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확률18

[5분 고등수학] 이산확률변수 vs 연속확률변수 확률변수는 이산확률변수와 연속확률변수로 나눠집니다. 이산확률변수와 연속확률변수를 비교하면서 공부해봅시다. 이산확률변수의 이산의 뜻은 떠날 '이' 흩어질 '산'입니다. 떨어져서 흩어져 있는 확률변수라는 말입니다. 연속확률변수는 이산의 반대입니다. 끊어져 있지 않고, 연결되어 있는 확률변수입니다. 간단한 예시를 통해서 이해해봅시다. 이산확률변수의 대표적인 예시는 '동전던지기' 입니다. 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 한다면 아래와 같은 표로 정리할 수 있습니다. 확률변수 X는 0과 1이라는 두개의 값을 갖습니다. X 0 1 P(X) 0.5 0.5 이산확률변수의 특징은 표로 나타낼 수 있다는 것이구요. 그래프로 그리면 아래와 같습니다. 이 함수를 확률질량함수라고 부릅니다. 확률질량.. 2022. 3. 3.
[5분 고등수학] 독립시행 독립시행의 정의는 아래와 같습니다. "어떤 시행을 여러번 반복할 때, 각 시행이 서로 독립인 경우의 시행" 예를 들면 주사위 던지기가 있습니다. 우리가 주사위를 던질 때, 이번에 2가 나왔다고 해서 다음번에 2가 나올 확률이 달라지지 않죠. 매번 던질 때마다 각각의 눈이 나올 확률은 1/6으로 일정합니다. 이런 시행을 독립시행이라고 합니다. 이번에는 독립시행의 확률을 공부해봅시다. 독립시행의 확률의 정의는 아래와 같습니다. "시행을 1번 했을 때, A가 발생할 확률을 P라고 하자. 이 시행을 n번 했을 때 A가 r번 일어날 확률이 '독립시행의 확률'이다" 예를들어 봅시다. 주사위를 한번 던질 때, 홀수의 눈이 나올 확률을 1/2입니다. 이 주사위를 n번 던졌을 때, 홀수의 눈이 r번 나올 확률이 독립시행.. 2022. 3. 2.
[5분 고등수학] 조건부 확률 & 확률의 곱셈정리 먼저 조건부확률의 정의를 말씀드리겠습니다. 조건부확률은 사건 A가 일어났다는 조건 하에, 사건 B가 일어날 호가률입니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $P\left({B}|{A}\right)$ 위 수식의 나온 기호 | 는 bar라고 부릅니다. 집합의 조건제시법에서도 사용된 기호입니다. 조건부 확률을 계산해봅시다. 아래와 같은 표본공간이 있습니다. 이 표본공간에서 A라는 사건이 발생한겁니다. A가 발생했기 때문에, 표본공간이 A로 좁혀집니다. 이런 상황에서 B가 발생하는 사건은 A와 B가 겹치는 부분이 됩니다. 따라서 확률은 아래와 같이 계산됩니다. $P\left({B}|{A}\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}$ 우변의 분자와 분모를 n(S.. 2022. 2. 28.
[5분 고등수학] 확률의 덧셈정리 S라는 표본공간 안에 A라는 사건과 B라는 사건이 있습니다. 이때, A 또는 B가 발생할 확률을 아래와 같이 나타냅니다. $P\left(A\cup B\right)$ 주사위를 예로 든다면, 홀수의 눈 또는 2의 배수가 발생할 확률 등이 있습니다. A와 B의 합집합의 확률이 아래와 같이 계산된다는 등식이 '확률의 덧셈정리'입니다. $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$ A와 B의 교집합의 확률은 'A 그리고 B'의 확률입니다. 확률의 덧셈정리를 유도해봅시다. 위 벤다이어그램에서 집합의 원소의 개수들 사이에는 아래 등식이 성립합니다. $n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\le.. 2022. 2. 25.
10일 만에 주식의 신이 되는 방법 모르는 사람의 핸드폰 번호 102,400개를 준비합니다. 1일차. 51,200명에게는 A라는 주식이 내일 오를 것이다 라고 보내고, 나머지 51,200명에게는 내일 내릴 것이다 라고 보냅니다. 2일차. 만약 주식이 올랐다면 오른 51,200명, 내렸다면 내린 51,200명을 추립니다. 추려진 사람들 중 25,600명에게는 내일 A라는 주식이 오를 것이다 라고 보내고, 나머지 25,600명에게는 내일 A라는 주식이 내릴 것이다 라고 보냅니다. 3일차. 만약 주식이 올랐다면 오른 25,600명, 내렸다면 내린 25,600을 추립니다. 추려진 사람들 중 12,800명에게는 내일 B라는 주식이 오를 것이다 라고 보내고, 나머지 12,800명에게는 내일 B라는 주식이 내릴 것이다 라고 보냅니다. 4일차. 만약 주.. 2021. 2. 27.
확률의 장난 (셰익스피어의 성경 개입설) 오늘은 우연히 일어났다 고 하기에는 너무나 신기한 역사적 사건을 말씀드리려고 합니다. 셰익스피어가 시편 46편을 쓰는데 개입을 했다는 주장에 근거가 되는 이야기입니다. 구글의 다가 시편 46 편이라고 치고요. sha 라고 누르면 여기 셰익스피어가 나옵니다. 시편 36편 어떤 관계가 있길래 이런 검색어가 자동으로 등장하는지 오늘 말씀 드리도록 하겠습니다. 위키피디아에 시편 46 편을 검색을 하면 맨 아래 레퍼런스 위에 이런 내용이 있습니다 셰익스피어에 성경 개입설입니다. 셰익스피어가 킹제임스성경 을쓰는데 개입했다는 내용인데요. 킹제임스 성경의 시편 46편 을 펴고 말씀을 드리도록할게요. 시편 46 편에서, 앞에서 46번째 단어를 찾으면 쉐이크가 있습니다. 그리고 뒤에서 46번째 단어를 찾으면 스피어 가 있.. 2021. 1. 2.
[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (3)확률분포 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(3)확률분포] 확률분포 확률변수 X가 있다고 해봅시다. X는 확률변수이고 변수의 개수는 n개입니다. 변수는 아래와 같습니다. 이 확률 변수에 대응되는 확률은 아래와 같습니다. 이러한 대응 관계를 확률변수 X의 확률분포라고 합니다. 표와 그래프로 나타내면 아래와 같습니다. 2019. 9. 15.
[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (2)이산확률변수 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(2)이산확률변수] 이산확률변수 확률변수는 두가지가 있습니다. - 이산확률변수- 연속확률변수 오늘은 이산확률변수에 대해 공부해봅시다. 이산의 뜻을 먼저 풀이해봅시다. 떠날(리)흩어질(산) 서로 떨어져서 흩어져 있는 변수라는 듯입니다. 다른 말로 하면 "셀 수 있는 변수" 입니다. 이산확률변수 : 확률변수 X가 가질 수 있는 값이 셀 수 있는 경우의 확률변수. 개수는 유한개이거나 무한개이거나 상관 없음. 자연수의 경우는 그 수가 무한개이지만 셀 수 있기 때문에 이산확률변수임. 주사위를 한번 던져서 나오는 수가 X라면, 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1,2,3,4,5,6 입니다. 셀 수 있기 때문에 이산확률변수입니다. 변수 X가 0과 1 사이의 실수라고 해봅시다.. 2019. 9. 15.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (11)확률의 곱셈정리 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(11)확률의 곱셈정리] 확률의 곱셈정리 지난 강의에서 배운 조건부확률을 떠올려봅시다. 사건 A가 일어났을 때, 사건 B가 일어날 확률은 아래와 같았습니다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 이번에는 사건 B가 일어났을 때, 사건 A가 일어날 확률을 써봅시다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 변형된 식들을 모아봅시다. 아래 식이 확률의 곱셈정리입니다. 확률의 덧셈정리는 합집합의 확률을 합(+)으로 표현한 것이었습니다. 확률의 곱셈정리는 교집합의 확률을 곱(X)으로 표현한 것입니다. 2019. 8. 30.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (8)확률의 덧셈정리 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(8)확률의 덧셈정리] 확률의 덧셈정리 두 사건이 있습니다. A와 B라고 놓겠습니다. 두 사건의 원소 개수에 대해서 아래 등식이 성립합니다. 양면을 표본공간의 원소 수로 나눕시다. 표본공간은 전사건입니다. 발생할 수 있는 모든 사건의 경우의수 입니다. 따라서 각 항들은 확률이 됩니다. 위 식이 '확률의 덧셈정리'입니다. 만약 사건 A와 B가 배반사건이라면 교집합이 없기 때문에 아래 등식이 됩니다. 2019. 8. 13.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (7)확률의 기본 성질 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(7)확률의 기본 성질] 확률의 기본 성질 표본공간 S가 있다고 해봅시다. 표본공간은 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합이었습니다. 예를들어 주사위를 던지는 시행이 있다고 해봅시다. 이 시행에서 표본공간은 {1,2,3,4,5,6}입니다. 표본공간 S에 임의의 사건 A가 있습니다. 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 또 공집합은 모든집합의 부분집합입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. Ø⊂A⊂S 이때 성립하는 세가지 성질이 있습니다. 1) 임의의 사건 A에서, 0≤P(A)≤1 이다. 2) S가 반드시 일어나는 전사건이므로, P(S)=1 이다. 3) Ø가 절대 일어나지 않는 공사건 이므로, P(Ø)=1 이다. 2019. 8. 13.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (6)확률의 종류 - 통계적 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(6)확률의 종류 - 통계적 확률] 확률의 종류 - 통계적 확률 확률은 크게 두 가지로 나뉩니다. 수학적 확률과 통계적 확률입니다. 이전 글에서 수학적확률에 대해 배웠습니다. 수학적 확률은 시행을 하지 않고도 구할 수 있는 확률이었습니다. '주사위를 던질 때 짝수의 눈이 나올 확률'과 같은 확률입니다. 이번 글에서 다룰 '통계적 확률'은 그렇지 않습니다. 시행을 통해 실제로 알아가는 확률입니다. 따라서 시행 횟수에 따라 그 값이 변합니다. 예를 들어봅시다. 주사위를 300번 던졌습니다. 나온 짝수의 눈을 세보니 20회였습니다. 이때 확률을 구하면 1/15가 됩니다. 주사위를 던지는 횟수를 무한대로 보내면 실제로 구하는 확률은 어떤 값에 가까워져갈 것입니.. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (5)확률의 종류 - 수학적 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(5)확률의 종류 - 수학적 확률] 확률의 종류 - 수학적 확률 확률은 크게 두 가지로 나뉩니다. 수학적 확률과 통계적 확률입니다. 이번 글에서는 수학적확률을 설명드리겠습니다. 수학적 확률은 이름에서도 알 수 있듯, 시행을 실제로 해보지 않아도 '수학적으로' 계산이 가능한 확률입니다. 수학적 계산이 가능하다는 것은 시행여부에 따라 변하는 것이 아니라 절대적인 값을 갖는다고 이해할 수 있습니다. 표본공간 S가 있고, 표본공간 S의 부분집합 사건 A가 있다고 해봅시다. A가 일어날 확률 P(A)는 아래와 같이 정의됩니다. n(S)는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의수입니다. n(A)는 사건 A가 일어나는 경우의 수입니다. 이 확률이 수학적확률입니다. 예.. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (4)확률이란? [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(4)확률이란?] 확률이란? 어떤 시행의 표본공간을 S라고 하고, 표본공간의 부분집합인 한 사건을 A라고 합시다. 이 사건 A가 발생할 가능성이 사건 A의 확률입니다. 어떤 사건이 발생할 가능성 = 어떤 사건의 확률 사건A의 확률을 기호로 아래와 같이 나타냅니다. P(A) P는 Probability 첫글자 입니다. 괄호는 of 정도로 해석할 수 있습니다. P(A) = Probability of A 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (3)배반사건과 여사건 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(3)배반사건과 여사건] 배반사건과 여사건 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 표본은 sample, 공간은 space 라서 표본공간은 sample space입니다. 앞글자를 따서 S라고 이름붙였습니다. 이 시행의 사건 A와 B가 있습니다. 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. 배반사건은 어떤 사건들이 서로 교집합이 없는 것을 의미합니다. 만약 사건 A와 B가 서로 배반사건이라면 아래 등식이 성립합니다. 반대로 위 등식이 성립하면, 두 사건은 서로 배반사건입니다. 어떤 사건의 여사건은 그 사건이 일어나지 않은 사건을 말합니다. 집합으로 표현하면 여집합입니다. A의 여사건은 아래와 같습니다. 어떤 사건과 그 사건의 여사건은 .. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (2)합사건과 곱사건 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(2)합사건과 곱사건] 합사건과 곱사건 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 표본은 sample, 공간은 space 라서 표본공간은 sample space입니다. 앞글자를 따서 S라고 이름붙였습니다. 이 시행의 사건 A와 B가 있습니다. 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. 합사건을 정의해봅시다. 합사건은 A 또는 B가 일어나는 사건을 말합니다. 집합으로 표현하면 합집합입니다. 합사건 = A 또는 B가 일어나는 사건 = 이번에는 곱사건을 정의해봅시다. 곱사건은 A 그리고 B가 일어나는 사건입니다. 다른 말로 하면 A와 B가 동시에 일어나는 사건입니다. 집합으로 표현하면 교집합입니다. 곱사건 = A 그리고 B가 일어나는 사건 = 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (1)시행과 사건 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(1)시행과 사건] 시행과 사건 주사위를 던졌습니다. 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}의 눈이 나올 수 있습니다. 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}중 하나는 반드시 나온다는 말입니다. 주사위를 던져서 7이 나올 수는 없습니다. 주사위를 던졌더니 3이 나왔습니다. 시행 : 주사위를 던졌습니다. 표본공간 : 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}의 눈이 나올 수 있습니다. 전사건 : 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}중 하나는 반드시 나온다는 말입니다. 공사건 : 주사위를 던져서 7이 나올 수는 없습니다.사건 : 주사위를 던졌더니 3이 나왔습니다. 근원사건 : {1} {2} {3} {4} {5} {6} 일반화시켜봅시다. 시행 : 어떤 .. 2019. 8. 10.
고등수학 [확률과 통계] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [확률과 통계] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 고등교육과정에서 '확률과 통계'는 하나의 카테고리로 구성되어 있습니다. 카테고리 [확률과 통계]에서는 '경우의 수'과 '확률'과 '통계'을 배웁니다. 2. 성취기준 가. 경우의 수 1) 순열과 조합- 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다. - 중복조합을 이해하고, 중복조합의 수를 구할 수 있다. 2) 이항정리- 이항정리를 이해하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 나. 확률 1) 확률의 뜻과 활용- 통계적 확률과 수학적 확률의 의미를 이해한다. - 확률의 기본 성질을 이해한다. - 확률의 덧셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. - 여사건의 확률의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있.. 2019. 8. 1.
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