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수학(하)/1. 집합과 명제48

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (48) 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식은 프랑스 수학자 코시가 발견했고 독일의 슈바르츠가 수정하고 일반화한 부등식입니다. 겨우 이런 부등식에 거창한 이름이 붙었나 생각하시겠지만, 거창한 이름이 붙은데는 이유가 있습니다. 코시-슈바르츠 부등식은 고등학교 과정에서만 간단히 다뤄지는 것이지 수학에서 굉장히 중요한 부등식입니다. 확률론의 분산,공분산 등 다양한 분야에 적용됩니다. 실제로는 n차 부등식이지만, 가장 간단한 2차부터 다뤄보겠습니다. 모든 변수가 실수라는 조건이 붙습니다. 양수일 필요는 없습니다. 증명을 해봅시다. 양변을 전개하겠습니다. 정리합시다. 완전제곱식으로 정리됩니다. 위와 같이 증명이 되었습니다. 코시슈바르츠 부등식의 등호 성립조건을 구해봅시다. 바로 위의 식에서 부등호가 등호로 바꾸면 .. 2019. 5. 7.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (47) 산술,기하,조화평균의 대소관계 산술,기하,조화평균의 대소관계를 이용한 절대부등식 지난시간에 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)을 배웠습니다. 산술평균을 , 기하평균을 , 조화평균을 라고 하겠습니다. n개의 수에 대한 각각의 평균을 써봅시다. 이러한 평균들의 대소관계를 비교해볼 것입니다. 간단한 상황에서 살펴보기 위해 수가 2개인 경우 부터 시작하겠습니다. 또한 수의 범위를 양수로 제한하겠습니다. 음수를 포함하게 되면 대소관계를 정의할 수 없기 때문입니다. 먼저 산술평균과 기하평균을 비교해봅시다. 산술평균에서 기하평균을 뺴봅시다. 뺀 값이 0보다 같거나 크다는 것을 증명하면 됩니다. 기하평균을 오른쪽 항으로 넘기고 2를 곱한 뒤에 제곱합니다. 우변을 좌변으.. 2019. 5. 2.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (46) 산술,기하,조화평균 무엇인가 산술,기하,조화평균 무엇인가 평균에는 세가지가 있습니다. 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)입니다. 우리가 흔히 알고 있는 평균은 산술평균입니다. 예를들면 시험점수의 평균을 구할 때 사용합니다. 수학이 90점, 영어가 100점이면 평균이 95점입니다. 이때의 평균이 산술평균입니다. 그런데 산술평균만으로는 평균이 표현되지 않는 경우가 있습니다. 2년 전에 제 연봉이 A원이었다고 해봅시다. 작년에는 2배가 올랐구요. 올해는 다시 3배가 올랐습니다. 정리하면 아래와 같습니다. 2년전 : A원1년전 : 2A원올해 : 6A원 매년 평균 몇배가 오른 것일까요? 두배, 그리고 6배가 올랐으니까. 산술평균으로 계산하면 4배입니다. 매년 4.. 2019. 4. 29.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (45) 대표적인 절대 부등식들 대표적인 절대 부등식들 알아두면 좋은 절대부등식들을 알아봅시다. 1) 좌변은 아래와 같은 완전제곱식으로 바꿀 수 있습니다. 완전제곱식은 항상 0보다 같거나 큽니다. 등호는 언제 성립할까요? 에서는 a가 -b일때, 에서는 a가 b일때 성립합니다. 2) 이번 식은 좀 어렵습니다. 변형 방법을 알아야 증명이 가능한데 변형 방법이 쉽게 생각할 수 있는 방법이 아닙니다. 이번 기회에 알고 넘어간다는 생각으로 배워봅시다. 먼저 양변에 2를 곱해줍니다. 그리고 나서 아래와 같이 완전제곱식으로 만들 수 있는 항끼리 모아줍니다. 완전제곱식으로 묶을 수 있는 식들이 보이시죠? 묶어봅시다. 등호는 언제 성립할까요? a=b=c 일 때 성립합니다. 3) 3번의 절대부등식은 a,b,c가 모두 양수일 때 성립합니다. a,b,c가 .. 2019. 4. 21.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (44) 절대부등식 무엇인가 절대부등식 무엇인가 절대부등식은 영어로 absolute inequality 입니다. absolute 는 '제한이 없는' '절대적인' 이라는 뜻인데요. 여기서는 '제한이 없는'이라는 뜻이 더 적당해 보입니다. 절대부등식이 바로 해의 제한이 없는 부등식이기 때문입니다. 모든 x값에 대해서 성립하는 부등식이 바로 절대부등식입니다(x값에 양수 등의 조건이 주어질 수는 있습니다). 절대부등식 하나를 예로 들어보겠습니다. x에 알고 있는 아무 실수나 넣어보세요. 아마 성립할 것입니다. 모든 실수 x에 대해서 부등식이 성립합니다. 변수가 꼭 하나일 필요는 없습니다. 아래와 같은 절대부등식도 가능합니다. 모든 실수 x와 y에 대해 성립합니다. 2019. 4. 18.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (43) 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 식(또는 두 수)의 크기를 비교하는 방법은 세가지가 있습니다. 먼저 두 식이 0보다 크건, 같건, 작건 상관 없이 사용할 수 있는 방법입니다. 두 식을 서로 뺀 뒤 0과 비교해주면 됩니다. 두 식 A와 B가 있다고 해봅시다. 식 A에서 B를 뺐더니 0보다 컸습니다. 식 A와 B중 어느 식이 큰 것일까요. 식 A입니다. 방금 설명한 상황을 명제로 나타내봅시다. A-B>0 이면 A>B이다. 이 명제의 역도 성립합니다. 기호만으로 나타내면 아래와 같습니다. 아래 명제들도 동일하게 성립합니다. 두번째 방법은 두 식이 양수인 경우에만 성립합니다. 두 식 A와 B가 있고, 두 식 모두 0보다 크다고 해봅시다. 두 식을 제곱하여 과 을 얻었습니다. 에서 을 뻈더니 0보다 컸습니다. .. 2019. 4. 16.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (42) 필요충분조건 필요충분조건 'p이면 q이다' 라는 명제가 참이면 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건이라고 한다는 것을 배웠습니다. 만약 'q이면 p이다' 라는 명제도 참이면 어떻게 될까요? p와 q는 서로에게 충분조건이기도 하고, 필요조건이기도 합니다. 이때, p와 q를 서로의 필요충분조건이라고 부릅니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. p는 q이기 위한 필요충분조건q는 p이기 위한 필요충분조건 2019. 4. 10.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (41) 필요조건, 충분조건 필요조건, 충분조건 'p이면 q이다' 라는 명제가 참이면 기호로 아래와 같이 나타냅니다. 이때 p를 q의 충분조건, q를 p의 필요조건이라고 합니다. 왜 충분과 필요라는 말이 붙었을까요? 한가지 예를 살펴봅시다. 'x가 2이면, x는 짝수이다' 라는 명제에서 p명제와 q명제를 구분하면 아래와 같습니다. p: x가 2이다.q: x가 짝수이다. 충분과 필요라는 말은 각 명제가 참이기 위해 다른 명제가 어떤 역할을 하는가에서 나온 말입니다. p가 참이되기 위해 q는 반드시 참이어야 할까요? q가 거짓이면 p가 참일 수 있나요? 절대 없습니다. p가 참이되려면 q가 참이라는 조건이 반드시 필요합니다. 따라서 q는 p의 필요조건이 됩니다. q가 참이려면 p가 꼭 필요할까요? 그렇지 않습니다. x가 4,6,8 등 .. 2019. 4. 9.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (40) p이면 q이다 참일 떄 기호 p이면 q이다 참일 떄 기호 'p이면 q이다' 라는 명제를 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 이 명제가 참일 때는 아래와 같이 나타냅니다. 'p이면 q이다' 도 참이고, 'q이면 p이다'도 참이면 어떻게 나타낼까요? 이렇게 나타냅니다. 2019. 4. 3.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (39) 증명 방법 (직접법 vs 간접법) 증명 방법 (직접법 vs 간접법) p 이면 q이다 명제를 증명하는 방법은 두가지가 있습니다. 1. 직접증명법2. 간접증명법 직접증명법은 가정에서 출발하여 결론에 도달해가는 방법입니다. 보통 직접증명법으로 증명을 먼저 시도합니다. 직접증명법으로 증명이 되지 않는 경우가 있습니다. 이럴때는 사용하는 방법이 간접증명법입니다. 간접증명법 중에서 대표적인 방법 두가지를 소개하겠습니다. 1. 대우를 이용한 증명법2. 귀류법 어떤 명제가 참이면 그 명제의 대우명제도 참입니다. 반대로 대우명제가 참이면 어떤 명제도 참입니다. 대우 명제가 참인 것을 증명하면 어떤 명제가 참임을 증명한 것입니다. 귀류법은 결론을 부정하고 가정에 모순이 됨을 보임으로써 본 명제가 참임을 증명합니다. 유명한 예는 '는 유리수가 아니다.'의 .. 2019. 3. 28.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (38) 증명이란 무엇인가 증명이란 무엇인가 증명은 어떤 명제가 참임을 설명하는 것입니다. 아무 가정도 없는 상태로 명제를 증명하는 것은 불가능하기 때문에 여러가지 기본적인 가정에서 출발합니다. 이러한 기본적인 가정들을 공리(AXIOM)이라고 부릅니다. 너무 당연해서 증명하기 어려운 명제들입니다. 공리들을 가정하고, 가정한 공리들을 이용하여 해당 명제가 참임을 보이는 것이 증명입니다. 참이라는 것이 밝혀진 명제를 정리(Theorem)라고 부릅니다. 2019. 3. 27.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (37) 삼단논법 삼단논법 논법은 말이나 생각을 논리적으로 전개해 나가는 방법입니다. 삼단논법은 세 단계로 이루어진 논법인데, 2개의 전제와 1개의 결론으로 구성됩니다. 유명한 예를 하나 보여드리겠습니다. 소크라테스는 인간이다. 인간은 모두 죽는다. 따라서 소크라테는 죽는다. 앞의 두 전제가 참이면 결론도 참이 되는 논법입니다. 이 삼단논법을 'p이면 q이다' 명제로 나타낼 수 있습니다. p → q 가 참이고,q → r 가 참이면,p → r 도 참이다. 2019. 3. 6.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (36) p → q 명제의 역과 대우의 참,거짓 p → q 명제의 역과 대우 'p이면 q이다' 라는 명제가 참이라면 아래와 같은 관계가 성립합니다. (P와 Q는 조건 p와 q의 진리집합입니다.) 집합 P가 Q에 포함된다면 아래 관계도 성립합니다. 따라서 아래 명제도 성립합니다. '~q 이면 ~p이다' 이 명제는 명제 'p이면 q이다'의 대우입니다. 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 어떤 명제가 참이면 그 명제의 대우도 참이다. 같은 이유에서 문장도 참입니다. 어떤 명제가 거짓이면 그 명제의 대우도 거짓이다. 2019. 3. 5.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (35) p → q 명제의 역과 대우 p → q 명제의 역과 대우 'p이면 q이다' 명제에서 p는 조건, q는 결론이라고 배웠었습니다. 예를 들어봅시다. x가 홀수이면 x+1은 짝수이다. 이 명제의 조건과 결론을 바꿔봅시다. x+1이 짝수이면, x가 홀수이다. 이 명제를 원래 명제의 '역'이라고 합니다. 이번에는 역인 명제의 조건과 결론을 부정해봅시다. x+1이 짝수가 아니면, x가 홀수가 아니다. 이 명제를 원래 명제의 '대우'라고 합니다. 정리해봅시다. 명제 p → q역 q → p대우 ~q → ~p 2019. 2. 27.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (34) '모든' 또는 '어떤'이 들어 있는 명제의 부정 '모든' 또는 '어떤'이 들어 있는 명제의 부정 명제에 '모든'이 들어있는 경우를 생각해봅시다. 예를들면 이런 명제가 있을 수 있습니다. 이 방에 있는 사람은 모두 남자다. 이 문장을 부정해봅시다. 아래 두 문장 중 어느 문장이 위 문장의 부정일지 생각해 봅시다. ① 이 방에 있는 사람이 모두 남자이지는 않다. ② 이 방에 있는 사람은 모두 남자가 아니다. 첫번째 문장입니다. 예시 문장을 부정하기 위해 모든 사람이 남자가 아닐 필요는 없습니다. 남자가 아닌 사람이 한명만 있어도 위 문장은 부정됩니다. 1번 문장을 의미가 같은 다른 문장으로 표현해봅시다. 이 방에 있는 어떤 사람은 남자가 아니다. '모든'이 '어떤'으로, '남자다'가 '남자가 아니다'로 바뀌었습니다. 이번에는 '어떤'이 들어있는 경우를 생.. 2019. 2. 26.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (33) '모든' 또는 '어떤'이 들어 있는 명제의 참 거짓 '모든' 또는 '어떤'이 들어 있는 명제의 참 거짓 명제에 '모든'이라는 단어가 들어있는 경우를 생각해봅시다. 예를들면 이런 명제가 있을 수 있습니다. 모든 x에 대하여 x>0 이다. 아직 참과 거짓을 밝힐 수 없기 때문에 엄밀히 말하면 명제는 아닙니다. 조건을 추가하여 명제로 만들어 봅시다. 전체집합 U={-1,2,3,4,5}이고 x는 U의 원소일 때,모든 x에 대하여 x>0 이다. 위 명제는 거짓입니다. -1이라는 반례가 있기 때문입니다. 진리집합을 구해보면 P={2,3,4,5}입니다. 만약 위 명제가 참이려면 진리집합이 전체집합과 같아야 합니다. 따라서 '모든'이 포함되어 있는 명제의 참/거짓 여부는 전체집합과 진리집합을 비교하여 구할 수도 있습니다. '모든'이 들어있는 명제에서,if(전체집합 = .. 2019. 2. 21.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (32) p->q 명제의 참과 거짓과 진리집합 p->q 명제의 참과 거짓과 진리집합 지난시간에 p->q 명제의 반례를 배웠습니다. '조건 p에는 속하지만 q에는 속하지 않는 원소' 였어요. 기억이 안나시는 분들은 이전 글을 복습합시다. 반례가 있다면 명제는 거짓이 됩니다. 반대로 반례가 없다면 명제는 참이 되죠. p->q 명제가 참이려면 반례가 없으면 됩니다. '조건 p에는 속하지만 q에는 속하지 않는 원소' 가 없으면 되는 것입니다. p에 속하는 원소는 모두 q에 속한다면 p->q 명제는 참입니다. p에 속하는 원소가 모두 q에 속한다는 것은 진리집합 P가 진리집합 Q에 포함된다는 것입니다. 따라서 아래 두 명제가 참입니다. p->q가 참이면 P⊂Q 이다. P⊂Q이면 p->q가 참이다. 반례가 존재하면 p->q는 거짓입니다. 반례가 존재한다는 것은.. 2019. 2. 11.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (31) p->q 명제의 반례 p->q 명제의 반례 반례의 '반反'은 한자로 뒤엎을(반), 어긋날(반) 입니다. 명제가 참이 되는 것을 뒤엎는, 명제가 참이 되는 것을 어긋나게 하는 예를 반례라고 합니다. 영어로는 counter example 입니다. 'p이면 q이다' 라는 명제를 하나 가져와봅시다. 이면 이다. 이 명제는 참일까요. 거짓일까요. 을 만족하는 x는 1과 -1이기 때문에 거짓인 명제입니다. 이 명제가 거짓인 이유는 x가 -1이 될 수도 있기 때문입니다. x=-1이 바로 반례입니다. 반례의 특징을 생각해봅시다. 이라는 조건 p의 진리집합은 {1,-1}입니다. 조건 q의 진리집합은 {1}입니다. 따라서 우리는 'p이면 q이다'라는 명제의 반례를 조건 p에는 속하지만 q에는 속하지 않는 원소라고 말할 수 있습니다. 진리집합 .. 2019. 2. 11.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (30) 'p이면 q 이다' 꼴의 명제 (30) 'p이면 q 이다' 꼴의 명제 오늘은 특별한 형태의 명제를 배워봅시다. 두 조건으로 이루어진 명제입니다. 두 조건을 p와 q로 놓읍시다. 이 두 조건으로 명제를 만들 수 있습니다. 'p이면 q이다.' 잘 와닿지는 않습니다. 예를 한번 들어봅시다. p: x는 3이다.q: x는 2보다 크고 10보다 작은 홀수이다. 두 문장은 조건입니다. 조건은 x값에 따라서 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 문장이나 식입니다. 이 두 조건을 이용해서 'p이면 q이다' 라는 명제를 만들어 봅시다. 'x는 3이면, x는 2보다 크고 10보다 작은 홀수이다.' 참 거짓을 판별해 봅시다. 참입니다. 참과 거짓을 분명하게 판별할 수 있기 때문에 '명제'가 맞네요. 두 조건으로 이루어진 명제 'p이면 q이다'를 기호로 나.. 2019. 2. 7.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (29) 조건에서 '또는'과 '그리고' 조건에서 '또는'과 '그리고' '또는'과 '그리고'는 집합에서 이미 한번 다루었던 내용입니다. '또는'은 합집합을 조건제시법으로 표현할 때 사용했었구요. "그리고"는 교집합을 표현할 때 사용했었습니다. 이번에는 '또는'과 '그리고'를 조건에 적용해 봅시다. 두 조건 p와 q가 있습니다. p를 만족하는 x의 집합, 즉 p의 진리집합은 P이구요. q의 진리집합은 Q라고 하겠습니다. 조건 p 또는 q의 진리집합은 무엇일까요. p를 만족하거나, q를 만족하면 되므로 P∪Q 입니다. 조건 p 그리고 q의 진리집합은 무엇일까요. p와 q를 동시에 만족해야 하므로 P∩Q 입니다. 이번에는 '부정'을 추가해봅시다. (p 또는 q) 의 부정은 무엇일까요. (p 또는 q)가 아닌 조건을 의미하구요. 기호로는 ~(p or .. 2019. 2. 4.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (28) 조건의 부정 조건의 부정 지지난 시간에 '조건'을 배웠고 지난 시간에 '진리집합'을 배웠습니다. 오늘은 이 두 개념을 이용하여 조건의 부정을 배워봅시다. 조건을 하나 만들어봅시다. 이 조건을 p라고 하겠습니다. p(x) : x는 홀수이다. 이 조건을 부정한다는 것은 이조건을 반대로 말하면 됩니다. 기호로는 ~p 로 쓰고 물결(~)은 영어로 not을 의미합니다. ~p(x) : x는 홀수가 아니다. 이번에는 조건의 부정을 진리집합과 연관지어 봅시다. 전체집합을 먼저 정의하겠습니다. 조건 p를 만족하는 진리집합 P는 아래와 같습니다. 조건 p의 부정인 ~p를 만족하는 진리집합은 아래와 같습니다. ~p의 진리집합은 P의 여집합과 같습니다. 한가지만 더 알아보겠습니다. 조건 p의 부정의 부정은 무엇일까요. ~(~p) 니까 p.. 2019. 2. 4.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (27) 진리집합 진리집합 지난시간에 '조건'을 배웠습니다. 일상에서 사용하는 조건이 아니라 수학에서의 조건입니다. 조건 p를 하나 만들어봅시다. p(x) : x 는 홀수이다. 이 조건이 전체집합 U에서 정의됐다고 해봅시다. 이 조건이 전체집합 U에서 정의되었다는 말은 x가 전체집합에 속한 원소의 값만을 가질 수 있다는 의미입니다. 전체집합은 아래와 같이 정의합시다. U={1,2,3,4,5,6} 전체집합의 원소들 중에는 조건 p를 참이되게 하는 원소도 있고, 거짓이 되게 하는 원소도 있습니다. 이 원소들을 각각 집합으로 표현해봅시다. 조건 p가 참이 되게 하는 원소들의 집합 = {1,3,5}조건 p가 거짓이 되게 하는 원소들의 집합 = {2,4,6} 이 두 집합 중 조건 p가 참이되게 하는 집합을 조건 p의 진리집합이라고.. 2019. 1. 30.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (26) 조건이란 무엇인가 조건이란 무엇인가 조건은 한자로 가지(조) 물건(건)입니다. 영어로는 condition이구요. 우리는 조건이라는 단어를 이런 상황에서 사용합니다. 학생들 : 선생님 아이스크림 사주세요~선생님 : 오케이, 대신 조건이 있다. 이번 중간고사 반평균이 80점을 넘으면 사주도록 하지. 또다른 예를 들어봅시다. 악당 : 널 죽여버리겠다.사람 : 살려주세요.악당 : 대신 조건이 있다. 돈 천만원을 가져오면 죽이지 않겠다. 첫번째 예시에서는 조건을 만족하면 사건이 일어나고, 두번째 예시에서는 조건을 만족하면 사건이 일어나지 않습니다. 따라서 조건은 '사건이 일어나거나 일어나지 않게하는데 필요한 요소'입니다. 수학에서 등장하는 조건은 어떨까요? 수학에서 조건은 x값에 따라 참인 명제가 될 수도 있고 거짓인 명제가 될 .. 2019. 1. 29.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (25) 명제의 부정 명제의 부정 부정은 아니(부)와 바를(정)입니다. 직역하면 바르지 않다는 뜻인데요. 어떤 명제의 부정은 반대를 의미합니다. 예를들어 '지구는 태양 주위를 돈다'의 부정은 '지구는 태양 주위를 돌지 않는다'입니다. 이 명제를 기호 p로 나타내봅시다. p : 지구는 태양 주위를 돈다. 부정을 나타내는 기호는 ~ 입니다. 영어로는 not 을 의미합니다. 따라서 위 명제 p의 부정은 아래와 같습니다. ~p : 지구는 태양 주위를 돌지 않는다. 만약 어떤 명제가 참이라면 그 명제의 부정은 어떻게 될까요? 참인 명제의 반대이므로 거짓이 됩니다. p : 지구는 태양 주위를 돈다. (참)~p : 지구는 태양 주위를 돌지 않는다. (거짓) 반대로 어떤 명제가 거짓이라면 그 명제의 부정은 참이 됩니다. 어떤 명제 p에 부.. 2019. 1. 28.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (24) 명제란 무엇인가 명제란 무엇인가 명제는 한자어입니다. 목숨(명)과 제목(제)입니다. 목숨제목? 전혀 와닿지 않습니다. 한자어인 '명제'는 일상에서 자주 쓰이지 않습니다. 영어로는 proposition입니다. 사업상의 제의라는 뜻으로 쓰입니다. 명제는 한자어의 그 이름뜻이나 영어의 의미와는 구별되는 수학적인 의미가 있습니다. 정확한 유래를 알 수는 없지만 '어떤 수학적인 의미'를 '명제' 또는 'proposition'이라는 이름껍데기에 담은 것입니다. 수학에서 명제의 의미은 다음과 같습니다. '참과 거짓을 명확하게 가릴 수 있는 문장 또는 식' 명제는 문장이나 식으로 표현됩니다. 모든 문장이나 식이 명제는 아닙니다. 한가지 조건이 붙습니다. 참과 거짓을 명확하게 가릴 수 있어야 한다는 것입니다. 예를 들어 아래 문장은 명.. 2019. 1. 28.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (23) 대칭차집합 대칭차집합 A와 B라는 두 집합이 있는데, 겹치지 않는 부분만 기호로 나타내고 싶었습니다. 어떻게 하면 될까요? A와 B의 합집합에서 가운데 부분이 비어있는 집합입니다. 먼저 떠오르는 생각은, 합집합에서 교집합을 빼는 것입니다. 다른 방법도 있을까요? 차집합을 이용해도 표현할 수 있습니다. A에서 B를 뺀 집합과, B에서 A를 뺀 집합을 합해주면 됩니다. 방법이 더 있을지 생각해봅시다. 한 가지 방법이 더 떠올랐어요. (A와 B의 합집합)과 (A와 B의 교집합의 여집합)을 상상해봅시다. 둘의 겹치는 부분이 보이시나요? 우리는 지금까지 같은 집합을 다른 방법으로 표현해보았습니다. A집합과 B집합에서 겹치지 않는 부분으로 이루어진 집합이지요. 이 집합을 대칭차집합이라고 부릅니다. 벤다이어그램에서 보면 차집합.. 2019. 1. 14.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 *(22) 배수집합 배수집합 집합을 발견하고 가지고 놀던 사람들은 '어떤 자연수의 배수'로 이루어진 집합을 만들어내기에 이릅니다. 예를들면 2의 배수로 이루어진 집합 {2,4,6,8,10,...} 따위입니다. 원소가 무수히 많을테니 무한집합에 속합니다. 중괄호 안에 몇개의 원소를 적고 점세개를 찍는 것은 귀찮은 일입니다. 귀찮은걸 싫어하는건 인간의 본능이죠. 어떤 수 k의 배수로 이루어진 집합을 기호 로 나타내기로 합의를 봅시다. 익숙해져야 하니까 몇가지 예를 들어드릴게요. 배수집합이 무엇인지 알았으니, 배수집합을 가지고 재밌는 것들을 해봅시다. 여기 세개의 배수집합이 있습니다. 집합이니까 연산이 가능합니다. 교집합, 합집합 등을 구할수 있다는 말입니다. m의 배수집합과 n의 배수집합의 교집합을 구했더니 k의 배수집합이 나.. 2019. 1. 13.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (21) 원소의 개수 - 차집합 원소의 개수 - 차집합 이런 상황을 가정해 봅시다. 집합 A와 집합 B가 있구요. 우리는 집합 A의 원소의 개수와 집합 A와 B의 교집합의 원소의 개수를 알고 있습니다. 이 정보들로 A와 B의 차집합을 구해야하는 상황입니다. 집합 A의 원소개수에서 집합 A와 B의 교집합 원소 개수를 빼면 됩니다. 또 다른 상황을 가정해봅시다. 이번에는 집합 B의 원소개수와 집합 A와 B의 합집합의 원소의 개수를 알고 있습니다. 이 정보들로 A와 B의 차집합을 구해봅시다. 집합 A와 B의 합집합의 원소개수에서 집합 B의 원소개수를 빼주면 됩니다. 2019. 1. 13.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제(20) 원소의 개수 - 여집합 원소의 개수 - 여집합 이런 상황을 가정해 봅시다. 집합 U와 A가 있구요. 우리는 집합 U의 원소 개수, 집합 A의 원소 개수를 알고 있습니다. 이 정보들로 A의 여집합을 구해야하는 상황입니다. 너무 쉽죠? 전체 집합의 개수에서 집합 A의 개수를 빼면 됩니다. 2019. 1. 13.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제(19) 원소의 개수 - 합집합 원소의 개수 - 합집합 이런 상황을 가정해 봅시다. 집합 A와 B가 있구요. 우리는 집합 A의 원소 개수, 집합 B의 원소 개수, 집합 A와 B의 교집합의 원소 개수를 알고 있습니다. 이 정보들로 합집합을 구해야하는 상황입니다. 집합 A와 B의 합집합을 상상해봅시다. A와 B가 합쳐질 때 A와 B중 한쪽은 교집합 만큼을 떼어내야 합니다. 머리속에 집합 A와 B를 떠올립시다. 이제 교집합 부분을 B에서 떼어냅시다. 이제 B는 한입 베어문 사과처럼 한쪽이 파여 있습니다. B를 A와 붙이게 되면 A와 B의 합집합이 됩니다. 이 과정을 식으로 나타내 봅시다. 이제 우리는 합집합의 원소의 개수를 구할 수 있게 되었습니다. 이번에는 상황을 좀 더 복잡하게 만들어봅시다. 집합 A,B,C 가 있습니다. 셋다 서로 겹치.. 2019. 1. 9.
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