본문 바로가기
반응형

고등수학 5분증명(2009개정)/수학123

[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (3) 원 밖의 한 점을 알 때 원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다. 1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요 2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 세 번째 경우를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름이 r인 원이 있다고 합시다. 원 밖에 한 점에서는 원에 두개의 접선을 그을 수 있습니다. 접선의 기울기를 m으로 놓으면 아래와 같은 직선의 방정식을 세울 수 있습니다. $y=m(x-x_{1})+y_{1}$ 이제 m을 구해야 합니다. 원의 중심으로 부터 직선까지의 거리가 r이라는 조건을 이용할 수 있습니다. 위 방정식을 아래와 같이 변형합니다. $mx-y-mx_{1}+y_{1}=0$ 원의 중심인 원점과 직선사이의 거리가 r이라는 것을.. 2021. 8. 7.
[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (2) 원 위의 한 점을 알 때 원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다. 1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요 2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 두 번째 경우를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름이 r인 원 위의 한 점을 알고 있는 상황을 가정합시다. 원 위의 한 점은 $(x_{1},y_{1})$ 입니다. 기울기를 아는 경우에는 접선이 두 개 존재한 반면, 원 위의 한 점을 아는 경우에는 접선이 하나만 존재합니다. 접선의 기울기를 구하기 위해 아래 그림과 같이 원의 중심과 접점을 연결하는 선을 하나 그어봅시다. 이 선은 접선과 수직으로 만납니다. 원의 중심과 접점을 연결한 선의 기울기는 아래 그림에서 보이는 것처럼 $\fra.. 2021. 7. 31.
[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (1) 기울기가 m인 경우 원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다. 1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요 2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 첫번째 경우를 구해봅시다. 간단한 형태의 원에서 시작합시다. 중심이 원점인 원입니다. 중심이 원점으고 반지름이 r인 원의 방정식은 아래와 같습니다. 기울기가 m인 접선은 두개가 있습니다. 아래 그림과 같습니다. 기울기가 m인 직선의 방정식을 $y=mx+n$ 이라고 놓겠습니다. m은 우리가 알고 있는 값이고, n은 모르는 값입니다. n을 구해야합니다. n을 구하기 위해 원의 중심으로 부터 직선까지의 거리가 r이라는 조건을 사용할 수 있습니다. 아래와 같습니다. $\frac{\left | n \right.. 2021. 7. 24.
[5분 고등수학] 두 원의 공통 내접선의 길이 두 원이 있습니다. 두개의 내접선을 그릴 수 있습니다. 내접선은 안에서 접하는 선입니다. 두 원에는 겹치는 부분이 없어야 합니다. 공통 외접선은 겹치는 부분이 있어도 존재하지만 공통내접선은 두 원에 겹치는 부분 이 있다면 존재하지 않습니다. 내접선의 길이를 구해봅시다. 내접선의 길이는 내접선이 원과 접하는 두 점 사이의 거리입니다. 원과 접하는 두 점에서 각 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 아래와 같습니다. 공통내접선과는 수직으로 만납니다. 원에 한 선이 접하고 있을 때, 원의 중심에서 접점에 그은 선은 접선과 수직관계이기 때문입니다. 두 원 중 작은 원의 반지름을 r이라고 놓고, 큰 원의 반지름을 R이라고 놓겠습니다. 두 원의 중심을 연결한 선분도 긋겠습니다. 각 원의 중심의 좌표를 $(x_{1.. 2021. 7. 17.
[5분 고등수학] 두 원의 공통 외접선의 길이 두 원이 있습니다. 두개의 공통 외접선을 그릴 수 있습니다. 외접선은 밖에서 접하는 선입니다. 외접선의 길이를 구해봅시다. 외접선의 길이는 외접선이 원과 접하는 두 점 사이의 거리입니다. 원과 접하는 두 점에서 각 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 아래와 같습니다. 원에 한 선이 접하고 있을 때, 원의 중심에서 접점에 그은 선은 접선과 수직입니다. 두 원 중 작은 원의 반지름을 r이라고 놓고, 큰 원의 반지름을 R이라고 놓겠습니다. (두 원의 크기가 같을 경우에는 두 원 중심사이의 거리가 외접선의 길이와 같습니다.) 각 원의 중심의 좌표를 $(x_{1},y_{1})$ 과 $(x_{2},y_{2})$ 라고 놓겠습니다. 두 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 공통외접선과 평행한 선분을 아래와 같이 .. 2021. 7. 10.
[5분 고등수학] 점과 직선 사이의 거리 좌표평면위의 한 점과 한 직선 사이의 거리를 구해보려고 합니다. 한 점을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 놓겠습니다. 한 직선은 $ax+by+c=0$이라고 놓겠습니다. 점과 직선을 연결한 선은 무수히 많습니다. 그 중에서 가장 짧은 거리의 선을 '점과 직선 사이의 거리'로 정의합시다. 점에서 직선까지 가장 짧은 거리의 선을 그엇을 때 만나는 점의 좌표를 $(x',y')$ 이라고 합시다. 90도가 되도록 그은 선이 가장 짧습니다. 두 점사이의 거리가 점과 직선사이의 거리입니다. 두 점 사이의 거리는 아래와 같습니다. 이 거리가 점과 직선 사이의 거리입니다. 0번식이라고 놓겠습니다. $d=\sqrt{ (x_{1}-x')^{2}+ (y_{1}-y')^{2} }$ ....(0) $x_{1}$과 $y_{1}$.. 2021. 7. 7.
[5분 고등수학] 두 직선의 교점을 지나는 직선 2차원 평면에서, 평행하지 않는 두 직선은 항상 한 점에서 만납니다. 이 교점을 지나는 직선은 무수히 많습니다. 이 교점을 지나는 직선을 방정식으로 표현해봅시다. 두 직선을 각각 $y=ax+b$ 와 $y=a'x+b'$ 이라고 놓겠습니다. 두 직선을 연립해서 x와 y를 구합시다. 먼저 x좌표를 구해봅시다. $y=ax+b$ $y=a'x+b'$ 위 수식에서 아래 수식을 뻅니다. $0=(a-a')x+b-b'$ x에 대해 정리하면 아래와 같습니다. $x=\frac{b'-b}{a-a'}$ 이번에는 y좌표를 구해봅시다. 아래와 같이 두 방정식을 변형합시다. $a'y=aa'x+a'b$ $ay=aa'x+ab'$ 위 수식에서 아래 수식을 뺍시다. $(a'-a)y=a'b-ab'$ y에 대해 정리하면 아래와 같습니다. $y=.. 2021. 7. 6.
[5분 고등수학] 정점을 지나는 직선 정점은 정지해 있는 점입니다. 어떤 정점을 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다. 정점의 좌표를 $(a,b)$라고 놓겠습니다. 이 점을 지나는 직선의 방정식은 몇개나 있을까요? 무수히 많습니다. 기울기를 m이라고 한다면, $(a,b)$를 지나는 직선의 방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $y=m(x-a)+b$ m은 모든 실수입니다. 이 수식이 표현할 수 없는 한가지 직선이 있습니다. $x=a$인 직선입니다. m이 무한대로 갈 때 가까워져 가는 직선입니다. 이 직선을 추가해 주변 됩니다. $y=m(x-a)+b$ 또는 $x=a$ 이번에는 항등식을 이용해서 나타내봅시다. 아래와 같이 k에 대한 항등식으로 나타낼 수 있습니다. $(x-a)+k(y-b)=0$ 이 수식으로 표현할 수 없는 하나의 직선이 있습니다.. 2021. 7. 3.
[5분 고등수학] 두 직선이 수직일 때의 기울기 서로 수직인 두 직선을 좌표평면에 그려봅시다. 두 직선은 $y=mx$와 $y=m'x$라고 합시다. $x=1$ 일 때의 각 직선위의 점의 좌표는 $(1,m)$ 과 $(1,m')$ 입니다. 아래 그림과 같습니다. 아래와 같이 직각삼각형을 그려봅시다. 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다. 수식으로 써보면 아래와 같습니다. $(1+m^{2})+(1+m'^{2})=(m-m')^{2}$ 우변을 전개해봅시다. $1+m^{2}+1+m'^{2}=m^{2}+m'^{2}-2mm'$ 아래와 같이 계산해줍니다. $2=-2mm'$ 아래와 같이 계산해줍니다. $mm'=-1$ 두 직선이 서로 수직일 경우 기울기의 곱이 -1 이 됩니다. 2021. 6. 26.
[5분 고등수학] 선분의 외분점 외분점은 '밖에서 나누는 점'이라는 뜻입니다. 외분점은 두 점을 연결하여 만든 선분을 일정한 비율로 나누는 점입니다. 선분 밖에 있는 점으로 말이죠. 먼저 좌표평면 위에 점 두개를 찍어봅시다. 아래 그림과 같이 점 A와 점 B를 찍겠습니다. 선분 $AB$를 $m:n$ 으로 외분하는 점은 m과 n의 대소관계에 따라 아래와 같이 둘로 나뉩니다. 선분 $BA$를 $m:n$ 으로 나누는 외분점은 반대편에 생깁니다. 1) 선분 $AB$를 $m:n$ 으로 외분하는 점 ($m>n$) $m>n$인 경우 선분 $AB$를 $m:n$ 외분하는 점은 아래 그림의 점 $P$ 입니다. 아래와 같이 두개의 삼각형을 그릴 수 있습니다. 삼각형의 닮음을 이용하여 비례식을 세우면 아래와 같습니다. $(x'-x_{1}):(x'-x_{2}.. 2021. 6. 19.
[5분 고등수학] 선분의 내분점 내분점은 '안에서 나누는 점'이라는 뜻입니다. 내분점은 두 점을 연결하여 만든 선분을 일정한 비율로 나누는 점입니다. 먼저 좌표평면 위에 점 두개를 찍어봅시다. 아래 그림과 같이 점 A와 점 B를 찍겠습니다. 두 점 A와 B를 연결한 선분을 $m:n$ 으로 나누는 점을 아래와 같이 나타내겠습니다. 이 점은 선분 $AB$를 $m:n$으로 내분하는 점입니다. $BA$를 $m:n$ 으로 내분했다면 위 그림의 m과 n을 바꿔주면 됩니다. 각 점의 좌표를 x축과 y축에 나타내봅시다. 아래와 같이 두개의 서로 닮은 삼각형을 그릴 수가 있습니다. 삼각형의 닮음 조건을 이용하여 비례식을 세워봅시다. $(x'-x_{1}):(x_{2}-x')=m:n$ 내항의 곱은 외항의 곱이므로 아래와 같이 변형됩니다. $n(x'-x_{.. 2021. 6. 12.
[5분 고등수학] 점과 점사이의 거리 공식 유도 좌표평면 위에 있는 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 유도해봅시다. 아래와 같은 좌표평면에 두 점 A와 B가 있습니다. 각각의 좌표는 $A(a,b)$와 $B(c,d)$라고 놓겠습니다. 두 점사이의 거리를 구하기 위해 아래와 같은 삼각형을 만들겠습니다. 삼각형의 밑변의 길이는 $(c-a)$이고, 높이는 $(d-b)$ 입니다. 빗변의 길이인 $\overline{AB}$ 가 두 점 사이의 거리입니다. 피타고라스 정리를 이용하면 아래 등식을 얻을 수 있습니다. $\overline{AB}^2=(c-a)^2+(d-b)^2$ 따라서 $\overline{AB}$ 는 아래와 같습니다. $\overline{AB}=\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}$ 2021. 6. 5.
[5분 고등수학] 이차부등식이 항상 성립할 조건 이차부등식은 아래와 같이 네 가지 종류가 있습니다. $ax^2+bx+c>0$ $ax^2+bx+c \geq 0$ $ax^2+bx+c 0$ $ax^2+bx+c \geq 0$ $ax^2+bx+c < 0$ (불가) $ax^2+bx+c \leq 0$ (불가) 이차방정식이 항상 0보다 크게 만드는 것은 가능합니다. 아래와 같이 만들면 됩니다. 근이 없어야 .. 2021. 5. 29.
[5분 고등수학] 삼차방정식의 근과 계수의 관계 삼차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 삼차방정식의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 라고 놓겠습니다. 세 근을 이용하여 삼차방정식을 아래와 같이 ㅇ니수분해할 수 있습니다. 근을 대입할 때의 방정식의 값이 0이기 때문입니다. $a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$ 위 식을 아래와 전개합시다. $a\left \{ x^3 -(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma)x -\alpha \beta \gamma \right \}=0$ 아래와 같이 한번 더 전개합시다. $a x^3 -a(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + a.. 2021. 5. 23.
[5분 고등수학] 이차방정식의 양근의 절댓값이 음근보다 클 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 음근과 양근이 나온다는건 일단 두 근의 부호가 다르다는 말입니다. 따라서 두근의 곱은 음수입니다. $\alpha \beta 0 $ 근과 계수와의 관계를 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $-\frac{b}{a} 0 $ 두근의 부호가 다르므로 판별식 조건은 필요하지 않습니다. $\frac{c}{a} 2021. 5. 22.
[5분 고등수학] 이차방정식의 음근의 절댓값이 양근보다 클 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 음근과 양근이 나온다는건 일단 두 근의 부호가 다르다는 말입니다. 따라서 두근의 곱은 음수입니다. $\alpha \beta < 0 $ 또한 음근이 양근모다 크므로, 두 근의 합은 음수입니다. $\alpha + \beta < 0 $ 근과 계수와의 관계를 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $-\frac{b}{a} < 0$ $\frac{c}{a} < 0 $ 두근의 부호가 다르므로 판별식 조건은 필요하지 않습니다. $\frac{c}{a} 2021. 5. 19.
[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근의 절댓값이 같고 부호가 반대일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 두 근의 절댓값이 같고 부호가 반대라면, 두 근의 합은 0입니다. 두근의 곱의 부호는 음수입니다. $\alpha + \beta = 0$ $\alpha + \beta < 0 $ 근과 계수와의 관계를 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $-\frac{b}{a} = 0$ $\frac{c}{a} < 0 $ 두근의 부호가 다르므로 판별식 조건은 필요하지 않습니다. $\frac{c}{a} 2021. 5. 18.
[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 서로 다른 부호일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 두근의 부호가 다르다면 어떤 조건이 필요할까요? 두근의 합은 알 수 없습니다. 두근의 합은 양수일 수도 있고 음수일 수도 있기 때문입니다. 두근의 곱만 조건으로 사용할 수 있습니다. 두 근의 부호가 다를 경우 두 근의 곱은 음수입니다. $\alpha \beta 2021. 5. 15.
[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 모두 음수일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 이차방정식의 두 근이 모두 양수라면, 두근의 합과 곱이 둘 다 양수입니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. $\alpha + \beta 0$ 근과 계수와의 관계를 이용하면 위 부등식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $-\frac{b}{a}0$ 이 두가지 조건으로 충분할까요? 아래 방정식을 봅시다. $2x^{2}+2x+1=0$ 두 근의 합과 곱은 모두 양수입니다. 따라서 위 두가지 조건을 만족합니다. 양수인 두 근을 갖는지 화인해봅시다. 근의 공식을 이용하여 근을 구하면 아래와 같습니다. $x=\frac{-1\pm \sqrt{-1}}{2}$ 루트 안이 음수이므.. 2021. 5. 11.
[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 모두 양수일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 이차방정식의 두 근이 모두 양수라면, 두근의 합과 곱이 둘 다 양수입니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. $\alpha + \beta >0$ $\alpha \beta >0$ 근과 계수와의 관계를 이용하면 위 부등식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $-\frac{b}{a}>0$ $\frac{c}{a}>0$ 이 두가지 조건으로 충분할까요? 아래 방정식을 봅시다. $2x^{2}-2x+1=0$ 두 근의 합과 곱은 모두 양수입니다. 따라서 위 두가지 조건을 만족합니다. 양수인 두 근을 갖는지 화인해봅시다. 근의 공식을 이용하여 근을 구하면 아래와 같습니다. $x=\.. 2021. 5. 4.
[5분 고등수학] 이차방정식의 근과 계수의 관계 아래와 같은 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 알아봅시다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 식에서 계수는 a,b,c 입니다. 이차방정식의 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 이때, 근과 계수의 관계는 알와 같습니다. $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ 첫번째 등식은 두 근의 합과 계수의 관계이고, 두번째 등식은 두 근의 곱과 계수의 관계입니다. 결과를 외우는 것보다 중요한 것은 원리를 아는 것입니다. 외우면 잠깐 문제는 풀릴 수 있지만 금방 잊어버립니다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 유도하는 방법은 두가지가 있습니다. 1) 근의 공식을 이용하여 유도 근의공식은 아래와 같습니다. $x=\frac{-b\pm \sqrt{.. 2021. 4. 30.
[5분 고등수학] 이차방정식 판별식 이차방정식의 판별식은 아래와 같습니다. $b^{2}-4ac$ 판별식을 D 라고 부르는데요. Discriminant 의 첫글자입니다. 판별식이라는 뜻이구요. 참고로 discriminate라는 동사는 '식별하다, 판별하다' 라는 뜻입니다. 판별식이 근을 어떻게 판별하는지 알아봅시다. 판별식이 0보다 크면 두개의 실근을 갖고, 0이면 한개의 실근, 0보다 작으면 실근을 갖지 않습니다. (0보다 작은 경우는 두 허근을 갖습니다.) 기호로 표현하면 아래와 같습니다. $D>0$ → 실근 2개 $D=0$ → 실근 1개(중근=중복되는 근) $D 2021. 4. 28.
[5분 고등수학] 이차방정식의 근의공식 유도 (기본,짝수) 1. 기본공식 이차방정식의 근의공식 유도는 이차방정식의 기본형에서 출발합니다. 이차방정식의 기본형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 식을 완전제곱식으로 만들건데요. 먼저 아래와 같이$a$로 묶어줍시다. $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x \right )+c=0$ $x$계수의 절반의 제곱을 더하고 빼줍니다. $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x +\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )+c=0$ 괄호 안의 마지막 항을 괄호 밖으로 꺼내줍니다. $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x +\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )-.. 2021. 4. 27.
반응형

티스토리툴바