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이차방정식15

[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 서로 다른 부호일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 두근의 부호가 다르다면 어떤 조건이 필요할까요? 두근의 합은 알 수 없습니다. 두근의 합은 양수일 수도 있고 음수일 수도 있기 때문입니다. 두근의 곱만 조건으로 사용할 수 있습니다. 두 근의 부호가 다를 경우 두 근의 곱은 음수입니다. $\alpha \beta 2021. 5. 15.

[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 모두 양수일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 이차방정식의 두 근이 모두 양수라면, 두근의 합과 곱이 둘 다 양수입니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. $\alpha + \beta >0$ $\alpha \beta >0$ 근과 계수와의 관계를 이용하면 위 부등식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $-\frac{b}{a}>0$ $\frac{c}{a}>0$ 이 두가지 조건으로 충분할까요? 아래 방정식을 봅시다. $2x^{2}-2x+1=0$ 두 근의 합과 곱은 모두 양수입니다. 따라서 위 두가지 조건을 만족합니다. 양수인 두 근을 갖는지 화인해봅시다. 근의 공식을 이용하여 근을 구하면 아래와 같습니다. $x=\.. 2021. 5. 4.

[5분 고등수학] 이차방정식의 근과 계수의 관계 아래와 같은 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 알아봅시다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 식에서 계수는 a,b,c 입니다. 이차방정식의 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 이때, 근과 계수의 관계는 알와 같습니다. $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ 첫번째 등식은 두 근의 합과 계수의 관계이고, 두번째 등식은 두 근의 곱과 계수의 관계입니다. 결과를 외우는 것보다 중요한 것은 원리를 아는 것입니다. 외우면 잠깐 문제는 풀릴 수 있지만 금방 잊어버립니다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 유도하는 방법은 두가지가 있습니다. 1) 근의 공식을 이용하여 유도 근의공식은 아래와 같습니다. $x=\frac{-b\pm \sqrt{.. 2021. 4. 30.

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (34) 사잇값 정리로 근의 존재여부 판별 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(34) 사잇값 정리로 근의 존재여부 판별] 사잇값 정리로 근의 존재 여부 판별 사잇값 정리를 이용하여 함수의 근의 존재여부를 판별할 수 있습니다. 어떤 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라고 합시다. 이때 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값 k에 대하여 f(c)는 k를 만족하는 c가 열린구간 (a,b)에 존재한다는 정리가 사잇값정리입니다. 한 가지 조건을 더 추가해보겠습니다. f(a)와 f(b)의 부호가 다르다는 조건입니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. 따라서 a와 b 사이의 값 중에는 0이 있습니다. 사잇값정리에 의해 f(c)=0을 만족하는 c가 존재한다는 말입니다. c는 '근'입니다. 정리해봅시다. f(x)가 닫힌구간 [a.. 2020. 2. 4.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (29) 이차함수와 이차방정식 이차함수와 이차방정식 이차함수와 이차방정식에 대해 공부해봅시다. 이차함수 에서 y가 0이라고 가정해봅시다. 그럼 이차함수는 아래와 같이 바뀝니다. 이차방정식이 됐죠? 이차방정식은 이차함수에서 y=0 인 특수한 경우라고 생각할 수 있습니다. 이제 위 내용을 좌표평면상에서 이해해봅시다. 간단한 내용이니 그래프를 그리지는 않을게요. 이차함수 인 곡선과 y=0인 직선의 그래프가 있다고 해봅시다. 두 그래프가 만난다면 만나는 점을 어떻게 구할까요? 연립하면 아래와 같은 식이 나오죠? 이차방정식은 이차함수 와 직선 y=0의 교점을 구하는 방정식으로 이해할 수도 있습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (21) 일차함수 일차함수 일차함수에 대해 공부해봅시다. 먼저 일차함수를 포함하고 있는 더 큰 개념인 ‘다항함수’에 대해서 알아봅시다. 고등교육과정에서는 정의역이 x 한 가지인 함수만 다루기 때문에 ‘x에 대한 다항함수’를 ‘다항함수’로 부르겠습니다. 다항함수의 정의는 아래와 같습니다. “치역의 원소가 x에 대한 다항식으로 정의되는 함수” 수식으로 표현하면 이해가 쉬울 것입니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 일차함수는 다항함수 중에서 차수가 1차인 함수입니다. 이번에는 그래프를 그려봅시다. 잠깐 함수와 그래프에 대한 이야기를 하고 넘어갑시다. 모든 함수를 그래프로 나타낼 수 있는 것은 아닙니다. 정의역이 x,z,w,p 네 종류이고 치역이 f(x.z,w,p) 라면 좌표 평면에(좌표 공간 일지라도) 그래프를 그릴 수 .. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (20) 이차방정식의 실근의 부호 이차방정식의 실근의 부호 1. 두 근이 모두 양수일 조건 이차방정식의 두 근이 모두 양수이기 위한 조건입니다. 어떤 조건을 찾는건지 먼저 알아야 해요. 계수의 조건을 찾는 것입니다. 예를 들면 이런 문제입니다. 에서 두 근이 모두 양수일 조건을 고르시오. 답은 k의 범위가 됩니다. 일단 두 근이 존재해야 합니다. 판별식 D가 0보다 커야 하죠. 그리고 두 근이 양수니까 두 근의 합이 양수, 두 근의 곱이 양수겠죠? 근과 계수의 관계를 이용해서 두근의 합과 곱이 양수라는 조건을 추가해주시면 됩니다. 이제 찾은 조건들을 이용해서 k의 범위를 구하면 답입니다. 아래 그림에 구하는 과정을 나타냈습니다. K의 범위는 -40인 조건이 필수적이다. 부호만 다르면 되기 때문에 두 근의 합은 음수가 될 수도 있고 0이 .. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (19) 켤레근의 성질 켤레근의 성질 켤레근의 성질에 대해 공부해봅시다. 먼저 아래의 근의공식을 봅시다. 근이 쌍을 이루고 있는 것을 알 수 있습니다. 이런 근이 켤레근입니다. 켤레근 자체를 이해하는 것은 매우 간단합니다. 중요한 내용은 따로 있는데 뒤에서 다루기로 하고, 일단 예를 하나 들어볼게요. 의 근을 구하면 아래와 같습니다. 둘의 관계는 켤레근입니다. 중요한 질문을 하나 해보겠습니다. 그렇다면, 만약 어떤 이차함수의 한 근이 일 때, 다른 한 근은 라고 할 수 있을까요? 정답은 ‘No’ 입니다. 반례가 있는데 그 반례를 말씀드리겠습니다. 의 두 근을 구하면 아래와 같습니다. 한 근이 인데 다른 한 근이 이 아니라 입니다. 왜 이런 일이 발생했을까요? 이유는’계수’입니다. 이차함수의 계수가 무리수이기 때문에 이런 일이 .. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (18) 근과 계수의 관계 활용 근과 계수의 관계 활용 1. 다항식 2. 방정식과 부등식01. 복소수02. 일차, 이차방정식(9) 일차방정식의 정의와 풀이(10) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값 1개)(11) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값 2개)(12) 이차방정식의 정의와 풀이(인수분해)(13) 이차방정식의 풀이(근의 공식)(14) 가우스기호를 포함한 이차방정식(15) 이차방정식의 판별식(16) 이차식의 완전제곱식(17) 근과 계수의 관계(18) 근과 계수의 관계 활용(19) 켤레근의 성질(20) 이차방정식의 실근의 부호03. 일차, 절댓값, 가우스함수04. 이차함수와 그 활용05. 고차방정식06. 연립방정식07. 여러가지 부등식3. 도형의 방정식 근과 계수의 관계의 활용에 대해 공부해봅시다. 두가지 주제를 다룰거에요. 하.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (17) 근과 계수의 관계 근과 계수의 관계 근과 계수의 관계에 대해 공부해봅시다. 아래와 같은 이차방정식의 일반형에서 출발합니다. 이차방정식의 두 근이 α, β 일 때, 이 두 근과 계수 a,b,c 사이에 어떤 관계가 있는지 공부할 것입니다. 근의 공식으로 근을 구하면 아래와 같습니다. 간단합니다. 둘을 더해볼게요. 두근의 합이 계수 a 와 b로 표현되었습니다. 이번에는 두 근을 곱해봅시다. 두 근의 곱이 계수 a와 c로 표현되었습니다. 마지막으로 두 근의 차를 구해봅시다. 근과 계수와의 관계 중 두 근의 합과 곱은 실근, 허근 상관없이 성립합니다. 하지만 두 근의 차는 실근에서만 성립하는 성질입니다. 왜냐하면 ‘절댓값’이 들어가기 때문입니다. 허수는 부호가 없죠. 따라서 절댓값을 정의할 수가 없습니다. 두 근의 차에 대한 공식.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (16) 이차식의 완전제곱식 이차식의 완전제곱식 이차식이 완전제곱식이 되기 위해 어떤 조건이 필요한지 공부해봅시다. 이차식의 일반형을 완전제곱식으로 만드는 과정을 아래 그림에 나타내었습니다. 0이 되어야 하는 식에서 분자에 있는 식이 0이 되면 됩니다. 따라서 가 0이면 됩니다. 판별식이죠? 정리해봅시다. 가 완전제곱식이 되기 위한 조건은 D=0 입니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (15) 이차방정식의 판별식 이차방정식의 판별식 이차방정식의 판별식에 대해 공부해봅시다. 이차방정식의 근을 구하지 않은 상태에서 근의 개수를 알아내는 방법입니다. 근의 개수를 ‘판별’해 준다는 의미로 ‘판별식’이라고 부릅니다. 판별식은 근의 공식 속에 숨어있습니다. 아래 근의 공식을 보시죠. 기본적으로 이차방정식은 두개의 근을 갖습니다. 그런데 만약 루트 안에 있는 식 가 0 이 된다면 어떨까요. 두 근이 같아지게 되죠? 따라서 이차방정식은 하나의 근을 갖게 됩니다. 이 근을 ‘중근’이라고 부릅니다. 근이 중복되었다는 뜻입니다. 이번에는 가 0보다 작게 되면 어떨까요. 루트 안이 음수니까 허수가 됩니다. 이차방정식은 두개의 허근을 갖게 되죠. 이렇게 의 부호만 알면 이차방정식의 근의 개수를 알 수 있습니다. 이 식이 바로 판별식입니.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (14) 가우스기호를 포함한 이차방정식 가우스기호를 포함한 이차방정식 이번 모듈에서는 가우스 기호를 포함한 이차방정식에 대해 공부해봅시다. 먼저 가우스 x 의 정의를 알아봅시다. “실수 x에 대하여 x보다 크지 않은 최대의 정수” 예를 들어 가우스 1.3 은 1.3보다 크지 않은 최대의 정수인 것입니다. 얼마인가요? 1입니다. 가우스 x는 기호로 [x]로 나타냅니다. 몇가지 예를 들어봅시다. [-2.3]=-3[3.5]=3[5]=5 이번에는 반대로 [x]가 특정 값을 가질 때의 x에 대해 생각해봅시다. [x]가 3이라면 x는 어떤 수가 들어갈 수 있을까요. 3, 3.1, 3.3, 3.5, 3.8 등이 가능할 것입니다. [4]=4 가 되니까 4보다는 작아야겠죠. 따라서 [x]=3 이면 3≤x 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (13) 이차방정식의 풀이(근의공식) 이차방정식의 풀이(근의공식) 이차방정식의 근을 구할 때, 인수분해가 되면 근을 쉽게 구할 수 있습니다. 하지만 인수분해가 되지 않는 경우가 더 많은데요. 이 때 근을 구하는 방법이 근의공식을 이용하는 것입니다. 단순히 결과만 외워서 사용하지 마시고 아래 유도과정을 꼭 따라해보세요. 유도된 공식을 보면 이차방정식의 계수를 이용해서 해를 구할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 이번에는 ‘절반공식’이라고 불리는 변형된 근의공식을 유도해봅시다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (12) 이차방정식의 정의와 풀이(인수분해) 이차방정식의 정의와 풀이(인수분해) 이차방정식의 정의는 아래와 같습니다. “차수가 2차인 방정식” 아래와 같은 방정식들이 이차방정식이겠죠? 하지만 일반적으로 우리가 ‘이차방정식’이라고 부를 때는 ‘x 에 대한 이차방정식’을 의미합니다. 미지수가 x 하나인 이차방정식이죠. 아래와 같은 형태입니다. 이 등식을 만족시키는 x 값이 바로 이차방정식의 근(또는 해)입니다. 어떻게 찾을까요? 두가지 방법이 있습니다. 인수분해가 된다면 인수분해를 통해 해를 구할 수 있어요. 예를 하나 들어봅시다. 인수분해 하실 수 있죠? 해봅시다. 인수분해만 되면 등식을 만족하는 해는 쉽게 구할 수 있습니다. -6 과 1 입니다. 인수분해가 되지 않는 경우에는 ‘근의 공식’을 사용합니다. 근의 공식에 대해서는 다음 시간에 공부하겠습.. 2018. 10. 8.

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