개 구해보면 아래와 같습니다. $\left ( AB \.. 2023. 8. 18.

[고급 행렬 연산] 2. 벡터 내적의 여러가지 표현방식 아래와 같이 두개의 n차원 벡터가 있습니다. $\vec{a}=\left [ a_{1},\cdots,a_{n} \right ]$ $\vec{b}=\left [ b_{1},\cdots,b_{n} \right ]$ 1) dot 을 이용하여 나타내기 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 2) 행렬의 transpose 를 이용하여 나타내기 벡터의 기본상태는 열벡터로 가정합니다. $\left ( \vec{a} \right )^{T} \vec{b}=\left [ a_{1},\cdots,a_{n} \right ]\begin{bmatrix} b_{1}\\ \vdots\\ b_{n} \end{bmatrix}$ 아래 등식도 성립합니다. $\vec{a}^{T}\vec{b}=\vec{b}^{T}\vec{a}$ 2023. 8. 17.

[고급 행렬 연산] 1. 행렬과 벡터의 곱의 성분을 시그마로 나타내기 1. 행렬 X 벡터 아래와 같이 벡터 하나와 행렬 하나가 있다고 합시다. $\vec{a}=\left [ a_{1},\cdots,a_{n} \right ]$ $A=\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n}\\ \vdots & &\vdots \\ A_{m1} & \cdots & A_{mn} \end{bmatrix}$ 벡터는 크기가 n인 열벡터라고 가정하겠습니다. 편의상 행벡터 형태로 나타내긴 했는데 열벡터라고 생각해주세요. 행렬은 m행 n열의 행렬입니다. 아래와 같이 행렬 A와 벡터 a를 곱한 결과를 벡터 b라고 놓겠습니다. $\vec{b}=A\vec{a}$ b는 크기가 n인 열벡터입니다. b의 i번쨰 성분을 $\vec{b}_{i}$ 라고 놓고 $b_{i}$를 벡터 a와 행렬 .. 2023. 8. 17.

자코비안의 이해 (2) 행렬식이 넓이 변화율인 이유 행렬을 벡터에 곱하면 벡터가 선형변환됩니다. 아래와 같은 행렬 A가 있다고 합시다. $A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ 이 행렬이 단위 기저벡터를 어떻게 바꾸는지 생각해봅시다. 이 행렬은 기저벡터 (1,0) 을 (a,c)로 바꾸고 (0,1) 을 (b,d)로 바꿉니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 벡터들로 만들어지는 평행사변형을 그려봅시다. 왼쪽평행사변형의 넓이는 1이고, 오른쪽 평행사변형의 넓이는 ad-bc 입니다. 행렬 A를 곱한 변환은 넓이 1을 ad-bc로 변화시킵니다. 차원이 하나 증가하여 3차원이 되면, 행렬식은 부피 변화율이 됩니다. 선형변환에서 변환행렬의 행렬식은 scale factor 입니다. 2023. 8. 10.

기저변환 쉽게 이해하기 (좌표변환) 어떤 벡터 $\vec{v}$가 있다고 합시다. 이 벡터를 기저 $\vec{e}_{1}$과 $\vec{e}_{2}$를 이용하여 나타내면 $(x,y)$ 라고 하겠습니다. $\vec{v}=x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}$ 같은 벡터를 기저 $\vec{g}_{1}$ 과 $\vec{g}_{2}$로 나타내면 어떻게 되는지를 구하는 것이 목적입니다. 기저들 사이의 관계는 아래와 같습니다. 아래 식을 1번 식이라고 놓겠습니다. $\vec{g}_{1}=a_{11}\vec{e}_{1}+a_{12}\vec{e}_{2}$ $\vec{g}_{2}=a_{21}\vec{e}_{1}+a_{22}\vec{e}_{2}$ 위 조건들을 이용하여 벡터 $\vec{v}$ 를 기저 $\vec{g}_{1}$ 과 $\vec{g}_{2.. 2023. 8. 10.

고윳값과 고유벡터 쉽게 이해하기 1) 고윳값과 고유벡터란? 어떤 행렬 A가 있다고 합시다. 어떤 벡터에 행렬 A를 곱하면 벡터가 선형변환됩니다. 어떤 벡터에 행렬 A를 곱했는데, 그 결과가 벡터의 상수배가 되는 벡터가 존재할 수 있습니다. 아래와 같은 등식이 성립하는 것입니다. $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$ 2x2 행렬과 2차원 벡터를 예로 들면 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =\lambda \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}$ 이러한 조건을 만족하는 벡터를 행렬 A의 고유벡터, $\lambda$를 고유값이라고 부릅니다. 2) 고윳값.. 2023. 8. 9.

행렬형태의 연립방정식을 이해하는 세가지 관점 아래와 같은 연립방정식이 있다고 합시다. $x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=3 \\ 2x_{1}-x_{2}+4x_{3}=1 \\ 3x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=1$ 행렬형태로 표현하면 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 2 & -1 & 4\\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 3차원 공간을 떠올릴 수 있는 익숙한 미지수인 x,y,z 로 바꾸겠습니다. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 2 & -1 & 4\\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{.. 2023. 8. 8.

다각형의 넓이를 구하는 방법 (모든 다각형 가능, +코딩) 아래와 같은 다각형이 있다고 합시다. 이 다각형의 넓이를 구하는 방법은 여러가지가 있을 것입니다. 삼각형 여러개로 나눠서 구할 수도 있고, 정사각형의 넓이에서 나머지 부분을 빼서 구할 수도 있습니다. 그 외에도 방법이 더 있을 겁니다. 오늘 소개할 방법은 어떤 다각형이던 상관없이 통하는 방법입니다. 간단한 예제로 방법을 배워봅시다. 아래 다각형의 넓이를 구하고 싶은 상황입니다. 먼저 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{1}$이라고 놓겠습니다. 다음은 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{2}$이라고 놓겠습니다. 다음은 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{3}$이라고 놓겠습니다. 다음은 아래 사각형의 넓이를 구합니다. $S_{4}$라고 놓겠습니다. 모아보면 아래와 같습니다. 다각형의 넓이는 아래와.. 2023. 6. 20.

[좌표 변환] 글로벌 좌표를 로컬좌표로, 또는 그 반대 좌표평면에 P 라는 점이 있습니다. 로컬좌표계의 중점은 $O_{L}$입니다. 로컬 좌표계는 x축에 대해 $\theta$만큼 기울어져 있습니다. $\theta$ 만큼 회전시키는 회전행렬을 M이라고 놓겠습니다. 위 상황에 대해 아래 등식이 성립합니다. $\vec{OP}=M\times \vec{O_{L}P}+\vec{OO_{L}}$ 만약 로컬좌표계의 중점의 좌표 (a,b)와 로컬좌표계에서의 점 P의 좌표 (c,d)를 알고 있다면 위 식을 이용하여 글로벌 좌표계에서의 P의 좌표를 구할 수 있습니다. $\vec{OP}=\begin{bmatrix} \cos 30^{\circ} & -\sin 30^{\circ} \\ \sin 30^{\circ} & \cos 30^{\circ} \end{bmatrix} \begin{b.. 2023. 5. 29.

[벡터의 회전과 행렬] (1) 2차원 평면 벡터의 회전은 벡터의 행렬을 곱하는 것으로 나타낼 수 있습니다. 어떻게 그럴 수 있는지 알아봅시다. x축과의 각도가 $\alpha$ 인 벡터 $(a,b)$를 $\theta$ 만큼 회전한 벡터를 $(c,d)$ 라고 합시다. 두 벡터의 관계를 $\theta$ 에 대해 나타내 볼 것입니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 벡터의 길이를 r이라고 했을 때 a와 b를 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $r\cos \alpha =a$ $r\sin \alpha =b$ c와 d는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $r\cos (\theta+\alpha)=c$ $r\sin (\theta+\alpha)=d$ 위 두 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $r\left ( \cos\theta\cos\alpha-\sin\.. 2023. 5. 24.

초등학교 3~6 수학에서 배우는 내용 초등학교 3학년 1학기 1) 덧셈과 뺄셈 2) 평면도형 3) 나눗셈 4) 곱셈 5) 길이와 시간 6) 분수와 소수 초등학교 3학년 2학기 1) 곱셈 2) 원 3) 나눗셈 4) 들이와 무게 5) 분수 6) 그림 그래프 초4-1 1) 큰 수 2) 각도 3) 곱셈과 나눗셈 4) 평면도형의 이동 5) 막대그래프 6) 규칙찾기 초4-2 1) 분수의 덧셈과 뺄셈 2) 삼각형 3) 소수의 덧셈과 뺄셈 4) 사각형 5) 꺾은선그래프 6) 다각형 초5-1 1) 자연수의 혼합계산 2) 배수와 약수 3) 규칙과 대응 (비례식) 4) 약분과 통분 5) 분수의 덧셈과 뺄셈 6) 다각형의 둘레와 넓이 초6-1 1) 분수의 나눗셈 2) 각기둥과 각뿔 3) 소수의 나눗셈 4) 비와 비율 5) 여러가지 그래프 6) 직육면체의 부피와 .. 2023. 4. 26.

[중등수학 1-2] 부채꼴 호의 길이 구하는 식은 어떻게 유도될까? 반지름이 $r$이고 중심각이 $x$인 부채꼴의 호의 길이 $l$은 아래와 같이 구합니다. $l=2\pi r \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}$ 이 식이 어떻게 유도된 것인지 알아봅시다. 반지름이 $r$이고 중심각이 $x$인 부채꼴의 호의 길이를 $l$ 이라고 합시다. 만약 중심각 $x$가 2배가 된다면 호의 길이는 어떻게 될까요? $2l$이 된다는 것을 알 수 있습니다. 이게 왜그런지 궁금한 분이 혹시 있나요? 대부분의 사람들은 추가적인 설명 없이 당연한 사실로 받아들여질 겁니다. 혹시 의문이 든다면 댓글을 달아주세요. 따라서 우리는 호의 길이가 중심각의 크기에 비례한다는 것을 알 수 있습니다. 이러한 원리를 이용하여 아래와 같은 비례식을 세울 수 있습니다. $2\pi r.. 2023. 4. 19.

[중등수학 1-2] 지름은 왜 2πr 일까? 원의 지름은 왜 2πr 인지 알아봅시다. 원이라는 것을 발견하고 나서 사람들은 원의 둘레의 길이를 원의 지름으로 나눈 값을 계산해보았습니다. 놀랍게도 원의 크기와 상관 없이 이 비율은 일정했습니다. 이 값을 원주율이라고 이름 붙였습니다. 원주율=(원의 둘레의 길이)/(원의 지름) 원주율은 3.1415... 인데 우리가 알고 있는 유리수로는 표현할 수가 없었습니다. 어려운 말로 하면 무리수 중에서도 초월수입니다. 새로운 이름이 필요했고 원주율에 그리스어 π 라는 이름을 붙였습니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. π=(원의 둘레의 길이)/(원의 지름) 원의 둘레의 길이를 l, 지름을 2r 이라고 놓으면 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. $\pi=\frac{l}{2r}$ 양변에 2r을 곱하고 정리합시다. $.. 2023. 4. 19.

함수의 극한 설명 문과버전 f(x)=3x 라는 함수가 있습니다. x가 3에 가까이 갈 때, f(x) 는 어디에 가까이 갈까요? y는 9에 가까이 갑니다. 이때 9를 x가 3으로 가까이 갈 때, f(x)의 극한값이라고 정의합니다. 이 상황을 기호로 표현하면 아래와 같습니다. $\lim_{x\rightarrow 3}3x=9$ 여기서 주의할 점이 있습니다. 위 수식은 f(x)가 9가 된다는 말이 아닙니다. f(x)가 다가가는 수가 9라는 것입니다. 이 미묘한 차이를 이해해야 합니다.미묘한 차이를 크게 확대해 볼 수 있는 예시를 하나 가져왔습니다. 극한이 무엇인지 정말 이해했는지 알아볼 수 있는 예시입니다. $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x(x-3)}{x-3}$ 위 극한값은 얼마일까요? 6입니다. 6이라는게 이해되시.. 2023. 4. 13.

자코비안의 이해 (2) 변환행렬과 행렬식 우리는 지난시간까지 변환이 무엇인지 배웠습니다. 자코비안을 이해하려면 변환행렬과 행렬식의 의미도 알아야 합니다. 오늘은 변환행렬과 행렬식의 의미를 알아봅시다. 변환행렬 변환 중에서 행렬 형태로 표현이 가능한 변환이 있습니다. 예를 들면 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$ uv 평면의 좌표에 행렬을 곱하여 xy 평면의 좌표로 변환할 수 있습니다. 위 행렬을 변환행렬이라고 합니다. 변환행렬의 행렬식 위 변환행렬의 행렬식은 ad-bc 입니다. 행렬식이 변환에서 어떤 의미를 갖는지 알아봅시다. uv 평면에 아래와 같은 .. 2023. 3. 21.

자코비안의 이해 (1) 변환과 선형변환 변환이란? uv 평면에서 xy 평면으로 가는 변환 T가 있다고 합시다. 수식으로는 아래와 같이 표현됩니다. $T(u,v)=(x,y)$ 아래와 같이 x와 y를 $(u,v)$에 대한 함수로 나타낼 수도 있습니다. $x=f(u,v)$ $y=g(u,v)$ 먼저 몇가지 용어들을 배워봅시다. 여기저기서 자주 보게되실 용어들입니다. 1) $C_{1}$변환 : 함수 f와 g가 연속이고 1차 편미분을 가진다면, 변환 T를 $C_{1}$변환이라고 부름 2) 상(image) : 변환 T에 의해 $(u_{1},v_{1})$이 $(x_{1},y_{1})$으로 변환되는데 이 때, $(x_{1},y_{1})$을 $(u_{1},v_{1})$의 상이라고 부름 3) 일대일 변환 : 어떤 두 점도 같은 상(image)을 갖지 않을 때, .. 2023. 3. 20.

그래디언트의 이해 (3) 그래디언트의 의미 지난시간에 유도한 방향도함수 수식은 아래와 같습니다. $D_{u}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}u_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}u_{y}$ 곡면 $z=f(x,y)$ 위의 점 (x,y,z) 에서 벡터 $\vec{u}$ 방향으로의 접선의 기울기를 의미합니다. 위 식의 우변을 아래와 같이 두 벡터의 내적으로 표현할 수 있습니다. $D_{u}f(x,y)=\left ( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right ) \cdot \left ( u_{x},u_{y} \right )$ 위 식 우변의 첫 항은 함수 f의 그래디언트입니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. $D.. 2023. 3. 15.

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