반응형 행렬10 [고급 행렬 연산] 9. 두 벡터로 만든 평행사변형의 넓이 편의상 벡터의 화살표 기호는 생략하겠습니다. 영어 소문자가 벡터, 그리스문자가 상수입니다. 두 벡터 a와 b가 있다고 합시다. 벡터 a를 벡터 b로 만들어지는 평행사변형의 넓이를 구해봅시다. 위 그림에서 평행사변형의 넓이를 S라고 놓는다면 아래 등식이 성립합니다. $S^2=\left | b \right |^2 \left | u \right |^2$ u는 아래와 같이 계산됩니다. $u=a-\frac{a^T b}{b^T b}b$ $\left | u \right |^2$는 아래와 같이 구할 수 있습니다. $\left | u \right |^2=u^T u=\left ( a-\frac{a^T b}{b^T b}b \right )^T\left ( a-\frac{a^T b}{b^T b}b \right )$ 전치행렬을 .. 2023. 9. 8. [고급 행렬 연산] 8. 한 벡터를 다른 벡터에 투영 편의상 벡터의 화살표 기호는 생략하겠습니다. 영어 소문자가 벡터, 그리스문자가 상수입니다. 두 벡터 a와 b가 있다고 합시다. 벡터 a를 벡터 b에 투영한 벡터를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. u와 b는 수직이므로, u와 b의 내적은 0입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $u^{T}b=0$ $u=a-\alpha b $ 이므로 아래 등식이 성립합니다. $(a-\alpha b)^{T} b=0$ 아래와 같이 변형합니다. 전치를 해주었습니다. $(a^T-\alpha b^T ) b=0$ 아래와 같이 전개합니다. $a^Tb-\alpha b^Tb=0$ $\alpha$에 대해 정리해줍니다. $\alpha=\frac{a^Tb}{b^Tb}$ 따라서 벡터 a를 벡터 b에 투영한 벡터는 아래와 같습.. 2023. 9. 8. [고급 행렬 연산] 7. 이중 시그마 순서 바꾸기 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다. $\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{ij}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}$ 왼쪽 식은 시그마 계산을 i 부터 한 것이고, 오른쪽 식은 j부터 한 것입니다. 좌변의 계산 결과를 생각해보면, 아래 행렬의 원소의 합과 같습니다. $\begin{bmatrix} a_{11} &\cdots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix}$ 우변도 위 행렬 원소의 합과 같습니다. 따라서 등식이 성립합니다. 2023. 8. 25. [고급 행렬 연산] 6. 공분산행렬 구하기 먼저 인스턴스와 피처에 대한 개념을 이해해야 합니다. 아래와 같은 데이터가 있다고 합시다. 과목1 과목2 과목3 사람1 90 100 85 사람2 75 80 66 ... 위 데이터에서 과목을 피처(feature)라고 부르고, 사람을 인스턴스(instance)라고 부릅니다. 인스턴스를 벡터로 나타내면 아래와 같습니다. 사람1=[90 100 85 ] 사람2=[75 80 88] 일반화 시키면 아래와 같습니다. 인스턴스의 개수는 N개, 피처의 개수는 n개인 경우입니다. $\vec{x}^{(1)}=\left [ x^{(1)}_{1},\cdots,x^{(1)}_{n} \right ]$ $\vec{x}^{(2)}=\left [ x^{(2)}_{1},\cdots,x^{(2)}_{n} \right ]$ ... $\vec{.. 2023. 8. 22. [고급 행렬 연산] 5. (AB)^{T}=B^{T}A^{T} $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ 를 증명해봅시다. A와 B는 행렬입니다. 행렬 A와 B의 곱을 C라고 놓겠습니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. $(AB)^{T}_{ij}=C^{T}_{ij}=C_{ji}$ $C_{ji}$ 를 변형하겠습니다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $C_{ji}=\sum_{k=1}^{n}A_{jk}B_{ki}=\sum_{k=1}^{n}B_{ki}A_{jk}=\sum_{k=1}^{n}(B^{T})_{ik}(A^{T})_{kj}=(B^{T}A^{T})_{ij}$ 따라서 아래 등식이 성립합니다. $(AB)^{T}_{ij}=(B^{T}A^{T})_{ij}$ 아래 등식이 유도됩니다. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ 2023. 8. 19. [고급 행렬 연산] 4. (A+B)^T=A^T+B^T 증명 $\left ( A+B \right )^{T}=A^{T}+B^{T}$ 를 증명해봅시다. A,B는 행렬입니다. 행렬 A와 B의 합을 C라고 놓겠습니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. $A_{ij}+B_{ij}=C_{ij}$ 증명은 아래와 같습니다. $\left ( A+B \right )^{T}_{ij}=C^{T}_{ij}=C_{ji}=A_{ji}+B_{ji}=A^{T}_{ij}+B^{T}_{ij}$ $\left ( A+B \right )^{T}=A^{T}+B^{T}$ 2023. 8. 18. [고급 행렬 연산] 3. 행렬과 행렬의 곱의 성분을 시그마로 나타내기 아래와 같이 두 행렬이 있습니다. $A=\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n}\\ \vdots & &\vdots \\ A_{m1} & \cdots & A_{mn} \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1p}\\ \vdots & &\vdots \\ B_{n1} & \cdots & B_{np} \end{bmatrix}$ A는 (mxn) 행렬이고 B는 (nxp) 행렬입니다. 따라서 곱셈이 가능하고 곱셈 결과는 (mxp) 행렬이 됩니다. 우리가 구하고 싶은 것은 곱한 결과인 행렬 AB의 성분을 행렬 A와 행렬 B의 성분으로 나타내는 것입니다. 행렬 AB의 성분을 몇개 구해보면 아래와 같습니다. $\left ( AB \.. 2023. 8. 18. [고급 행렬 연산] 2. 벡터 내적의 여러가지 표현방식 아래와 같이 두개의 n차원 벡터가 있습니다. $\vec{a}=\left [ a_{1},\cdots,a_{n} \right ]$ $\vec{b}=\left [ b_{1},\cdots,b_{n} \right ]$ 1) dot 을 이용하여 나타내기 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 2) 행렬의 transpose 를 이용하여 나타내기 벡터의 기본상태는 열벡터로 가정합니다. $\left ( \vec{a} \right )^{T} \vec{b}=\left [ a_{1},\cdots,a_{n} \right ]\begin{bmatrix} b_{1}\\ \vdots\\ b_{n} \end{bmatrix}$ 아래 등식도 성립합니다. $\vec{a}^{T}\vec{b}=\vec{b}^{T}\vec{a}$ 2023. 8. 17. [고급 행렬 연산] 1. 행렬과 벡터의 곱의 성분을 시그마로 나타내기 1. 행렬 X 벡터 아래와 같이 벡터 하나와 행렬 하나가 있다고 합시다. $\vec{a}=\left [ a_{1},\cdots,a_{n} \right ]$ $A=\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n}\\ \vdots & &\vdots \\ A_{m1} & \cdots & A_{mn} \end{bmatrix}$ 벡터는 크기가 n인 열벡터라고 가정하겠습니다. 편의상 행벡터 형태로 나타내긴 했는데 열벡터라고 생각해주세요. 행렬은 m행 n열의 행렬입니다. 아래와 같이 행렬 A와 벡터 a를 곱한 결과를 벡터 b라고 놓겠습니다. $\vec{b}=A\vec{a}$ b는 크기가 n인 열벡터입니다. b의 i번쨰 성분을 $\vec{b}_{i}$ 라고 놓고 $b_{i}$를 벡터 a와 행렬 .. 2023. 8. 17. [벡터의 회전과 행렬] (1) 2차원 평면 벡터의 회전은 벡터의 행렬을 곱하는 것으로 나타낼 수 있습니다. 어떻게 그럴 수 있는지 알아봅시다. x축과의 각도가 $\alpha$ 인 벡터 $(a,b)$를 $\theta$ 만큼 회전한 벡터를 $(c,d)$ 라고 합시다. 두 벡터의 관계를 $\theta$ 에 대해 나타내 볼 것입니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 벡터의 길이를 r이라고 했을 때 a와 b를 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $r\cos \alpha =a$ $r\sin \alpha =b$ c와 d는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $r\cos (\theta+\alpha)=c$ $r\sin (\theta+\alpha)=d$ 위 두 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $r\left ( \cos\theta\cos\alpha-\sin\.. 2023. 5. 24. 이전 1 다음 반응형
