반응형 모듈식 수학35 [모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (16) 거듭제곱근의 성질 ⑤ 거듭제곱근의 거듭제곱근 거듭제곱근의 성질 ⑤ 거듭제곱근의 거듭제곱2 거듭제곱근의 성질 다섯번째 입니다. m과 n이 2 이상의 자연수이고 a는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ 우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 위 식의 좌변을 mn제곱해봅시다. $\left ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \right )^{mn}$ 지수법칙에 의해 아래와 같이 변형됩니다. $\left ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \r.. 2022. 7. 5. [모듈식 수학2] 2.미분 (4) 미분계수에 왜 '계수'라는 말이 붙어있나 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(4) 미분계수에 왜 계수라는 말이 붙어있나] 미분계수에 왜 계수라는 말이 붙어있나 미분(微分)은 한자로 작을 (미), 나눌 (분) 입니다. 무언가를 작게 나눈다는 의미입니다. 우리는 함수에서 미분계수를 구하고 있으므로, 우리가 다루는 미분은 '함수의 미분'입니다. 함수의 미분은 함수를 작게 나누는 것입니다. 이런 질문이 이어져야 합니다. 함수를 작게 나눈다는게 뭔소리야? 우리는 함수의 미분의 의미를 배우지 않은 상태입니다. 함수를 미분한다는 개념도 모르는 상태로 '미분계수'를 배우려니 의미가 와닿지 않을 수 밖에 없습니다. 그런데 함수를 미분한다는 것은 함수의 미분계수를 일반화한 도함수를 구하는 것과 같습니다. 우리는 '미분'도 '미분계수'도 이해하지 못했는데 서로가.. 2020. 2. 13. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (33) 사잇값정리 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(33) 사잇값 정리] 사잇값 정리 어떤 함수가 구간 닫힌구간 [a,b] 에서 연속이라고 합시다. 한가지 조건을 더 추가할건데, f(a)가 f(b)와 다르다는 조건입니다. 그래프로 그려보면 아래와 같습니다. f(a)와 f(b)사이의 어떤 값 k가 있다고 해봅시다. 함수값이 k가 되는 c가 닫힌구간 [a,b]에 존재할까요? 그렇겠죠? 직관적으론 너무 당연합니다. 고등학교 수준에서 증명이 어려우니 직관적으로 이해하고 넘어갑시다. 아니 그런데, 닫힌구간 [a,b]이 아니라 열린구간 (a,b)이어도 성립할까요? k가 f(a)와 f(b) 사이이므로, k가 f(a)나 f(b)와 다르므로 성립합니다. 지금까지 이야기한 내용을 정리해봅시다. 닫힌구간 [a,b]에.. 2020. 1. 30. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (32) 최대,최소 정리 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(32) 최대,최소 정리] 최대, 최소 정리 어떤 함수가 구간 닫힌구간 [a,b] 에서 연속이라고 합시다. 이 구간에서 함수가 최댓값을 가질까요? 최댓값을 갖지 않는다면 어떤 상황일까요. 어떤 함수가 구간 [a,b]에서 최댓값을 갖지 않으려면 어느 값에서 발산해야합니다. 어느 값에서 발산하게 되면 연속이 아닙니다. 따라서 어떤 함수가 구간 [a,b]에서 연속이라면 반드시 최댓값을 갖습니다. 같은 이유로 어떤 함수가 구간 [a,b]에서 연속이라면 최솟값도 같습니다. 정리하면 이렇습니다. "어떤 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다" 위 명제가 최대,최소정리입니다. 사실 직관적으로 받아.. 2020. 1. 29. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (31) 연속함수의 성질 (나누기) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(31) 연속함수의 성질 (나누기)] 연속함수의 성질 (나누기) 두 함수 f(x)와 g(x)가 있다고 합시다. 두 함수는 각각 x=a에서 연속입니다. 따라서 아래 성질이 성립합니다. x=a에서 연속인 두 함수를 나눈 값은 x=a에서 연속일까요? f(x)를 g(x)로 나눈 함수의 x=a에서의 극한은 아래와 같습니다. 우리가 이미 배운 함수의 극한의 성질에 의해 아래와 같이 변형할 수 있습니다. (링크 : https://hsm-edu-math.tistory.com/305) 각 함수는 함수값을 극한값으로 가지므로 아래 등식이 성립합니다. 따라서 x=a인 두 함수를 서로 나눈 함수는 x=a에서 연속이 됩니다. 단, g(a)는 0이 아니어야합니다. 2020. 1. 28. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (30) 연속함수의 성질 (곱) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(30) 연속함수의 성질 (곱)] 연속함수의 성질 (곱) 두 함수 f(x)와 g(x)가 있다고 합시다. 두 함수는 각각 x=a에서 연속입니다. 따라서 아래 성질이 성립합니다. x=a에서 연속인 두 함수의 곱은 x=a에서 연속일까요? 두 함수의 곱의 x=a에서의 극한은 아래와 같습니다. 우리가 이미 배운 함수의 극한의 성질에 의해 아래와 같이 변형할 수 있습니다. (링크 : https://hsm-edu-math.tistory.com/304) 각 함수는 함수값을 극한값으로 가지므로 아래 등식이 성립합니다 . x=a에서 연속인 두 함수의 곱은 x=a에서 연속이 됩니다. 2020. 1. 27. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (28) 연속함수의 성질 (상수배) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(28) 연속함수의 성질 (상수배)] 연속함수의 성질 (상수배) 우리는 어떤 함수 f(x)가 a에서 극한값을 가질 때, f(x)의 k배도 a에서 극한값을 가진다는 성질을 이미 보였습니다. (링크 : https://hsm-edu-math.tistory.com/302) 만약 f(x)가 a에서 극한값을 가질 뿐 아니라, 연속이라면 f(x)의 k배는 어떻게 될까요? f(x)가 a에서 연속이라는 것은 극한값을 갖고, 극한값이 함수값과 같다는 것을 말합니다. 위 식을 이용하여 (1)번 식을 아래와 같이 바꿀 수 있습니다. 따라서 f(x)가 a에서 연속이라면, f(x)의 k배도 연속이 됩니다. 2020. 1. 18. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (27) 다항함수, 유리함수, 무리함수의 연속성 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(27) 다항함수, 유리함수, 무리함수의 연속성] 다항함수, 유리함수, 무리함수의 연속성 우리가 배운 함수들의 연속성을 알아봅시다. 다항함수는 일차함수, 이차함수, 삼차함수 등을 말하는데요. 다항함수는 모든 구간에서 연속입니다. 유리함수는 아래와 같은 함수입니다. f(x)가 0이 되게하는 x에서 불연속입니다. 무리함수는 아래와 같은 함수입니다. x와 y가 실수라는 조건에서, f(x)가 0보다 작은 부분에서는 정의가 되지 않습니다. 따라서 f(x)가 0보다 같거나 큰 구간에서 연속입이 됩니다. 2020. 1. 16. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (25) 열린구간, 닫힌구간 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(25) 열린구간, 닫힌구간] 열린구간, 닫힌구간 x의 구간에 대해 이야기해봅시다. x의 구간은 부등호기호를 이용하여 정의합니다. 아래와 같이 네가지 형태의 구간을 정의할 수 있습니다. a,b는 실수이고 a 2020. 1. 13. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (24) 함수의 연속과 불연속 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(24) 함수의 연속과 불연속] 함수의 연속과 불연속 우리는 함수의 극한에 대해 배운 상태입니다. x=a에서 극한이 존재한다는 것은 우극한과 좌극한이 같다는 조건만 만족하면 됐었습니다. 아래와 같이 그래프가 끊어져 있어도 상관 없었죠. 심지어 함수값이 없어도 상관없었습니다. 수식로 표현하면 아래와 같습니다. 함수가 x=a에서 '연속'이려면 그래프가 끊어져있으면 안되고 연결되어있어야 합니다. 말로 하면 쉽습니다. "끊어지지 않고 연결되어 있으면 돼" 그런데 수학적으로는 어떻게 표현할까요? 극한값과 함수값이 같으면 됩니다. 수식로 표현하면 아래와 같습니다. 만약 어떤 함수가 x=a에서 연속이라면 아래의 세가지 조건을 만족합니다. 1) x=a에서 극한값.. 2020. 1. 10. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (23) 함수의 극한의 대소관계 (샌드위치정리) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(23)함수의 극한의 대소관계 (샌드위치정리)] 함수의 극한의 대소관계 (샌드위치 정리) 두 함수 f(x), g(x), h(x)가 있습니다. f(x)와 g(x)가 x=a에서 극한값을 갖고, 그 값은 각각 아래와 같습니다. 세 함수의 대소관계가 아래와 같다고 합시다. x=a에서 h(x)의 극한값은 무엇일까요? 당연히 L이겠죠? 위 성질을 '샌드위치정리'라고 합니다. 2020. 1. 9. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (22) 함수의 극한의 대소관계 (두 함수의 관계) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(22) 함수의 극한의 대소관계 (두 함수의 관계)] 함수의 극한의 대소관계 (두 함수의 관계) 두 함수 f(x)와 g(x)가 있습니다. 두 함수가 a에서 극한값을 갖는다고 합시다. 만약 f(x)가 g(x)보다 크다면 극한값은 어떻게 될까요? 위와 같이 될까요? 아쉽지만 아닙니다. 반례가 존재합니다. 아래와 같은 경우입니다. (x는 0이 아닌 실수) f(x)에서 g(x)를 빼봅시다. 아래와 같이 고쳐야 성립합니다. 두 함수가 같을 때도 위 명제가 성립하므로, 아래와 같이 쓸 수도 있습니다. 핵심은, f(x)가 g(x)보다 크다고 해서 극한값도 크지는 않을 수 있다는 것입니다. 극한값이 같은 반례가 존재한다는 것을 기억하세요. 2020. 1. 8. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (21) 미정계수의 결정 : x가 무한대로 가는 경우 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(21) 미정계수의 결정 : x가 무한대로 가는 경우] 미정계수의 결정 : x가 무한대로 가는 경우 미정계수는 정해지지 않은 계수입니다. 아닐(미), 정할(정) 입니다. 계수는 뭘까요? 변수 앞에 곱해진 값일까요? 계수는 변수를 제외한 모든 값을 말합니다. 상수항도 '계수'입니다. 미정계수문제의 유형은 x가 어떤 값으로 수렴하는 경우와 무한대로 발산하는 경우로 나뉘는데요. 이번에는 무한대로 발산하는 경우를 알아봅시다. 위 수식에서 a가 미정계수입니다. 미정계수를 결정한다는 것은 극한의 성질을 이용하여 미정계수를 구한다는 것입니다. 위식에서 분자의 차수가 높기 때문에 전체 값은 무한대로 발산하게 됩니다. 수렴하기 위해서는 a가 0이 되야합니다. 따라.. 2020. 1. 7. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (20) 미정계수의 결정 : x가 a로 가는 경우 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(20) 미정계수의 결정 : x가 a로 가는 경우] 미정계수의 결정 : x가 a로 가는 경우 미정계수는 정해지지 않은 계수입니다. 아닐(미), 정할(정) 입니다. 계수는 뭘까요? 변수 앞에 곱해진 값일까요? 계수는 변수를 제외한 모든 값을 말합니다. 상수항도 '계수'입니다. 미정계수문제의 유형은 x가 어떤 값으로 수렴하는 경우와 무한대로 발산하는 경우로 나뉘는데요. 먼저 x가 어떤 값으로 수렴하는 경우를 살펴봅시다. 위 수식에서 a가 미정계수입니다. 미정계수를 결정한다는 것은 극한의 성질을 이용하여 미정계수를 구한다는 것입니다. 위 식에서 분모가 0으로 가고 있습니다. 만약 분자가 어떤 값으로 수렴한다면, 극한값은 무한대로 발산할 것입니다. 그런데.. 2020. 1. 6. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (19) 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영 (무리식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(19) 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영 (무리식 형태)] 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영(무리식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 네번째 유형인 무한대 곱하기 영의 극한값을 구해보겠습니다. 무한대 곱하기 영 유형은 다항식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 무리식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 괄호 안을 통분합시다. 분자를 유리화합니다. 분모를 전개합니다. 분모와 분자를 x로 나눕니다. 아래와 같이 수렴합니다. 2020. 1. 2. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (18) 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영 (다항식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(18) 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영 (다항식 형태)] 부정형 극한값 - 무한대 곱하기 영(다항식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 네번째 유형인 무한대 곱하기 영의 극한값을 구해보겠습니다. 무한대 곱하기 영 유형은 다항식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 다항식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 빨간 부분은 무한대로 발산하고, 파란부분은 0으로 수렴합니다. 어떻게 풀까요? 먼저 괄호 안을 통분합니다. 약분이 가능해집니다. 약분합시다. 따라서 아래와 같이 수렴합니다. 2020. 1. 1. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (17) 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(부정형 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(17) 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(무리식 형태)] 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(무리식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 세번째 유형인 무한대 빼기 무한대 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 무한대 마이너스 무한대 유형은 다항식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 무리식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 분자를 유리화합니다. 분자는 -2이고, 분모는 무한대로 발산하기 때문에 전체 값은 0으로 수렴합니다. 2019. 12. 31. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (16) 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(다항식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(16) 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(다항식 형태)] 부정형 극한값 - 무한대 빼기 무한대(다항식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 세번째 유형인 무한대 빼기 무한대 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 무한대 마이너스 무한대 유형은 다항식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 다항식 형태의 극한을 구해보겠습니다. x제곱은 무한대로 가고 -3x는 마이너스 무한대로 가고 있습니다. 이럴 때는 최고차항으로 묶어주면 됩니다. 괄호 안은 1로 수렴합니다. 따라서 극한값은 아래와 같습니다. 2019. 12. 27. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (15) 부정형 극한값 - 영 나누기 영(무리식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(15) 부정형 극한값 - 영 나누기 영(무리식 형태)] 부정형 극한값 - 영 나누기 영(무리식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 두번째 유형인 영 나누기 영 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 0/0 유형은 유리식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 무리식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 무리식의 경우 루트가 들어있는 분모 또는 분자를 유리화해주면 됩니다. x-1을 약분합시다. 아래와 같이 수렴합니다. 2019. 12. 26. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (14) 부정형 극한값 - 영 나누기 영(유리식 형태) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(14) 부정형 극한값 - 영 나누기 영(유리식 형태)] 부정형 극한값 - 영 나누기 영(유리식 형태) 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 두번째 유형인 영 나누기 영 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 0/0 유형은 유리식 형태와 무리식 형태로 나뉩니다. 이번시간에는 유리식 형태의 극한을 구해보겠습니다. 분모와 분자를 인수분해합니다. 약분이 가능해졌습니다. 약분합시다. 아래와 같이 수렴합니다. 2019. 12. 26. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (13) 부정형 극한값 - 무한대 나누기 무한대 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(13) 부정형의 극한값 - 무한대 나누기 무한대] 부정형 극한값 - 무한대 나누기 무한대 극한값이 부정형인 경우는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 오늘은 첫번째 유형인 무한대 나누기 무한대 유형의 극한값을 구해보겠습니다. 예제를 통해 알아봅시다. 방법은 간단합니다. 분자와 분모를 최고차항으로 나눠주는 것입니다. 위 예제의 경우 최고차항인 x제곱으로 나눠주면 됩니다. x가 무한대로갈 때, 위 식의 빨간 부분은 전무 0으로 수렴합니다. 따라서 극한값은 아래와 같습니다. 2019. 12. 19. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (12) 극한값 구하기 - 부정형이란? [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(12) 극한값 구하기 - 다항함수] 극한값 구하기 - 부정형이란? 부정형의 '형'은 형태를 말합니다. 부정은 정해지지 않는다는 뜻입니다. 따라서 부정형의 의미를 풀이하면 아래와 같습니다. 부정형 : 정해지지 않은 형태 그래서 뭐가 정해지지 않았다는 걸까요? 극한값이 정해지지 않았다는 말입니다. 아래 극한값을 한번 구해볼까요? 극한값이 0이라는 것을 바로 구할 수 있습니다. 이번에는 아래의 경우를 봅시다. 분모도 0에 가까워져 가고, 분모도 0에 가까워져 갑니다. 0/0 형태입니다. 현재 상태로는 극한값을 정할 수가 없습니다. 이런 형태를 부정형이라고 합니다. 부정형에는 아래와 같이 네가지 유형이 있습니다. 다음 글부터 한 유형씩 알아봅시다. 2019. 12. 18. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (11) 극한값 구하기 - 다항함수 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(11) 극한값 구하기 - 다항함수] 극한값 구하기 - 다항함수 먼저 다항식이 무엇인지 복습해봅시다. "다항식(polynomial)은 문자의 거듭제곱의 상수 배 여럿의 합을 표현하는 수식이다." (링크 : https://hsm-edu-math.tistory.com/3) 다항함수는 다항식으로 만들어진 함수입니다. 따라서 다항함수는 모든 점에서 극한이 존재합니다. f(x)가 다항함수라면 x가 a로 갈 때, f(x)의 극한값은 f(a)입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 2019. 12. 17. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (10) 함수의 극한의 성질 (나눗셈) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(10) 함수의 극한의 성질 (나눗셈)] 함수의 극한의 성질 (나눗셈) x가 a에 가까워져 갈 때, f(x)는 실수 L에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a에 가까워져 갈 때, g(x)는 실수 M에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a로 갈 때, f(x)를 g(x)로 나누면 어떻게 될까요? x=a에서 함수가 수렴한다는 것은, x=a에서의 좌극한값과 우극한값이 같다는 말입니다. x=a에서 각 함수의 좌극한값과 우극한값이 같으므로, f(x)를 g(x)로 나눠도 좌극한값과 우극한값이 같아집니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. (단, M은 0이 아닙니다.) 2019. 12. 16. [모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (9) 함수의 극한의 성질 (곱) [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[①함수의 극한]-[(9) 함수의 극한의 성질 (곱)] 함수의 극한의 성질 (곱) x가 a에 가까워져 갈 때, f(x)는 실수 L에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a에 가까워져 갈 때, g(x)는 실수 M에 가까워져 간다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. x가 a로 갈 때, 두 함수의 곱은 어떻게 될까요? x=a에서 함수가 수렴한다는 것은, x=a에서의 좌극한값과 우극한값이 같다는 말입니다. x=a에서 각 함수의 좌극한값과 우극한값이 같으므로, 두 함수의 곱에서도 좌극한값과 우극한값이 같아집니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 이 결과는 함수의 곱을 구할 때 ,두 함수가 수렴하는 경우 극한값을 따로 나눠도 등식이 성립한다.. 2019. 12. 12. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (47) 산술,기하,조화평균의 대소관계 산술,기하,조화평균의 대소관계를 이용한 절대부등식 지난시간에 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)을 배웠습니다. 산술평균을 , 기하평균을 , 조화평균을 라고 하겠습니다. n개의 수에 대한 각각의 평균을 써봅시다. 이러한 평균들의 대소관계를 비교해볼 것입니다. 간단한 상황에서 살펴보기 위해 수가 2개인 경우 부터 시작하겠습니다. 또한 수의 범위를 양수로 제한하겠습니다. 음수를 포함하게 되면 대소관계를 정의할 수 없기 때문입니다. 먼저 산술평균과 기하평균을 비교해봅시다. 산술평균에서 기하평균을 뺴봅시다. 뺀 값이 0보다 같거나 크다는 것을 증명하면 됩니다. 기하평균을 오른쪽 항으로 넘기고 2를 곱한 뒤에 제곱합니다. 우변을 좌변으.. 2019. 5. 2. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (43) 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 식(또는 두 수)의 크기를 비교하는 방법은 세가지가 있습니다. 먼저 두 식이 0보다 크건, 같건, 작건 상관 없이 사용할 수 있는 방법입니다. 두 식을 서로 뺀 뒤 0과 비교해주면 됩니다. 두 식 A와 B가 있다고 해봅시다. 식 A에서 B를 뺐더니 0보다 컸습니다. 식 A와 B중 어느 식이 큰 것일까요. 식 A입니다. 방금 설명한 상황을 명제로 나타내봅시다. A-B>0 이면 A>B이다. 이 명제의 역도 성립합니다. 기호만으로 나타내면 아래와 같습니다. 아래 명제들도 동일하게 성립합니다. 두번째 방법은 두 식이 양수인 경우에만 성립합니다. 두 식 A와 B가 있고, 두 식 모두 0보다 크다고 해봅시다. 두 식을 제곱하여 과 을 얻었습니다. 에서 을 뻈더니 0보다 컸습니다. .. 2019. 4. 16. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (42) 필요충분조건 필요충분조건 'p이면 q이다' 라는 명제가 참이면 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건이라고 한다는 것을 배웠습니다. 만약 'q이면 p이다' 라는 명제도 참이면 어떻게 될까요? p와 q는 서로에게 충분조건이기도 하고, 필요조건이기도 합니다. 이때, p와 q를 서로의 필요충분조건이라고 부릅니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. p는 q이기 위한 필요충분조건q는 p이기 위한 필요충분조건 2019. 4. 10. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (41) 필요조건, 충분조건 필요조건, 충분조건 'p이면 q이다' 라는 명제가 참이면 기호로 아래와 같이 나타냅니다. 이때 p를 q의 충분조건, q를 p의 필요조건이라고 합니다. 왜 충분과 필요라는 말이 붙었을까요? 한가지 예를 살펴봅시다. 'x가 2이면, x는 짝수이다' 라는 명제에서 p명제와 q명제를 구분하면 아래와 같습니다. p: x가 2이다.q: x가 짝수이다. 충분과 필요라는 말은 각 명제가 참이기 위해 다른 명제가 어떤 역할을 하는가에서 나온 말입니다. p가 참이되기 위해 q는 반드시 참이어야 할까요? q가 거짓이면 p가 참일 수 있나요? 절대 없습니다. p가 참이되려면 q가 참이라는 조건이 반드시 필요합니다. 따라서 q는 p의 필요조건이 됩니다. q가 참이려면 p가 꼭 필요할까요? 그렇지 않습니다. x가 4,6,8 등 .. 2019. 4. 9. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (40) p이면 q이다 참일 떄 기호 p이면 q이다 참일 떄 기호 'p이면 q이다' 라는 명제를 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 이 명제가 참일 때는 아래와 같이 나타냅니다. 'p이면 q이다' 도 참이고, 'q이면 p이다'도 참이면 어떻게 나타낼까요? 이렇게 나타냅니다. 2019. 4. 3. 이전 1 2 다음 반응형
