[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (33) 유리함수의 그래프 - hard

[수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(33) 유리함수의 그래프- hard]

유리함수의 그래프 - hard

유리함수의 그래프는 수식 형태에 따라 크게 셋으로 나눌 수 있습니다. 이번 글은 어려운 난이도인 $y=\frac{ax+b}{cx+d} \ (ad-bc \neq 0,c \neq0)$입니다. 

 

hard 버전은 normal 버전의 형태로 변형하여 그래프를 그립니다. 과정에서 왜 괄호 안의 조건이 붙어야 하는지도 알아봅시다. 

 

먼저 아래와 같이 변형합니다. 

 

$y=\frac{\frac{a}{c}(cx)+b}{cx+d}$

 

아래와 같이 c를 더하고 뺴줍니다. 

 

$y=\frac{\frac{a}{c}(cx+d-d)+b}{cx+d}$

 

d를 괄호 밖으로 꺼내줍니다. 

 

$y=\frac{\frac{a}{c}(cx+d)-\frac{ad}{c}+b}{cx+d}$

 

둘로 분리해줍니다. 

 

$y=\frac{-\frac{ad}{c}+b}{cx+d}+\frac{a}{c}$

 

분자를 묶어줍니다. 

 

$y=\frac{-\frac{ad-bc}{c}}{cx+d}+\frac{a}{c}$

 

분모와 분자를 c로 나눠줍니다. 

 

$y=\frac{-\frac{ad-bc}{c^2}}{x+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}$

 

만약 $bc-ac$가 0이라면 상수함수가 됩니다. c가 0이면 1차식이 됩니다. 따라서 ad-bc \neq 0,c \neq0 라는 조건이 있어야 유리식이 됩니다. 

 

그래프를 그래면 아래와 같습니다.

 

 

위 그래프의 성질을 정리해봅시다. 

 

1. 점근선의 방정식은 $x=-\frac{d}{c}$와 $y=\frac{a}{c}$ 이다.

2. 점 $\left ( -\frac{d}{c},\frac{a}{c} \right )$에 대해 대칭이다. 

3. 정의역은  $-\frac{d}{c}$가 아닌 모든 실수이다. 

4. 치역은 $\frac{a}{c}$가 아닌 모든 실수이다.