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고등수학340

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (7)같은 것이 있는 순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[(6)순열과 조합]-[(7)같은 것이 있는 순열] 같은 것이 있는 순열 아래 예시로 시작해봅시다. a,a,b 위의 세개 문자를 배열해봅시다. 일단 같은 것이 없다고 생각하고 세개의 문자를 배열하는 경우의 수는 아래와 같습니다. 3x2x1=6 여기서 겹치는 경우를 없애 보겠습니다. 편의상 a 두개를 a₁과 a₂로 나눠서 배열해보겠습니다. a₁ a₂ ba₂ a₁ ba₁ b a₂a₂ b a₁b a₁ a₂b a₂ a₁ 이렇게 여섯가지입니다. a₁과 a₂가 같은 문자이기 때문에, 아래 같은 색으로 칠한 경우들은 겹치는 경우입니다. a₁ a₂ ba₂ a₁ ba₁ b a₂a₂ b a₁b a₁ a₂b a₂ a₁ 따라서 결과를 2로 나눠주어야 합니다. 여기서 '2'라는 것은 '중복되는 .. 2019. 8. 9.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (6)중복순열과 함수 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(6)중복순열과 함수] 중복순열과 함수 두 집합 A와 B가 있습니다. A={1,2,3,4}B={a,b,c} 두 집합 A와 B가 함수 f에 의해 대응된다고 해봅시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. f: A→B 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. X에서 Y로의 함수를 몇가지 만들 수 있을까요? 일단 X의 원소에는 Y의 원소가 하나만 대응되야 합니다. 반대로 하나의 Y에는 여러개의 X가 대응될 수 있습니다. 예를들어 봅시다. X의 첫번째 원소 1에 대응될 수 있는 Y는 a,b,c 입니다. 원소 1에 a가 대응됐다고 해봅시다. 이때 원소 2에는 어떤 값이 대응될 수 있을까요? 그대로 a,b,c 입니다. 원소 1에 a가 대응되고 2에도 a가 대응될 수 있는 .. 2019. 8. 8.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (5)중복순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(5)중복순열] 중복순열 간단한 예로 시작합시다. 1,2,3 을 이용해서 두자리 정수를 만들겁니다. 몇가지를 만들 수 있을까요? OO 이렇게 두자리가 있습니다. 십의자리와 일의자리입니다. 십의자리에 1,2,3 세가지가 올 수 있고, 일의자리에도 1,2,3 세가지가 올 수 있습니다. 따라서 3x3=9가지가 됩니다. 1,2,3,4,5를 이용해서 세자리 정수를 만들면 몇가지가 될까요? 5x5x5=125가지가 됩니다. 위 예시는 이렇게 이해할 수 있습니다. "5개의 숫자중에서 3개를 뽑는데, 중복을 허락해서 뽑는 경우의 수" 뽑는다는게 잘 와닿지 않는다면 이렇게도 이해할 수 있습니다. 바구니에 1,2,3,4,5 가 각각 적힌 공이 다섯개 들어있습니다. 공을 꺼.. 2019. 8. 8.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (4) 다각형순열 - 정삼각형 순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(4)다각형 순열-정삼각형 순열] 다각형순열 - 정삼각형순열 다각형순열은 원순열이 응용된 형태입니다. 여러가지 다각형 순열을 만들 수 있는데 대표적으로는 아래 세가지가 있습니다. - 정사각형 - 직사각형 - 정삼각형 이번시간에는 정삼각형순열을 공부해봅시다. 정삼각형순열도 원순열과 마찬가지로 회전하는 판 위에 올려진 정삼각형 테이블이라고 생각하면 됩니다. 한 사람을 먼저 앉히고 시작합시다. 자리는 총 두 종류가 있습니다. 위 그림의 1,2입니다. 나머지 자리는 회전판을 돌리면 이 두 자리와 겹칩니다. 먼저 한 사람을 1번 자리에 앉힙시다. 이때 나머지 사람들을 배열하는 경우의 수는 5!입니다. 2번에 앉힐때도 경우의 수는 7!입니다. 따라서 전체 경우의 .. 2019. 8. 8.

[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (2) 다각형순열 - 정사각형순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(2)다각형순열 - 정사각형순열] 다각형순열 - 정사각형순열 다각형순열은 원순열이 응용된 형태입니다. 여러가지 다각형 순열을 만들 수 있는데 대표적으로는 아래 세가지가 있습니다. - 정사각형- 직사각형- 정삼각형 이번시간에는 정사각형순열을 공부해봅시다. 정사각형순열도 원순열과 마찬가지로 회전하는 판 위에 올려진 정사각형 테이블이라고 생각하면 됩니다. 한 사람을 먼저 앉히고 시작합시다. 자리는 총 두 종류가 있습니다. 1번자리와 2번자리입니다. 나머지 자리는 회전판을 돌리면 이 두 자리와 겹칩니다. 먼저 한 사람을 1번 자리에 앉힙시다. 이때 나머지 사람들을 배열하는 경우의 수는 7!입니다. 이번에는 사람을 2번자리에 앉힙시다. 경우의 수는 7!입니다. .. 2019. 8. 7.

고등수학 [확률과 통계] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [확률과 통계] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 고등교육과정에서 '확률과 통계'는 하나의 카테고리로 구성되어 있습니다. 카테고리 [확률과 통계]에서는 '경우의 수'과 '확률'과 '통계'을 배웁니다. 2. 성취기준 가. 경우의 수 1) 순열과 조합- 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다. - 중복조합을 이해하고, 중복조합의 수를 구할 수 있다. 2) 이항정리- 이항정리를 이해하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 나. 확률 1) 확률의 뜻과 활용- 통계적 확률과 수학적 확률의 의미를 이해한다. - 확률의 기본 성질을 이해한다. - 확률의 덧셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. - 여사건의 확률의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있.. 2019. 8. 1.

고등수학 [미적분] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [미적분] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 고등교육과정에서 '미적분'은 하나의 카테고리로 구성되어 있습니다. 카테고리 [해석]에서는 '수열의 극한'과 '미분법'과 '적분법'을 배웁니다. 2. 성취기준 가. 수열의 극한 1) 수열의 극한- 수열의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다. - 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이해하고, 이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다. - 등비수열의 극한값을 구할 수 있다. 2) 급수- 급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 한별할 수 있다. - 등비급수의 뜻을 알고, 그 합을 구할 수 있다. - 등비급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다. 나. 미분법 1) 여러 가지 함수의 미분- 지수함수와 로그함수의 극한을 구할 수 있다. .. 2019. 8. 1.

고등수학 [수학 1] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [수학 1] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 고등교육과정에서 '수학1'은 두개의 카테고리로 구성되어 있습니다. 첫번째 카테고리인 [해석]에서는 '지수함수와 로그함수'와 '삼각함수'를 배웁니다. 두번째 카테고리인 [대수]에서는 '수열'을 배웁니다. 2. 성취기준 가. 지수함수와 로그함수 1) 지수와 로그- 거듭제곱과 거듭제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다. - 지수가 유리수, 실수까지 확장될 수 있음을 이해한다. - 지수법칙을 이해하고, 이를 이용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다. - 로그의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다. - 상용로그를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. 2) 지수함수와 로그함수- 지수함수와 로그함수의 뜻을 안다. - 지수함수와 로그함수의 그래프를 그릴 수 있.. 2019. 8. 1.

고등수학 [수학(하)] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [수학 (하)] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 교육과정에서는 수학(상),(하)로 구분하지는 않습니다. '수학'이라는 이름이 붙어있습니다. 편의상 (상)(하)로 나눈 것입니다. 아래 그림에서 빨간 테두리 안의 내용이 수학(하)에 해당하는 내용입니다. 고등교육과정에서 '수학'은 다섯개의 카테고리로 구성되어 있습니다. 그 중 세 카테고리를 수학(하)로 분류한 것입니다. 첫번째 카테고리인 [수와 연산]에서는 '집합과 명제'를 배웁니다. 두번째 카테고리인 [함수]에서는 '함수와 그래프'를 배웁니다. 세번째 카테고리인 [확률과 통계]에서는 '경우의 수'를 배웁니다. 상세한 내용은 성취기준에서 알아보겠습니다. 2. 성취기준 가. 수와 연산 1) 집합- 집합의 개념을 이해하고, 집합을 표현할 .. 2019. 8. 1.

[모듈식 미적분] 2.미분법 (2) 로그함수의 극한 로그함수의 극한 로그함수의 일반적인 형태는 아래와 같습니다. a의 범위에 따라 그래프의 모양이 둘로 나뉘어집니다. 1) a>1 인 경우 x가 무한대로 갈 떄, 함수값은 무한대로 발산합니다. 발산속도가 매우 느리긴 하지만 아무튼 발산합니다. x가 0보다 큰 값에서 0로 접근해갈 때, 함수값은 음의 무한대로 발산합니다. 2) 0 2019. 7. 29.

[모듈식 미적분] 2.미분법 (1) 지수함수의 극한 지수함수의 극한 지수함수의 일반적인 형태는 아래와 같습니다. a의 범위에 따라 그래프의 모양이 둘로 나뉘어집니다. 1) a>1 인 경우 x가 무한대로 갈 떄, 함수값은 무한대로 발산합니다. x가 음의 무한대로 가면 함수값은 0으로 수렴합니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 2) 0 2019. 7. 28.

[모듈식 수학 1] 3.수열 (2) 유한수열과 무한수열 유한수열과 무한수열 수열의 분류기준이 여러가지가 있는데, 그 중 개수로 분류하면 둘로 나뉩니다. 유한수열과 무한수열입니다. 유한수열은 항의 개수가 유한개인 수열을 말하고, 무한수열은 항의 개수가 무한개인 수열을 말합니다. 항의 개수를 줄여서 '항수'라고 합니다. 무한수열은 그 끝을 정의할 수 없으므로 마지막 항이 없는데 반해 유한수열은 마지막항이 있습니다. 이 마지막 항을 '끝항'이라고 합니다. 2019. 7. 21.

[모듈식 수학 1] 3.수열 (1) 수열이 뭔가요? 수열이 뭔가요? 수열은 수를 어떤 규칙에 따라 나열한 것입니다. 수열은 수의 규칙적인 나열입니다. 수열은 영어로 sequence 인데 '차례로 배열하다'라는 뜻도 갖고 있습니다. 예를들면 아래와 같습니다. 1 2 4 8 16 32 ... 이때 각각의 수들을 '항'이라고 합니다. 2019. 7. 7.

[모듈식 수학 1] 2.삼각함수 (1) 각, 시초선, 동경 각, 시초선, 동경 각을 설명하기 위해 먼저 그림을 하나 그리겠습니다. 화살표가 한쪽에만 있고 출발점이 일치하는 두 선을 그렸습니다. 이렇게 화살표가 한쪽에 있고, 출발점이 고정된 직선을 '반직선'이라고 합니다. 이번에는 아래와 같이 기호를 붙여봅시다. 반직선 OB를 반직선 OA가 회전한 반직선이라고 할 때, 회전한 양을 반직선 OA와 OB사이의 각도로 정의합니다. 이 각도는 기호로 ∠BOA 로 나타냅니다. 이렇게 각도 회전의 기준이 되는 반직선인 OA를 '시초선'이라고 부르고, 회전한 후의 반직선 OB를 '동경'이라고 부릅니다. 눈치가 빠른 분들은 아셨겠지만, 시초선 OA가 회전하여 동경 OB를 만드는 방법이 한가지 더 있습니다. 아래처럼 반대방향으로 회전해도 됩니다 . 그렇다면 하나의 동경을 나타내는.. 2019. 7. 5.

[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (1) 거듭제곱 거듭제곱 거듭제곱은 어떤 수를 여러번 곱한 것입니다. 실수 a를 n번 곱했다고 해봅시다. 매번 이렇게 쓰기가 얼마나 귀찮을까요. 기호를 정해야합니다. 이렇게 정하기로 했습니다. $a^n$ 몇번 곱해졌는지 윗첨자에 쓰기로 한거죠. 이때 a를 '밑' 이라고 부르고 n을 '지수'라고 부르기로 했습니다. a를 두번 곱했을때를 a의 제곱, 세번 곱했을 때를 a의 세제곱, n번 곱했을 때를 a의 n제곱 이라고 부릅니다. a의 거듭제곱은 a, a의 제곱, a의 세제곱,...,a의 n제곱을 통틀어 부르는 말입니다. 2019. 7. 5.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (9) 상수함수 상수함수 상수함수는 모든 정의역이 같은 함수값을 갖는 함수입니다. 이름이 상수함수인 이유는 함수식이 아래와 같기 때문입니다. 그림으로 표현하면 이렇습니다. 그래프로도 표현해봅시다. 이때는 정의역과 공역이 모든 실수라는 조건이 필요합니다. 2019. 7. 4.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (3) 정의역, 공역 정의역, 공역 두 집합 X와 Y가 있고, X에서 Y로의 함수 f가 있다고 해봅시다. 이때, 가는 쪽인 집합 X를 정의역, 받는 쪽인 집합 Y를 공역이라고 합니다. 2019. 5. 23.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (48) 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식은 프랑스 수학자 코시가 발견했고 독일의 슈바르츠가 수정하고 일반화한 부등식입니다. 겨우 이런 부등식에 거창한 이름이 붙었나 생각하시겠지만, 거창한 이름이 붙은데는 이유가 있습니다. 코시-슈바르츠 부등식은 고등학교 과정에서만 간단히 다뤄지는 것이지 수학에서 굉장히 중요한 부등식입니다. 확률론의 분산,공분산 등 다양한 분야에 적용됩니다. 실제로는 n차 부등식이지만, 가장 간단한 2차부터 다뤄보겠습니다. 모든 변수가 실수라는 조건이 붙습니다. 양수일 필요는 없습니다. 증명을 해봅시다. 양변을 전개하겠습니다. 정리합시다. 완전제곱식으로 정리됩니다. 위와 같이 증명이 되었습니다. 코시슈바르츠 부등식의 등호 성립조건을 구해봅시다. 바로 위의 식에서 부등호가 등호로 바꾸면 .. 2019. 5. 7.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (38) 증명이란 무엇인가 증명이란 무엇인가 증명은 어떤 명제가 참임을 설명하는 것입니다. 아무 가정도 없는 상태로 명제를 증명하는 것은 불가능하기 때문에 여러가지 기본적인 가정에서 출발합니다. 이러한 기본적인 가정들을 공리(AXIOM)이라고 부릅니다. 너무 당연해서 증명하기 어려운 명제들입니다. 공리들을 가정하고, 가정한 공리들을 이용하여 해당 명제가 참임을 보이는 것이 증명입니다. 참이라는 것이 밝혀진 명제를 정리(Theorem)라고 부릅니다. 2019. 3. 27.

고등수학 수학(상) 전체 모듈 한눈에 보기 각 항목을 클릭하시면 설명페이지가 뜹니다.수학(상) 1.다항식 1) 다항식의 연산 다향식의 정의 연산이란 무엇인가 단항식과 다항식의 차수 다항식의 덧셈과 동류항 다항식의 오름차순,내림차순 정렬 다항식의 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙 지수법칙 다항식의 곱셈 다항식의 곱셈공식 다항식의 나눗셈 2) 나머지 정리 항등식의 정의와 성질 다항식의 나눗셈과 항등식 나머지정리와 인수정리 조립제법 사용방법 조립제법 원리 + 더 편한 방법 소개 3) 인수분해 다항식의 인수분해란? 인수분해 기본공식 인수분해 심화유형 고차식의 인수분해 2.방정식과 부등식 1) 복소수 허수와 복소수 켤레복소수 복소수의 연산 복소수의 교환,결합,분배법칙 켤레복소수의 성질 복소수가 서로 같을 조건 i의 거듭제곱 음수의 제곱근의 성질 2) 일차,.. 2019. 1. 17.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (23) 대칭차집합 대칭차집합 A와 B라는 두 집합이 있는데, 겹치지 않는 부분만 기호로 나타내고 싶었습니다. 어떻게 하면 될까요? A와 B의 합집합에서 가운데 부분이 비어있는 집합입니다. 먼저 떠오르는 생각은, 합집합에서 교집합을 빼는 것입니다. 다른 방법도 있을까요? 차집합을 이용해도 표현할 수 있습니다. A에서 B를 뺀 집합과, B에서 A를 뺀 집합을 합해주면 됩니다. 방법이 더 있을지 생각해봅시다. 한 가지 방법이 더 떠올랐어요. (A와 B의 합집합)과 (A와 B의 교집합의 여집합)을 상상해봅시다. 둘의 겹치는 부분이 보이시나요? 우리는 지금까지 같은 집합을 다른 방법으로 표현해보았습니다. A집합과 B집합에서 겹치지 않는 부분으로 이루어진 집합이지요. 이 집합을 대칭차집합이라고 부릅니다. 벤다이어그램에서 보면 차집합.. 2019. 1. 14.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제(19) 원소의 개수 - 합집합 원소의 개수 - 합집합 이런 상황을 가정해 봅시다. 집합 A와 B가 있구요. 우리는 집합 A의 원소 개수, 집합 B의 원소 개수, 집합 A와 B의 교집합의 원소 개수를 알고 있습니다. 이 정보들로 합집합을 구해야하는 상황입니다. 집합 A와 B의 합집합을 상상해봅시다. A와 B가 합쳐질 때 A와 B중 한쪽은 교집합 만큼을 떼어내야 합니다. 머리속에 집합 A와 B를 떠올립시다. 이제 교집합 부분을 B에서 떼어냅시다. 이제 B는 한입 베어문 사과처럼 한쪽이 파여 있습니다. B를 A와 붙이게 되면 A와 B의 합집합이 됩니다. 이 과정을 식으로 나타내 봅시다. 이제 우리는 합집합의 원소의 개수를 구할 수 있게 되었습니다. 이번에는 상황을 좀 더 복잡하게 만들어봅시다. 집합 A,B,C 가 있습니다. 셋다 서로 겹치.. 2019. 1. 9.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 *(18) 흡수, 드모르간, 부정법칙 흡수, 드모르간, 부정법칙 집합의 합집합, 교집합, 여집합 등을 집합의 '연산'이라고 부릅니다. 우리는 이미 연산을 배운 상태인 거것이죠. 집합의 연산에서 성립하는 6개의 법칙은 아래와 같습니다. 1) 교환법칙2) 결합법칙3) 분배법칙4) 흡수법칙5) 드모르간 법칙6) 부정법칙 오늘은 이들 중 뒤의 3가지를 배워봅시다. 먼저 흡수법칙입니다. 흡수법칙은 합집합연산을 하거나 교집합 연산을 할 때 양쪽에 있는 두 변 중 하나만 남겨지기 때문에 붙은 이름입니다. 한쪽이 다른 쪽에 흡수된다는 의미죠. 한번 살펴봅시다 . 첫번째 식을 먼저 봅시다. A와 B의 교집합은 A에 포함됩니다. 따라서 둘을 합하면 A가 됩니다. 당연하죠? 이번에는 두번째 식을 봅시다. A와 B의 합집합은 A를 포함합니다. 따라서 A와 B의 .. 2019. 1. 8.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (14) 차집합 차집합 차집합은 이름에서도 알 수 있듯 무언가를 '뺀'집합입니다. 아래 그립을 봅시다. 집합 A에서 B를 뺐습니다. 이 집합을 A 차집합 B, 또는 A에 대한 B의 차집합이라고 합니다. 기호로는 A-B 로 나타냅니다. 실제 예를 들어봅시다. 전체집합 U와 집합 A가 있습니다. A-B 를 구해봅시다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? and 대신 '그리고'라고 써도 됩니다. 2018. 12. 11.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (11) 합집합의 성질 합집합의 성질 합집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 어렵지 않은 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) A ⊂ B 이면, A ∪ B = B 이다. A가 B에 포함된다면, A가 B 안에 들어가 있는 모양입니다. 둘을 합하면 B가 됩니다. 2) A ∪ B = B 이면 A ⊂ B 이다. 1번 성질의 '역'입니다. 어떤 명제가 성립한다고 역이 반드시 성립하지는 않습니다. 이 경우는 성립하네요. A와 B의 합집합을 구했더니 B가 나왔습니다. 이런 결과가 나오는 경우는 A가 B에 포함된는 경우 밖에는 없습니다. 3) A ∪ Φ = Φ 이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 어떤 집합에도 포함됩니다. 4) Φ ∪ Φ = Φ 이다. 당연하겠죠^^ 5) A ⊂ (A ∪ B) , B ⊂ (A ∪ B)이다. A.. 2018. 11. 27.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (21) 원과 직선의 위치관계 (판별식 이용) 원과 직선의 위치관계 (판별식 이용) 원과 직선이 가질 수 있는 관계는 세가지가 있습니다. - 서로 다른 두 점에서 만난다.- 한 점에서 만난다. (접한다.)- 만나지 않는다. 이 관계를 판별하는 방법 중 판별식을 이용하는 방법을 알아보겠습니다. 1. 서로 다른 두 점에서 만난다. 원의 방정식과 직선의 방정식을 하나씩 정의해봅시다. 두 식을 연립하면 아래 식을 얻습니다. x에 대한 이차방정식입니다. 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만난다면, 원과 직선의 연립방정식의 해는 두개가 나옵니다. 따라서 원과 직선을 연립한 방정식의 판별식 D가 0보다 커야합니다. 조건 : D > 0 (서로 다른 두 실근) 2. 한 점에서 만난다. 원의 방정식과 직선의 방정식을 하나씩 정의해봅시다. 두 식을 연립하면 아래 식을 .. 2018. 10. 9.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (19) 두 원의 위치관계 두 원의 위치관계 두 원이 가질 수 있는 위치는 다섯가지가 있습니다. 1. 만나지 않고, 공통 부분이 없음 (한 원이 다른 원의 외부에 있음) r,r',d 의 관계를 따져봅시다. r과 r'을 더한 값보다 d의 크기가 큽니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. 2. 한 점에서 만나고, 공통 부분이 없음 (두 원이 외접함) r,r',d 의 관계를 따져봅시다. r과 r'을 더한 값과 d의 크기가 같습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 3. 두 점에서 만남 r,r',d 의 관계를 따져봅시다. r과 r'을 더한 값이 d의 크기보다 큽니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. 그런데 이 조건만으로는 충분하지 않습니다. d가 계속 작아지다 보면 작은 원이 큰 원 안에 포함되는 지점이 있습니다. 그 지점은 r-r'과.. 2018. 10. 9.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (18) 공통현의 방정식 공통현의 방정식 두 원의 공통현은 아래와 같습니다. 공통현은 두 원의 교점을 연결한 선분입니다. 아래 그림에서는 선분 AB입니다. 1. 두 원의 공통현의 성질 두 원의 공통현과 중심선은 중심선에 의해 수직이등분된다는 성질이 있습니다. 왜 위 성질이 성립할까요? 이 성질을 이해하는 과정에서 사고력이 성장합니다. 성립하는 이유를 이해해봅시다. 아래 그림에서 삼각형 ACC'와 BCC'를 봅시다. 선분 AC와 BC의 길이가 같고, AC'와 BC'의 길이가 같습니다. 또한 선분 CC'는 공통변입니다. 따라서 두 삼각형은 SSS 합동입니다. 이 합동에 의해서 ∠ACB와 ∠BCA 는 크기가 같습니다. 따라서 선분 CC'는 이등변삼각형 ACB의 변 AB의 수직이등분선이 됩니다. 2. 공통현의 방정식 지난시간에 배운 두.. 2018. 10. 9.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (16) 축에 접하는 원의 방정식 축에 접하는 원의 방정식 원의 방정식이 축에 접하는 경우는 세 가지가 있습니다. 1. x축에 접하는 원의 방정식 원의 중심의 좌표를 C(a,b)라고 하겠습니다. 아래 그림처럼 x축에 접하기 때문에 반지름의 길이와 중심의 y 좌표가 같습니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같습니다. 2. y축에 접하는 원의 방정식 원의 중심의 좌표를 C(a,b)라고 하겠습니다. 아래 그림처럼 y축에 접하기 때문에 반지름의 길이와 중심의 x 좌표가 같습니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같습니다. 3. x축과 y축에 동시에 접하는 원의 방정식 아래 그림처럼 x축과 y축에 접하기 때문에 중심의 좌표를 (a,a)라고 놓을 수 있습니다. 또한 반지름의 길이도 a와 같습니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같습니다. 전체 모듈 한눈에.. 2018. 10. 9.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (15) 지름의 양 끝 두 점을 알 때 원의 방정식 지름의 양 끝 두 점을 알 때 원의 방정식 특정 조건이 주어진 상황에서 원의 방정식을 만드는 방법에 대해 알아봅시다. 1. 지름의 양 끝 위치의 두 점을 알 때 (원리 이용) 두 점을 알고 있는 상황을 가정하겠습니다. 두 점은 A(x1,y1) 와 B(x2,y2) 입니다. 두 점을 알고 있다면 두 점의 중점을 구할 수 있습니다. 두 점의 중점 M(a,b)은 아래와 같이 구합니다. 반지름의 길이는 두 점 A와 B 사이의 거리를 구하고 반으로 나누면 됩니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같이 정의됩니다. 2. 지름의 양 끝 위치의 두 점을 알 때 (공식 유도) 이번에는 공식을 유도해 봅시다. 반드시 외워야 하는 공식은 아닙니다. 다만 공식 유도 과정이 사고력 향상에 도움이 되기 때문에 다루는 것입니다. 기억해.. 2018. 10. 9.

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