[5분 고등수학] 이차방정식의 근과 계수의 관계

 

 

아래와 같은 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 알아봅시다. 

 

$ax^{2}+bx+c=0$

 

위 식에서 계수는 a,b,c 입니다. 이차방정식의 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 이때, 근과 계수의 관계는 알와 같습니다. 

 

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$

 

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

첫번째 등식은 두 근의 합과 계수의 관계이고, 두번째 등식은 두 근의 곱과 계수의 관계입니다. 결과를 외우는 것보다 중요한 것은 원리를 아는 것입니다. 외우면 잠깐 문제는 풀릴 수 있지만 금방 잊어버립니다. 

 

이차방정식의 근과 계수의 관계를 유도하는 방법은 두가지가 있습니다. 

 

1) 근의 공식을 이용하여 유도

근의공식은 아래와 같습니다.

 

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

 

두 근을 따로 써보면 아래와 같습니다. 

 

$x=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

 

두 근의 합은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$\alpha+\beta=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+
\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

 

두 근의 곱은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$\alpha \beta=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\times 
\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=
\frac{b^{2}-\left ( b^2-4ac \right )}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$

 

 

2) 두 근을 알 때, 이차방정식을 만드는 방법으로 유도

아래와 같은 이차방정식이 있습니다. 

 

$ax^{2}+bx+c=0$

 

위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$ 와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 두 근을 이용하여 이차방정식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$a(x-\alpha)(x-\beta)=0$

 

전개해봅시다.

 

$ax^{2}-a(\alpha+\beta)x+a\alpha \beta$

 

이차방정식의 기본형 식과 계수를 비교해봅시다. 먼저 x의 계수를 비교하면 아래와 같습니다. 

 

$-a(\alpha + \beta)=b$

 

변형하면 아래와 같습니다. 

 

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

 

두 근의 합 공식이 유도되었습니다. 

 

이번에는 상수항을 비교해봅시다.

 

$a\alpha \beta = c$

아래와 같이 변형합시다.

 

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

 

두 근의 곱 공식이 유도되었습니다.