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고등수학 5분증명(2009개정)/수학1

[5분 고등수학] 이차방정식의 근과 계수의 관계

by bigpicture 2021. 4. 30.
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아래와 같은 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 알아봅시다. 

 

ax2+bx+c=0

 

위 식에서 계수는 a,b,c 입니다. 이차방정식의 근을 αβ 라고 놓겠습니다. 이때, 근과 계수의 관계는 알와 같습니다. 

 

α+β=ba

 

αβ=ca

첫번째 등식은 두 근의 합과 계수의 관계이고, 두번째 등식은 두 근의 곱과 계수의 관계입니다. 결과를 외우는 것보다 중요한 것은 원리를 아는 것입니다. 외우면 잠깐 문제는 풀릴 수 있지만 금방 잊어버립니다. 

 

이차방정식의 근과 계수의 관계를 유도하는 방법은 두가지가 있습니다. 

 

1) 근의 공식을 이용하여 유도

근의공식은 아래와 같습니다.

 

x=b±b24ac2a

 

두 근을 따로 써보면 아래와 같습니다. 

 

x=b+b24ac2a

x=bb24ac2a

 

두 근의 합은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

α+β=b+b24ac2a+bb24ac2a=2b2a=ba

 

두 근의 곱은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

αβ=b+b24ac2a×bb24ac2a=b2(b24ac)4a2=ca

 

 

2) 두 근을 알 때, 이차방정식을 만드는 방법으로 유도

아래와 같은 이차방정식이 있습니다. 

 

ax2+bx+c=0

 

위 이차방정식의 두 근을 αβ 라고 놓겠습니다. 두 근을 이용하여 이차방정식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

a(xα)(xβ)=0

 

전개해봅시다.

 

ax2a(α+β)x+aαβ

 

이차방정식의 기본형 식과 계수를 비교해봅시다. 먼저 x의 계수를 비교하면 아래와 같습니다. 

 

a(α+β)=b

 

변형하면 아래와 같습니다. 

 

α+β=ba

 

두 근의 합 공식이 유도되었습니다. 

 

이번에는 상수항을 비교해봅시다.

 

aαβ=c

아래와 같이 변형합시다.

 

αβ=ca

 

두 근의 곱 공식이 유도되었습니다. 

 

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