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직선의 방정식10

[5분 고등수학] 정점을 지나는 직선 정점은 정지해 있는 점입니다. 어떤 정점을 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다. 정점의 좌표를 $(a,b)$라고 놓겠습니다. 이 점을 지나는 직선의 방정식은 몇개나 있을까요? 무수히 많습니다. 기울기를 m이라고 한다면, $(a,b)$를 지나는 직선의 방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $y=m(x-a)+b$ m은 모든 실수입니다. 이 수식이 표현할 수 없는 한가지 직선이 있습니다. $x=a$인 직선입니다. m이 무한대로 갈 때 가까워져 가는 직선입니다. 이 직선을 추가해 주변 됩니다. $y=m(x-a)+b$ 또는 $x=a$ 이번에는 항등식을 이용해서 나타내봅시다. 아래와 같이 k에 대한 항등식으로 나타낼 수 있습니다. $(x-a)+k(y-b)=0$ 이 수식으로 표현할 수 없는 하나의 직선이 있습니다.. 2021. 7. 3.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (13) 삼각형의 넓이 삼각형의 넓이 아래 그림과 같이 좌표평면에 세 점 A,B,C로 정의된 삼각형이 있습니다. 이 삼각형의 넓이를 구해봅시다. 공식화하지는 않겠습니다. 원리를 이해해봅시다. 삼각형의 넓이는 '밑변의 길이'와 '높이'를 알면 구할 수 있습니다. 밑변을 선분 BC로 놓으면 밑변의 길이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 이제 높이를 구하면 되는데요. 높이는 점 A와 직선 BC의 거리입니다. 직선 BC의 방정식은 아래와 같이 정의합니다. 이 직선과 점 A 사이의 거리를 구하면 됩니다. 구해진 거리를 h라고 하면 삼각형의 넓이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 9.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (12) 점과 직선 사이의 거리 점과 직선 사이의 거리 아래 그림과 같이 좌표평면에 한 점 p와 직선 l이 있습니다. 점 p에서 직선 l 에 내린 수선의 발을 H라고 하겠습니다. 주어진 값과 구해야하는 값을 먼저 살펴봅시다. 주어진 값 : a, b, c, x1, y1구해야 하는 값 : d 먼저 점과 직선 사이의 길이 d를 P와 H사이의 거리로 표현해봅시다. 이 식에서 x2와 y2를 주어진 값(a,b,c,x1,y1)으로 바꾸어야 합니다. 위 상황에서 성립하는 조건들을 이용하면 됩니다. 먼저 직선 l과 H는 서로 수직이라는 조건이 있습니다. 직선 l의 기울기는 -(a/b) 이고, 직선 PH의 기울기는 (y1-y2)/(x1-x2) 이므로 아래 등식이 성립합니다. 아래와 같이 변형하겠습니다. 이 값을 k라고 놓겠습니다. 아래와 같이 변형할 수.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (11) 두 직선의 교점을 지나는 직선 두 직선의 교점을 지나는 방정식 아래와 같이 두 직선을 정의해봅시다. 두 직선의 교점을 (p,q)라고 합시다. 이 교점을 지나는 직선의 방정식은 무수히 많습니다. 한 점을 지나는 직선의 방정식은 무수히 많아서 그렇습니다. 기울기를 m이라고 한다면, 교점 (p,q)를 지나는 직선의 방정식은 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 하지만 이 방정식을 정의하려면 두 직선의 방정식을 연립하여 교점을 구해주어야 합니다. 귀찮죠. 수학자들이 고민하던 중에 아이디어가 하나 떠올랐습니다. '항등식을 이용해보자' 아래와 같은 항등식을 정의했습니다. k와 상관 없이 항상 성립하는 항등식입니다. 항등식에 대해 조금 더 설명해보겠습니다. k에 대해서 항상 성립해야하기 때문에 빨강식과 파랑식이 동시에 0이 되어야 합니다. 따라서 우.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (10) 선분의 수직이등분선의 방정식 선분의 수직이등분선의 방정식 두 점 A(a,b)와 B(c,d)가 있다고 해봅시다. 두 점을 연결하면 선분 AB를 만들 수 있습니다. 선분 AB를 좌표평면에 그려봅시다. 이 선분의 수직이등분선의 방정식을 구하는 방법을 알아봅시다. 선분 AB의 수직이등분선을 l 이라고 하겠습니다. 선분 AB와 직선 l의 기울기는 서로 수직입니다. 또한 직선 l 은 선분 AB의 중점을 지납니다. 따라서 아래 두 조건이 만족해야 합니다. 1) (직선 l 의 기울기) x (선분 AB의 기울기) = -1 2) 직선 l 이 선분 AB의 중점을 지남 생각 확장 질문 : 직선 l 의 방정식을 y=mx+n 이라고 놓고, 위 두 조건을 수식으로 표현해 봅시다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (9) 두 직선이 수직일 조건 두 직선이 수직일 조건 두 직선의 수직관계는 기울기만으로 결정됩니다. 그쵸? y절편이 위아래로 이동해도 수직이라는 것은 변하지 않습니다. 따라서 y절편이 0인 간단한 형태의 방정식을 가지고 수직일 조건을 찾을 수 있습니다. 서로 수직인 두 직선을 정의해봅시다. 좌표평면에 나타내면 아래와 같습니다. 그림을 먼저 이해해봅시다. 빨간 직선은 (1,m)을 지나구요. 파란직선은 (1,m')을 지납니다. 각각 점 A와 B라고 하겠습니다. 선분 AB를 만들면 직각삼각형이 하나 정의됩니다. 아래와 같은 피타고라스의 정리가 성립합니다. 좌표를 이용하여 표현해봅시다. 좌변을 전개하고 계산해봅시다. 최종적으로 계산된 식은 아래와 같습니다. 두 직선이 서로 수직일 조건은, 두 직선의 기울기를 곱하여 -1이 되는 것입니다. 전.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (8) 두 직선의 위치관계 두 직선의 위치관계 두 직선이 가질 수 있는 위치관계를 생각해봅시다. 두 가지가 떠오릅니다. '만나거나, 만나지 않거나' 두 직선이 만나지 않으려면 평행해야하구요. 만나는 경우는 일치하거나, 한 점에서 만나는 경우가 있습니다. 따라서 아래의 세가지 경우로 나눠지죠. 1) 평행2) 일치3) 한 점에서 만남 한 점에서 만난다는 것에 포함되기는 하지만, 두 직선이 수직할 때를 특수한 경우로 추가해줍시다. 1) 평행2) 일치3) 한 점에서 만남4) 수직 두 직선을 정의할건데요. 표준형만 다루겠습니다. 일반형이 나오면 표준형으로 바꿔서 비교하면 됩니다. 이제 조건을 찾아봅시다. 1. 두 직선이 평행할 조건 기울기가 서로 같고, y절편을 달라야합니다. y절편까지 같으면 일치하게 됩니다. 2. 두 직선이 일치할 조건.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (7) 직선의 방정식의 일반형과 표준형 직선의 방정식의 일반형과 표준형 1. 직선의 방정식의 일반형 직선의 방정식의 일반형은 아래와 같습니다. a와 b가 둘다 0이면 직선이 아니니까요. 둘 중 하나는 0이 아니어야 합니다. 이 방정식으로 모든 직선의 방정식을 표현할 수 있습니다. 2. 직선의 방정식의 표준형 직선의 방정식의 표준형은 아래와 같습니다. 기울기와 y절편을 한눈에 볼 수 있는 형태입니다. x=a라는 y축에 평행한 직선의 방정식은 표현할 수 없습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (6) 좌표축에 수직/평행한 직선의 방정식 좌표축에 수직/평행한 직선의 방정식 1. (a,0)을 지나고 y축에 평행한 방정식 = (a,0)을 지나고 x축에 수직인 방정식 y축에 평행인 것과 x축에 수직인 것은 같은 말입니다. 아래 그림과 같은 직선입니다. 먼저 말로 표현하고 식으로 바꿔봅시다. "x는 항상 a이고, y는 모든 실수인 직선" 식으로 바꾸면 이렇게 될겁니다. x=a (y는 모든 실수) y는 모든 실수를 생략하면 아래 방정식을 얻습니다. 2. (0,b)를 지나고 x축에 평행한 직선 = (0,b)를 지나고 y축에 수직인 직선 x축에 평행인 것과 y축에 수직인 것은 같은 말입니다. 아래 그림과 같은 직선입니다. 먼저 말로 표현하고 식으로 바꿔봅시다. "y는 항상 b이고, x는 모든 실수인 직선" 식으로 바꾸면 이렇게 될겁니다. y=b (x.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (5) 직선의 방정식 만들기 직선의 방정식 만들기 어떤 조건이 주어졌을 때, 그 조건을 이용하여 직선의 방정식을 만들어봅시다. 네 가지 유형이 있습니다. 1. 기울기와 y절편 기울기와 y절편이 주어졌을 때, 직선의 방정식을 만드는 방법입니다. 기울기는 m이고, y절편은 n이라고 놓겠습니다. 직선의 방정식의 표준형 y=ax+b을 이용하여 구하겠습니다. a가 기울기를 나타내므로 a=m입니다. 따라서 직선의 방정식은 아래와 같이 변형됩니다. y절편이 n이므로 위 직선은 (0,n)을 지납니다. 따라서 b=n이 됩니다. 2. 기울기와 한 점 기울기와 한 점이 주어졌을 때 직선의 방정식을 만드는 방법입니다. 기울기는 m이고, 한 점의 좌표는 라고 해봅시다. 직선의 방정식의 표준형 y=ax+b 을이용하여 구하겠습니다. a가 기울기를 나타내므로 .. 2018. 10. 8.

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