반응형 원의 방정식11 [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (25) 원의 접선의 방정식 (원 밖의 한 점에서 그은 직선) 원의 접선의 방정식 (원 밖의 한 점에서 그은 직선) 원 밖에 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 앞에서 배운 두 가지 상황(원위의 한점 또는 기울기) 중 하나를 가정해야 합니다. 1. 원 위의 한 점을 가정 원과 접하는 점을 (a,b)라고 놓겠습니다. 이때 접선의 방정식은 아래와 같이 구합니다. ......(1) 점가 이 직선을 지나므로 아래 등식이 성립합니다. ......(2) 점(a,b)는 원 위의 점이므로 아래 등식이 성립합니다. ......(3) 2,3번 식을 연립하면 a와 b를 구할 수 있습니다. 1번 식에 대입하면 접선의 방정식이 구해집니다. 2. 기울기를 가정 1) 공식 이용 원 에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 아래와 같습니다. ......(1) 점 가 이 직선을 지나므로.. 2018. 10. 14. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (24) 원의 접선의 방정식 (직선의 기울기를 알 때) 원의 접선의 방정식 (직선의 기울기를 알 때) 기울기를 알 때 원의 접선의 방정식을 구해 봅시다. 접선의 기울기가 m이라고 하겠습니다. 가장 간단한 원부터 구해봅시다. 1. 에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식 m을 알고 있는 상황이니까. n을 구하면 됩니다. 방법은 두 가지가 있습니다. 1) 판별식 이용 원의 방정식 과 접선을 연립했을 때, 한 점에서 만나기 때문에 중근이 발생합니다. 따라서 판별식의 값이 0이 되어야 합니다. 위 두식을 연립합시다. 전개하고 내림차순으로 정리합니다. 판별식을 구합시다. 절반공식을 사용하겠습니다. n에 대해서 정리합시다. 결과를 접선의 방정식 n의 자리에 대입하면 아래와 같이 구해집니다. 2) 점과 직선사이의 거리 이용 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름 r과 같다.. 2018. 10. 13. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (23) 원의 접선의 방정식 (원 위의 점을 알 때) 원의 접선의 방정식 (원 위의 점을 알 때) 원 위의 한 점을 알 때, 그 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 가장 간단한 형태의 원 부터 시작해 볼게요. 1. 위의 점 에서의 접선의 방정식 위 그림을 봅시다. 빨간색으로 표시된 접선의 기울기만 알면 접선의 방정식을 구할 수 있습니다. 기울기는 생각보다 쉽게 구해할 수 있습니다. 직선 OP를 봅시다. 직선 OP의 기울기는 아래와 같습니다. 그런데 직선 OP와 접선은 서로 수직관계입니다. 따라서 접선의 기울기는 아래와 같습니다. 접선의 기울기와 한점을 이용하여 접선의 방정식을 세우면 아래와 같습니다. 위 식을 이용해서 접선의 방정색을 구해도 되지만 더 멋진 방법이 있어서 한번 더 변형해보도록 하겠습니다. 위 식의 양변에 을 곱해봅시다. 아래와 같이 이.. 2018. 10. 12. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (22) 원과 직선의 위치관계 (원의 중심과 직선 사이 거리 이용) 원과 직선의 위치관계 (원의 중심과 직선 사이 거리 이용) 원과 직선이 가질 수 있는 관계는 세가지가 있습니다. - 서로 다른 두 점에서 만난다.- 한 점에서 만난다. (접한다.)- 만나지 않는다. 이 관계를 판별하는 방법 중 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용하는 방법을 알아보겠습니다. 1. 서로 다른 두 점에서 만난다. 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만난다면 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 보다 작아야 합니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. 2. 한 점에서 만난다. 원과 직선이 한 점에서 만난다면 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이와 같아야 합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 3. 만나지 않는다. 원과 직선이 만나지 않는다면 원의 중심과 직선 사이의 .. 2018. 10. 9. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (21) 원과 직선의 위치관계 (판별식 이용) 원과 직선의 위치관계 (판별식 이용) 원과 직선이 가질 수 있는 관계는 세가지가 있습니다. - 서로 다른 두 점에서 만난다.- 한 점에서 만난다. (접한다.)- 만나지 않는다. 이 관계를 판별하는 방법 중 판별식을 이용하는 방법을 알아보겠습니다. 1. 서로 다른 두 점에서 만난다. 원의 방정식과 직선의 방정식을 하나씩 정의해봅시다. 두 식을 연립하면 아래 식을 얻습니다. x에 대한 이차방정식입니다. 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만난다면, 원과 직선의 연립방정식의 해는 두개가 나옵니다. 따라서 원과 직선을 연립한 방정식의 판별식 D가 0보다 커야합니다. 조건 : D > 0 (서로 다른 두 실근) 2. 한 점에서 만난다. 원의 방정식과 직선의 방정식을 하나씩 정의해봅시다. 두 식을 연립하면 아래 식을 .. 2018. 10. 9. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (20) 공통외접선, 내접선의 길이 공통외접선, 내접선의 길이 두 원에 그을수 있는 공통접선은 두 가지가 있습니다. 공통내접선과 공통외접선입니다. 1. 공통외접선의 길이 두 원의 공통외접선은 아래 그림의 선분 AB 입니다. 아래 그림의 삼각형 CC'H에 피타고라스 정리를 적용하면 공통외접선의 길이를 구할 수 있습니다. 아래와 같이 구할 수 있습니다. 2. 공통내접선의 길이 두 원의 공통내접선은 아래 그림의 선분 AB 입니다. 아래 그림의 삼각형 CC'H에 피타고라스 정리를 적용하면 공통내접선의 길이를 구할 수 있습니다. 아래와 같이 구할 수 있습니다. $\overline{AB}^2=d^2-(r+r')^2$ $\overline{AB}=\sqrt{d^2-(r+r')^2}$ 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 9. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (19) 두 원의 위치관계 두 원의 위치관계 두 원이 가질 수 있는 위치는 다섯가지가 있습니다. 1. 만나지 않고, 공통 부분이 없음 (한 원이 다른 원의 외부에 있음) r,r',d 의 관계를 따져봅시다. r과 r'을 더한 값보다 d의 크기가 큽니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. 2. 한 점에서 만나고, 공통 부분이 없음 (두 원이 외접함) r,r',d 의 관계를 따져봅시다. r과 r'을 더한 값과 d의 크기가 같습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 3. 두 점에서 만남 r,r',d 의 관계를 따져봅시다. r과 r'을 더한 값이 d의 크기보다 큽니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. 그런데 이 조건만으로는 충분하지 않습니다. d가 계속 작아지다 보면 작은 원이 큰 원 안에 포함되는 지점이 있습니다. 그 지점은 r-r'과.. 2018. 10. 9. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (17) 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 항등식을 이용하면 쉽게 나타낼 수 있습니다. 먼저 두 원의 방정식을 '일반형'으로 정의합시다. 원1과 원2이라고 이름 붙이겠습니다. 위 두 원의 방정식으로 항등식을 만들어 보겠습니다. k의 값에 상관 없이 항상 성립하는 방정식입니다. k의 값에 상관없이 성립해야 하기 때문에 빨간식과 파란식이 각각 0이 되어야 합니다. 이 항등식을 만족하는 x,y 값은 두 원 모두를 지나야 하는 것입니다. 두 원 모두를 동시에 지나는 점은 뭐죠? 두 원의 교점입니다. 따라서 위 항등식을 다른 말로 표현하면 '두 원의 교점을 지나는 방정식' 입니다. 만약 k가 -1이 아니라는 조건을 추가한다면, 위 항등식은 반드시 원의 방정식이 됩니다. k 가 -1일.. 2018. 10. 9. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (16) 축에 접하는 원의 방정식 축에 접하는 원의 방정식 원의 방정식이 축에 접하는 경우는 세 가지가 있습니다. 1. x축에 접하는 원의 방정식 원의 중심의 좌표를 C(a,b)라고 하겠습니다. 아래 그림처럼 x축에 접하기 때문에 반지름의 길이와 중심의 y 좌표가 같습니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같습니다. 2. y축에 접하는 원의 방정식 원의 중심의 좌표를 C(a,b)라고 하겠습니다. 아래 그림처럼 y축에 접하기 때문에 반지름의 길이와 중심의 x 좌표가 같습니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같습니다. 3. x축과 y축에 동시에 접하는 원의 방정식 아래 그림처럼 x축과 y축에 접하기 때문에 중심의 좌표를 (a,a)라고 놓을 수 있습니다. 또한 반지름의 길이도 a와 같습니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같습니다. 전체 모듈 한눈에.. 2018. 10. 9. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (15) 지름의 양 끝 두 점을 알 때 원의 방정식 지름의 양 끝 두 점을 알 때 원의 방정식 특정 조건이 주어진 상황에서 원의 방정식을 만드는 방법에 대해 알아봅시다. 1. 지름의 양 끝 위치의 두 점을 알 때 (원리 이용) 두 점을 알고 있는 상황을 가정하겠습니다. 두 점은 A(x1,y1) 와 B(x2,y2) 입니다. 두 점을 알고 있다면 두 점의 중점을 구할 수 있습니다. 두 점의 중점 M(a,b)은 아래와 같이 구합니다. 반지름의 길이는 두 점 A와 B 사이의 거리를 구하고 반으로 나누면 됩니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같이 정의됩니다. 2. 지름의 양 끝 위치의 두 점을 알 때 (공식 유도) 이번에는 공식을 유도해 봅시다. 반드시 외워야 하는 공식은 아닙니다. 다만 공식 유도 과정이 사고력 향상에 도움이 되기 때문에 다루는 것입니다. 기억해.. 2018. 10. 9. [모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (14) 원의 정의와 방정식 원의 정의와 방정식 원의 정의를 먼저 알아봅시다. 원은 한 고정된 점으로 부터 일정한 거리에 있는 점의 자취입니다. 한 고정된 점을 C(a,b)라고 하고, 이 거리로 부터 일정한 거리를 r이라고 하겠습니다. 일정한 거리에 있는 점을 P(x,y)라고 하겠습니다. 일정한 거리 r을 '반지름'이라고 부릅니다. 고정된 점 : C(a,b)일정한 거리 : r일정한 거리에 있는 점 : P(x,y) 이 상황을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 양변을 제곱하면 원의 방정식의 표준형이 됩니다. (원의 방정식의 표준형) 중심이 원점이라면 a와 b는 0이 됩니다. 이 원의 방정식을 원의 방정식의 기본형이라고 합니다. (원의 방정식의 기본형) 원의 방정식의 표준형을 전개해봅시다. 아래와 같이 이항하겠습니다. 위 식에서 x의 .. 2018. 10. 9. 이전 1 다음 반응형
