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수학2/2. 미분21

[모듈식 수학2] 2.미분 (21) 미분계수를 이용한 접선의 방정식 (2) 기울기를 알 때 [수학2]-[2.미분]-[②미분]-[(21) 미분계수를 이용한 접선의 방정식] 미분계수를 이용한 접선의 방정식 (2) 기울기를 알 때 미분 가능한 함수 f(x)가 있다고 합시다. 이 함수에 접하는 접선이 있습니다. 우리는 기울기만 알고 있는 상황입니다. 기울기는 m이라고 합니다. 이 접선의 '직선의 방정식'을 구해봅시다. 먼저 이 접선이 함수 f(x)와 만나는 점을 (a,f(a))라고 놓겠습니다. 이 점에서의 미분계수는 f'(a)인데 m과 같습니다. f'(a)=m 위 등식을 이용하면 a를 구할 수 있습니다. a가 구해지면 직선의 방정식을 아래와 같이 구할 수 있습니다. 2020. 3. 19.

[모듈식 수학2] 2.미분 (20) 미분계수를 이용한 접선의 방정식 (1) 접점의 좌표를 알 때 [수학2]-[2.미분]-[②미분]-[(20) 미분계수를 이용한 접선의 방정식] 미분계수를 이용한 접선의 방정식 (1) 접점의 좌표를 알 때 x=a에서 미분가능한 함수 f(x)가 있다고 합시다. x=a에서의 미분계수 f'(a)는 순간변화율입니다. 기하적으로는 접선의 기울기입니다. 이 성질을 이용하면 f(x)위의 한 점 (a,f(a))에서의 접선의 방정식을 쉽게 구할 수 있습니다. f(x)가 쉽게 미분이 된다면 말이죠. (a,f(a))에서의 접선의 기울기가 f'(a)이므로 직선의 방정식은 아래와 같이 구할 수 있습니다. 2020. 3. 17.

[모듈식 수학2] 2.미분 (19) 미분을 이용한 나머지정리 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(19) 미분을 이용한 나머지 정리] 미분을 이용한 나머지 정리 나머지정리가 무엇이었는지 먼저 복습해봅시다. 나머지정리는 수학 (상)에 나오는 내용입니다. 나머지정리를 풀어서 설명하면 '다항식의 나눗셈을 할 때, 나머지를 쉽게 구하는 방법' 입니다. 다항식 f(x)를 (x-a) 로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R 라고 한다면 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 미분을 나머지정리에 어떻게 이용할 수 있을지 공부해봅시다. 이차 이상의 다항식 f(x)가 있다고 합시다. 이 이차다항식을 (x-a)² 으로 나눴습니다. 나머지정리를 적용하여 나타내면 아래와 같습니다. 위 식의 양 변을 미분해봅시다. 1과 2에 각각 a를 대입하면 아래 두 식을 얻습니다. 위 두 식을 연립하여.. 2020. 3. 11.

[모듈식 수학2] 2.미분 (18) 함수의 n제곱의 미분, {f(x)^n}' [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(18) 함수의 n제곱의 미분, {f(x)^n}'] 함수의 n제곱의 미분, {f(x)^n}' 미분가능한 함수 f(x)가 있습니다. 이 함수를 n제곱하면 아래와 같습니다. 이 함수를 미분해봅시다. 미분계수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 11강에서 사용한 인수분해를 적용합시다. (https://hsm-edu-math.tistory.com/340) 아래와 같이 두 부분으로 구분해봅시다. 함수 f(x)가 미분가능하므로 빨간 부분은 f'(x)입니다. 파란부분의 항들은 각각 f(x)^n-1로 수렴합니다. 총 수는 n개입니다. 따라서 극한값은 아래와 같습니다. 2020. 3. 10.

[모듈식 수학2] 2.미분 (17) 세 함수의 곱의 미분 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(17) 세 함수의 곱의 미분] 세함수의 곱의 미분 두 함수의 곱의 미분은 지난시간에 배웠습니다. 두 함수의 미분 방법은 아래와 같습니다. 오늘은 세 함수를 미분해봅시다. 미분가능한 함수 f(x), g(x), h(x)가 있습니다. 세 함수를 곱해봅시다. f(x)g(x)h(x) 위 함수를 미분해봅시다. 먼저 f(x)를 하나의 함수 g(x)h(x)를 다른 하나의 함수로 생각하는 겁니다. 두 함수의 곱의 미분을 적용할 수 있고 결과는 아래와 같습니다. 파란색 항을 미분합시다. 전개합시다. 2020. 3. 9.

[모듈식 수학2] 2.미분 (16) 함수의 곱의 미분 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(16) 함수의 곱의 미분] 함수의 곱의 미분 미분가능한 두 함수 f(x)와 g(x)가 있습니다. 두 함수의 곱은 아래와 같습니다. 위 함수를 미분해봅시다. 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 분자에 f(x)g(x+h) 를 빼고 더해줍니다. 아래와 같이 묶어줍니다. 식을 둘로 나눠줍니다. 극한을 둘로 나눠줍니다. 두 항 모두 수렴하므로 나눌 수 있습니다. 빨간 부분의 극한값은 f(x)의 도함이고, 파란부분의 극한값은 g(x)의 도함수입니다. 따라서 극한값을 계산하면 아래와 같습니다. 2020. 3. 6.

[모듈식 수학2] 2.미분 (15) 함수의 차의 미분 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(15) 함수의 차의 미분] 함수의 차의 미분 미분가능한 두 함수 f(x)와 g(x)가 있습니다. 두 함수의 차는 아래와 같습니다. 위 함수를 미분해봅시다. 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 아래와 같이 변형합시다. 두 함수 모두 미분가능하므로, 아래와 같이 둘로 나눌 수 있습니다. 극한값은 각 함수의 도함수입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 2020. 3. 5.

[모듈식 수학2] 2.미분 (14) 함수의 합의 미분 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(14) 함수의 합의 미분] 함수의 합의 미분 미분가능한 두 함수 f(x)와 g(x)가 있습니다. 두 함수의 합은 아래와 같습니다. 두 함수를 합한 함수를 미분해봅시다. 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 아래와 같이 변형합시다. 두 함수 모두 미분가능하므로, 아래와 같이 둘로 나눌 수 있습니다. 극한값은 각 함수의 도함수입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 2020. 3. 4.

[모듈식 수학2] 2.미분 (13) 함수의 실수배의 미분 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(13) 함수의 실수배의 미분] 함수의 실수배의 미분 미분가능한 함수 f(x)가 있습니다. 이 함수에 실수 c를 곱하면 아래와 같습니다. 이 함수를 미분해봅시다. 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 분자를 c로 묶을 수 있습니다. c는 상수이므로 극한기호 밖으로 꺼낼 수 있습니다. 극한 부분은 f(x)의 미분입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 2020. 2. 28.

[모듈식 수학2] 2.미분 (12) y=c의 도함수 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(12) y=c 의 도함수] y=c 의 도함수 도함수의 정의를 에 적용해봅시다. 도함수의 정의는 아래와 같습니다. f(x+△) 는 c입니다. f(x)도 c입니다. 위 식에 대입합시다. 따라서 y'은 아래와 같습니다. 2020. 2. 27.

[모듈식 수학2] 2.미분 (11) y=axⁿ의 도함수 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(11) y=axⁿ의 도함수] y=axⁿ 의 도함수 도함수의 정의를 에 적용해봅시다. 분자를 인수분해해야합니다. 먼저 아래 식을 인수분해해봅시다. a를 해로 갖는다는건 쉽게 알 수 있다. 따라서 (x-a)를 인수로 가집니다. 괄호 안에는 무엇이 들어가야 할까요. 이 만들어져야 하므로, 가장 첫 자리에는 아래와 같이 이 들어가야 합니다. 그 다음자리에는 뭐가 들어가야할까요. 우리가 쓴 부분까지만 전개해보면 가 만들어져야 합니다. 따라서 아래 항이 추가되어야 합니다. 이와 같은 원리로 항을 추가해 나가면 아래와 같이 인수분해할 수 있습니다. 이 원리를 맨 위의 미분계수 식에 적용해봅시다. 빨간 부분을 계산합시다. 약분하면 아래와 같습니다. 극한값은 아래와 같습니다. 몇개가.. 2020. 2. 26.

[모듈식 수학2] 2.미분 (10) y=ax²의 도함수 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(10) y=ax²의 도함수] y=ax² 의 도함수 도함수의 정의를 에 적용해봅시다. 분자를 전개합니다. 분자를 계산합니다. △x로 약분합니다. 극한값을 구하면 아래와 같습니다. 정리해봅시다. 의 도함수는 이다. 2020. 2. 26.

[모듈식 수학2] 2.미분 (9) y=ax의 도함수 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(10) y=ax의 도함수] y=ax 의 도함수 도함수의 정의를 에 적용해봅시다. 분자를 계산합니다. 약분합시다. 정리해봅시다. 의 도함수는 이다. 2020. 2. 26.

[모듈식 수학2] 2.미분 (8) 도함수가 뭔가요? [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(8) 도함수가 뭔가요?] 도함수가 뭔가요? 도함수가 뭔지는 앞에서 간단히 설명했습니다. 오늘은 도함수의 표현방법과 함께 자세히 알아봅시다. 미분을 이해하기 위한 공부는 '평균 변화율'로 부터 시작했습니다. (a,f(a))와 (b,f(b))사이의 평균변화율을 정의하고 b를 a로 보내면 a의 순간변화율을 구할 수 있었습니다. a에서의 순간변화율을 변수 x에서의 순간변화율로 일반화시켜봅시다. x에서의 순간변화율은 아래와 같이 정의할 수 있습니다. 위 순간변화율은 함수입니다. x에 따라 값이 변하는 함수이고, x에 어떤 값을 넣으면 x에서의 순간변화율을 구해주는 함수입니다. 이 함수를 '도함수'라고 부르기로 한겁니다. 도함수의 '도'는 한자 導입니다. 이끌다 (도) 입니다... 2020. 2. 22.

[모듈식 수학2] 2.미분 (7) 극한의 존재, 연속, 미분가능성의 관계 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(7) 극한의 존재, 연속, 미분가능성의 관계] 극한의 존재, 연속, 미분가능성의 관계 우리는 아래 세가지 내용을 배운 상태입니다. - 극한의 존재- 연속- 미분가능 세 조건의 관계를 알아봅시다. 극한의 존재와 연속의 관계는 이미 배웠습니다. 복습할겸 아래 두 명제의 참/거짓 여부를 판별해봅시다. 1) 어떤 함수 f(x)가 있을 때, x=a에서 연속이면 극한이 존재한다. 2) 어떤 함수 f(x)가 있을 때, x=a에서 극한이 존재하면 연속이다. 1번이 참입니다. 연속은 극한값과 함수값이 같아야 합니다. 극한이 존재해야 연속일 수 있습니다. 반대로 극한이 존재한다고 연속이지는 않습니다. 반례가 존재합니다. 아래와 같은 반례입니다. 극한값은 존재하지만 연속이지는 않습니다... 2020. 2. 20.

[모듈식 수학2] 2.미분 (6) 미분이 불가능한 경우 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(6) 미분이 불가능한 경우] 미분이 불가능한 경우 어떤 함수 f(x)가 있을 때, x=a 에서 미분이 불가능한 경우를 알아봅시다. 1) x=a에서 우미분계수와 좌미분계수가 다른 경우(첨점) 아래와 같은 함수가 x=a에서 우미분계수와 좌미분계수가 다른 경우입니다. 이렇게 좌우 미분계수가 달라지는 점을 '첨점' 또는 '뽀족점'이라고 합니다. 2) x=a에서 연속이 아닌 경우 아래 함수를 봅시다. 아래는 미분계수의 정의입니다. 위 함수에 미분계수의 정의를 적용해보면, 분모는 0으로 수렴하는 반면 분자는 0으로 수렴하지 않습니다. 따라서 수학적으로 불능상태가 됩니다. 정의 자체가 되지 않는다는 것입니다. 아래 조건이 만족해야 미분계수가 정의되고 이는 '연속'을 의미합니다. .. 2020. 2. 19.

[모듈식 수학2] 2.미분 (5) 미분가능의 조건이 뭔가요? [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(5) 미분가능의 조건이 뭔가요?] 미분가능의 조건이 뭔가요? 오늘은 미분이 가능려면 어떤 조건들이 필요한지 알아봅시다. 미분 가능 조건을 배우는 이유는 미분이 불가능한 상황이 있기 때문입니다. 우리는 앞에서 '극한이 존재할 조건'과 '연속일 조건'을 배웠습니다. 이 두 개념과 미분가능조건은 연관되어 있고 그 관계를 이후 강의에서 배울 것입니다. 어떤 함수 f(x)가 있다고 합시다. x=a에서의 순간변화율(미분계수)는 아래와 같이 정의됩니다. 앞에서 배운 내용입니다. 위 식에서 △x 가 0보다 큰 값에서 0에 가까워져 갈 수도 있고, 0보다 작은 값에서 0에 가까워져갈 수도 있습니다. 두 경우에서 구해진 미분계수 값이 같은 경우, x=a에서 미분이 가능하다고 합니다. .. 2020. 2. 16.

[모듈식 수학2] 2.미분 (4) 미분계수에 왜 '계수'라는 말이 붙어있나 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(4) 미분계수에 왜 계수라는 말이 붙어있나] 미분계수에 왜 계수라는 말이 붙어있나 미분(微分)은 한자로 작을 (미), 나눌 (분) 입니다. 무언가를 작게 나눈다는 의미입니다. 우리는 함수에서 미분계수를 구하고 있으므로, 우리가 다루는 미분은 '함수의 미분'입니다. 함수의 미분은 함수를 작게 나누는 것입니다. 이런 질문이 이어져야 합니다. 함수를 작게 나눈다는게 뭔소리야? 우리는 함수의 미분의 의미를 배우지 않은 상태입니다. 함수를 미분한다는 개념도 모르는 상태로 '미분계수'를 배우려니 의미가 와닿지 않을 수 밖에 없습니다. 그런데 함수를 미분한다는 것은 함수의 미분계수를 일반화한 도함수를 구하는 것과 같습니다. 우리는 '미분'도 '미분계수'도 이해하지 못했는데 서로가.. 2020. 2. 13.

[모듈식 수학2] 2.미분 (3) 미분계수의 기하적 의미 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(3) 미분계수의 기하적 의미] 미분계수의 기하적 의미 어떤 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수는 f'(a)로 나타내고 아래와 같이 정의됐었습니다 두 점 (a, f(a))와 (a+△x, f(a+△x)) 를 좌표평면에 나타내봅시다. 두 점 사이의 기울기는 아래와 같습니다. 미분계수식과 비교해보면, 미분계수는 위 기울기에서 △x를 0으로 보낸 것입니다. 위 그림처럼 △x가 0으로 갈때, 두 점을 연결하는 선은 a에서의 접선에 가까워져 갑니다. 따라서 미분계수는 a에서의 접선의 기울기라는 것을 알 수 있습니다. 2020. 2. 12.

[모듈식 수학2] 2.미분 (2) 미분계수 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(2) 미분계수] 미분계수 어떤 함수 f(x)가 있다고 합시다. x=a에서의 미분계수는 f'(a)로 나타내고 아래와 같이 정의됩니다. 극한 기호 안의 식을 보면 비율이 들어있습니다. 분모는 a부터 (a+△x)까지의 변화량이고, 분자는 f(a)부터 f(a+△x)의 변화량입니다. x의 a부터 (a+△x)까지 변화량에 대한 함수 f(x)의 변화량의 비율입니다. 이 비율에서 △x를 0으로 보낸 값이 x=a에서의 미분계수입니다. 다른 모양으로 표현할 수도 있습니다. 의미는 동일합니다. △x 대신 h로 바꾼 것입니다. 아래와 같은 형태로도 표현할 수 있습니다. 미분계수에는 기하적인 의미가 있고, 물리적인 의미도 있는데 다음 시간에 다뤄보도록 하겠습니다. 2020. 2. 11.

[모듈식 수학2] 2.미분 (1) 평균변화율 [수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(1) 평균변화율] 평균변화율 아래와 같은 함수가 있습니다. x값이 a에서 b로 변할 때, 함수 값은 f(a)에서 f(b)로 변합니다. x가 a에서 b까지 변할 때 그 변화율은 아래와 같이 정의됩니다. 변화율이라는 것은 변화의 비율입니다. 위 경우는 y변화량을 x변화량으로 나눈 것입니다. y변화량과 x변화량은 그리스어 델타를 이용하여 나타냅니다. 델타는 대문자 Δ 와 소문자 δ 가 있는데, 대문자를 사용하겠습니다. 델타를 사용하는 이유는 Difference(차이)라는 영어의 첫글자와 D와 같은 그리스어이기 때문입니다. 변화량을 그림에 표시하면 아래와 같습니다. 델타를 이용하여 변활율을 나타내면 아래와 같습니다. 이 변화율은 평균변화율이라고 부릅니다. 그냥 '변화율'이라.. 2020. 2. 6.

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