[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (21) 역함수 구하는 방법

[수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(21) 역함수 구하는 방법]

 

역함수 구하는 방법

$y=f(x)$ 의 역함수를 구하는 방법을 알아봅시다. 한가지 예시를 통해 역함수를 구해보고 일반화시켜봅시다.

 

$y=3x+2$ 의 역함수를 구해봅시다. 먼저 "일대일 대응"인지확인해야합니다. 일대일대응 함수여야 역함수가 존재하기 때문입니다. 일단 일대일함수입니다. $x$값 하나당 $y$이 하나만 존재합니다. 또한 정의역, 공역, 치역 모두 실수 전체의 집합입니다. 일대일 함수에 공역과 치역이 같으므로 일대일 대응입니다. 

 

어떤 함수의 역함수는 치역과 정의역이 뒤바뀐 것입니다. 따라서 $y=3x+2$ 함수에서 $x$와 $y$의 자리를 바꿔줍니다. 

 

$$x=3y+2$$

 

이제 $y=f^{-1}(x)$ 형태로 정리합니다. 아래 함수가 $y=3x+2$의 역함수입니다. 

 

$$y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$$

역함수를 구하는 방법을 일반화시켜봅시다.

 

1) $y=f(x)$가 일대일대응인지 확인

2) $x$ 와 $y$의 자리를 바꿈. $x=f(y)$

3) $y=f^{-1}(x)$ 형태로 정리