본문 바로가기
반응형

고등수학340

[5분 고등수학] 무리수 e는 어떻게 발견되었을까? 여러분이 잘 아는 대표적인 무리수는 파이가 있습니다. 파이는 약 3.14라는 값을 갖습니다. 파이만큼 중요한 무리수가 하나 더 있는데요. 바로 e입니다. 이 무리수는 약 2.718이라는 값을 갖습니다. 이 무리수의 다른 이름은 아래와 같습니다. - 오일러 수 - 네이피어 상수 - 자연상수 오일러, 네이피어는 사람이름입니다. 오일러는 이 수에 e라는 이름을 붙였고, 이 수가 무리수라는 것을 증명했습니다. 네이피어는 e를 자연로그의 밑으로 사용했습니다. 자연상수라는 이름은 왜 붙여진걸까요? 그 이유는 무리수 e가 사람이 억지로(?) 만들어낸 수가 아니라 자연에서 혹은 우리 삶에서 발견된 수 이기 때문입니다. 어떤 상황에서 무리수 e가 발견되었는지 알아봅시다. e라는 이름이 붙어있던 시절은 아니지만, 이 수를.. 2021. 11. 22.
[5분 고등수학] 포물선과 직선의 넓이 공식 미적분의 기본정리를 이용하면 함수의 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다. 물론 어려운 경우도 있는데 구분구적법을 사용했을 때에 비하면 쉽습니다. 2차함수인 포물선과 1차함수인 직선이 만나면 닫힌영역이 생기는데요. 미적분의 기본정리를 이용하여 이 영역의 넓이를 구하는 방법을 알아봅시다. 아래와 같이 세가지 경우가 있습니다. 1) 포물선과 x축의 만남 2) 포물선과 직선의 만남 3) 두 포물선의 만남 오늘은 첫번째 경우를 알아봅시다. 1) 포물선과 x축의 만남 포물선이 위로 볼록일 수도 있고, 아래로 볼록일 수도 있으므로 아래와 같은 두가지 경우로 나뉩니다. 포물선의 방정식은 아래와 같습니다. $y=ax^{2}+bx+c$ 교점을 아래와 같이 놓겠습니다. $\alpha, \beta$ 각 넓이를 적분으로 표현하면 아.. 2021. 11. 19.
[5분 고등수학] 정적분과 급수 구분구적법을 기호로 표현한 식이 정적분입니다. 정적분은 아래와 같이 정의됩니다. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$ 적분이 미분의 역과정이라서, 미분과 관련이 있을 것이라 생각할 수도 있는데요. 위 정의는 미분과는 상관 없는 정의입니다. 미분의 역과정은 '부정적분'이고, 정적분은 단지 위 수식과 같이 정의된 것일 뿐입니다. 위 식의 우변은 무한급수입니다. 함수에서 구하고 싶은 부분을 잘게 쪼개서 전부 더해준 형태입니다. 좌변은 한가지 형태가 아니라 다양한 형태로 표현이 가능한데요. 오늘은 무한급수로 표현된 수식(우변)을 정적분 형태(.. 2021. 11. 18.
[5분 고등수학] 미적분의 기본정리 우리는 지난 글에서 정적분과 미분의 관계를 배운 상태입니다. 정적분과 미분의 관계는 아래와 같습니다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 $a \leq x \leq b$ 일 때, 아래 등식이 성립한다 . $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$ 위 등식을 이용하여 미적분의 기본정리를 증명합니다. 위 등식이 미적분의 기본정리 1 이고, 오늘 유도할 등식은 미적분의 기본정리 2입니다. 고등학교 과정에서는 오늘 유도하는 등식만 미적분의 기본정리라고 부릅니다. 고교과정 대학 정적분과 미분의 관계 미적분의 기본정리 1 미적분의 기본정리 : 미적분의 기본정리 2 우리는 고등학생이므로 오늘 배울 수식을 미적분의 기본정리라고 부르겠습니다. 미적분의 기본정리는 아래와 같습니다. 함.. 2021. 11. 17.
[5분 고등수학] 정적분과 미분의 관계 (뉴턴이 심멎한 그 수식) 지난시간에 정적분을 배웠습니다. 정적분은 함수의 '넓이'를 기호로 나타낸 것입니다. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$ 정적분을 가지고 놀던 중 아이작 뉴튼은 한가지 놀라운 발견을 합니다. 이 발견을 하고 뉴턴은 이렇게 말합니다. "와...심장이 멎는 줄 알았어" 여러분도 제대로 이해한게 맞다면 비슷한 경험을 하게 되실겁니다. 뉴튼이 발견한 것은 아래와 같습니다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 $a \leq x \leq b$ 일 때, 아래 등식이 성립한다 . $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=.. 2021. 11. 16.
[5분 고등수학] 정적분의 정의 정적분에서 '정'은 정해졌다는 의미입니다. 부정적분은 정해지지 않은 적분을 말합니다. 무엇이 정해졌고 정해지지 않은 걸까요? 그 무엇은 바로 '적분구간'입니다. 부정적분은 미분의 반대개념입니다. F(x)+c → f(x) f(x) → F(x)+c 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $\int f(x)dx=F(x)+c$ 부정적분은 미분에서 나온 개념입니다. 접선의 기울기를 구하는 과정에서 미분이 등장하게 되었고, 미분의 반대개념을 생각하다가 부정정분이 등장했습니다. 반면 정적분은 미분과 전혀 상관없이 발견되었습니다. 정적분을 부정적분에서 구간이 추가된 것으로 이해하는 경우가 있는데 둘은 완전히 다른 과정에서 발견되었습니다. 부정적분은 함수의 넓이를 구하는 과정에서 등장했습니다. 구분구적법에서 분할 수 n을 무.. 2021. 11. 15.
[5분 고등수학] 삼차방정식의 근의 판별 3차방정식의 근의 판별을 배워봅시다. 삼차방정식에서 근의 '개수와 종류'를 판별하는 것입니다. 물론 근을 직접 구해보면 알 수 있지만, 근의 정확한 값이 아니라 개수만 알기 원하는 경우 사용할 수 있는 편리한 방법이 있습니다. 바로 '극값'을 이용하여 근의 개수를 판별하는 것입니다. 극값에는 극댓값과 극솟값이 있습니다. 극댓값과 극솟값의 부호를 이용하여 근의 개수를 판별합니다. 삼차방정식이므로 최대 세개의 근을 가질 수 있습니다. 근의 개수의 종류는 아래와 같습니다. 1) 서로 다른 세 근 2) 이중근과 다른 한 실근 3) 한 실근과 두 허근 하나씩 알아봅시다. 1) 서로 다른 세 근 서로 다른 세 실근이 존재하는 경우는 아래 그림과 같습니다. 극값의 입장에서 설명해봅시다. 위 그래프는 극댓값과 극솟값의.. 2021. 11. 12.
[5분 고등수학] 평균값 정리 우리는 아래 세개의 정리를 배운 상태입니다 . - 최대최소의 정리 - 사잇값정리 - 롤의 정리 오늘은 평균값 정리를 배워봅시다. 위 세 정리도 고등학교 수준에서 증명하기 어려웠는데 평균값 정리도 그렇습니다. 평균값 정리가 무엇인지 이해만 해봅시다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능하다고 합시다. 예를 들면 아래와 같은 함수입니다. 이때 아래와 같은 평균변화율을 정의할 수 있습니다. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 이 평균변화율과 같은 미분계수 f'(c) 를 갖는 c가 가 구간 (a,b) 에 적어도 하나 존재한다는 정리가 평균값 정리입니다. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 평균값 정리를 쉽게.. 2021. 11. 11.
[5분 고등수학] 롤의 정리 롤의 정리에서 '롤'은 사람 이름입니다. 미쉘 롤(Michell rolle)이 증명한 정리라서 미쉘 롤의 이름을 따서 지었습니다. 최대최소의 정리, 사잇값정리도 고등학교 수준에서 증명하기 어려웠는데 롤의 정리도 그렇습니다. 롤의 정리가 무엇인지 이해만 해봅시다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, (a,b)에서 미분가능하다고 합시다. 예를 들면 아래와 같은 함수입니다. 이때 f(a)와 f(b)가 같다면, 즉 f(a)=f(b)라면 f'(c)=0인 c가 구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다는 것이 롤의 정리입니다. 아래 그림을 보면 당연히 성립한다는 것을 직관적으로 알 수 있습니다. 이런 의문이 드는 분이 계실 수 있습니다. 연속이기만 하면 되는거 아니야? 안됩니다. 아래와 같은 반례가 존재.. 2021. 11. 10.
[5분 고등수학] 함수 y=f(x)^n 의 미분 유도하기 오늘은 아래 함수를 미분하는 방법을 알아봅시다. $y=\left \{ f(x) \right \}^{n}$ 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \left \{ f(x+h) \right \}^{n}-\left \{ f(x) \right \}^{n} }{h}$ 우변을 인수분해합시다. 아래와 같은 원리를 적용할 것입니다. $a^{b}-b^{n}=(a-b)\left ( a^{n-1}+a^{n-1}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1} \right )$ 우리가 유도하던 식에 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \left \{ f(x+h)-f(x) \right \} \l.. 2021. 11. 9.
[5분 고등수학] 도함수의 정의 도함수가 무엇인지 알아봅시다. 함수 f(x)가 있을 때, x=a에서의 미분계수의 정의는 아래와 같습니다. $f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a에서의 순간변화율이라고도 부르고, a에서의 미분계수라고도 부릅니다. 여기서 a자리에 변수 x를 넣으면 함수가 됩니다. 이 함수를 도함수라고 부릅니다. $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 조건이 필요하겠죠? f(x)가 미분가능한 함수여야 합니다. 도함수가 무엇인지 정리해봅시다. y=f(x)가 미분가능할 때, f(x) 도함수는 아래와 같이 정의됩니다. $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 도함수는 $f'(.. 2021. 11. 8.
[5분 고등수학] 함수가 연속일 조건 우리는 함수 f(x)가 x=a에서 극한값을 가질 조건은 배운 상태입니다. 아래와 같습니다. $\lim_{x\rightarrow a+0 }f(x)=\lim_{x\rightarrow a-0 }f(x)$ x=a에서의 좌극한과 우극한이 존재하고, 두 값이 같아야 합니다. 연속일 조건은 극한이 존재할 조건에서 한가지 조건이 추가됩니다. "극한값과 함수값이 같다" 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ 극한값이 존재한다는 것과 연속이라는 것이 어떻게 다른지 알기 위해 아래 세 그림을 비교해봅시다. 첫번째 그림은 극한값도 존재하지 않고 연속도 아닌 경우입니다. 두번째 그림은 극한값은 존재하지만 연속이 아닌 경우입니다. 세번째 그림은 극한값도 존재하고 연속이기도한.. 2021. 11. 3.
[5분 고등수학] 극한 미정계수 결정 시 사용하는 성질 두 함수 f(x)와 g(x)가 아래 수식을 만족한다고 합시다. $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$ 이때, 아래 두가지 성질을 만족합니다. 이 성질이 미정계수를 결정할 때 사용됩니다. 여기서 미정계수란 정해지지 않은 '계수'를 의미하는데, 일차식을 예로 들면 ax+b 에서 a를 말합니다. f(x) 혹은 g(x)에 미정계수가 있는 경우, 미정계수를 구할 때 사용되는 성질들입니다. 1) $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 이면, $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ 이다. 2) $L\neq 0, \ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ 이면, $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 이다. 하나씩 증명해봅시다.. 2021. 11. 2.
[5분 고등수학] 함수의 극한값이 존재할 조건 함수 f(x)가 x=a에서 극한값을 가질 조건을 알아봅시다. 아래 두가지 조건을 모두 만족해야 합니다. 1) x=a에서 우극한과 좌극한이 존재 2) x=a에서 우극한과 좌극한이 같음 하나씩 자세히 알아봅시다. 1) x=a에서 우극한과 좌극한이 존재 x=a에서의 우극한은 x가 a보다 큰 값에서 a에 가까워져 갈 때 f(x)의 극한값입니다. 아래와 같이 표현됩니다. $\lim_{x\rightarrow a+0 }f(x)$ x=a에서의 좌극한은 x가 a보다 작은 값에서 a에 가까워져 갈 때 f(x)의 극한값입니다. 아래와 같이 표현됩니다. $\lim_{x\rightarrow a-0 }f(x)$ 이 두 값이 존재해야합니다. 발산하는 것이 아니라 수렴값이 존재해야 합니다. $\lim_{x\rightarrow a+0.. 2021. 11. 1.
[5분 고등수학] 순환소수 공식 유도 순환소수는 기약분수 형태로 변형할 수 있습니다. 순환소수의 형태에 따른 세가지 종류의 공식이 있습니다. 1) $0.\dot{a}b\dot{c}=\frac{abc}{999}$ 2) $0.a\dot{b}\dot{c}=\frac{abc-a}{990}$ 3) $0.ab\dot{c}=\frac{abc-ab}{900}$ 하나씩 유도해봅시다. 1) $0.\dot{a}b\dot{c}=\frac{abc}{999}$ 위 순환소수는 아래와 같이 반복됩니다. $0.\dot{a}b\dot{c}=0.abcabc...$ 이 값을 X라고 놓겠습니다. $X=0.abcabc...$ 양변에 1000을 곱합시다. $1000X=abc.abc...$ 아래 식에서 위 식을 빼줍니다. $999X=abc$ X에 대해서 정리합니다. $X=\frac{.. 2021. 10. 29.
[5분 고등수학] 급수와 수열의 극한의 관계(반드시 기억해야하는 명제) 수열의 모든 항을 더한 것을 '급수'라고 합니다. 영어로는 series 입니다. 수열의 모든 항을 더한 것을 수식으로 어떻게 나타낼까요? 아래와 같이 나타내면 될까요? $\sum_{k=1}^{n}a_{n}$ n번째 항까지만 더한 것이라서 모든 항을 더한 것은 아닙니다. n을 무한대로 보내면 모든 항의 합이 됩니다. $\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{n}$ 따라서 급수는 수열의 합의 극한이라고 할 수 있습니다. 급수를 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다. $\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$ 일반적으로 수열의 합을 $S_{n}$으로 나타내므로, 급수를 아래와 같이 쓸 수도 있습니다. $\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}$ 급수를 나.. 2021. 10. 28.
[5분 고등수학] 등비수열의 수렴과 발산 등비수열에서 공비의 범위에 따른 수렴과 발산 여부를 공부해봅시다. 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열의 일반항은 아래와 같습니다. $a_{n}=ar^{n-1}$ 수열의 극한은 아래와 같이 표현합니다. $\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}$ r의 범위는 아래와 같이 다섯개로 나눌 수 있습니다. $r>-1 \qquad r=-1 \qquad -1 2021. 10. 27.
[5분 고등수학] 상용로그의 정수부분 상용로그는 밑이 10인 로그를 말합니다. 양수 N의 상용로그는 아래와 같습니다. $\log_{10}N$ 고등수학 과정에서는 10을 생략하여 나타냅니다. $\log N$ 이 로그의 정수부분을 n, 소수부분을 $\alpha$라고 한다면 아래와 같은 등식을 세울 수 있습니다. $\log N=n+\alpha \ (0 \leq \alpha 2021. 10. 25.
[5분 고등수학] 로그의 성질 증명 (2) 로그의 성질 두번째 시간입니다. 지난 글에서는 아래 다섯가지 성질을 유도했습니다. 1) $\log_{a}1=0$ 2) $\log_{a}a=1$ 3) $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$ 4) $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$ 5) $\log_{a}x^{n}=n\log_{a}x$ 또한 두가지 밑변환 공식도 유도했습니다. 오늘은 아래 여섯가지 성질을 유도하겠습니다. 증명에 위 성질들이 사용됩니다. 6) $\log_{a}b\cdot \log_{b}a=1 \ (a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1)$ 7) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=1 \ (a,b,c>0 \ and \ a,b,c\neq 1)$ 8) $\lo.. 2021. 10. 22.
[5분 고등수학] 로그의 밑 변환 공식 로그의 밑 변환 공식은 아래와 같습니다. 1) $\log_{a}b=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}a}$ 2) $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$ 하나씩 증명해봅시다. 1) $\log_{a}b=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}a}$ 아래와 같이 두 로그를 각각 x와 y로 놓겠습니다. $\log_{a}b=x$ $\log_{c}a=y$ 로그의 정의에 의해 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $b=a^{x}$ $a=c^{x}$ 위 첫번째 식의 a자리에 두번째 식을 넣어줍시다. $b=\left ( c^{y} \right )^{x}=c^{xy}$ 로그의 정의를 사용하여 아래와 같이 변형합시다. $\log_{c}b=xy$ x와 y를 원래 값으로 바꿔줍시다. $\l.. 2021. 10. 22.
[5분 고등수학] 로그의 성질 증명 (1) 로그의 정의는 아래와 같습니다. $ax=N \ \Leftrightarrow \ x=\log_{a}N$ a의 조건은 아래와 같습니다. "a는 1이 아닌 양수" N의 조건은 아래와 같습니다. "N은 양수" 오늘 배워볼 로그의 5가지 성질은 아래와 같습니다. 1) $\log_{a}1=0$ 2) $\log_{a}a=1$ 3) $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$ 4) $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$ 5) $\log_{a}x^{n}=n\log_{a}x$ 하나씩 증명해보겠습니다. 1) $\log_{a}1=0$ 증명 a의 0제곱근은 1입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $a^{0}=1$ 로그 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $0=\log_{a}1.. 2021. 10. 14.
[5분 고등수학] 실수의 n제곱근 중에서 실수인 것의 개수 먼저 아래 두 용어가 다르다는 것을 이해해봅시다. "n 제곱은 a" "a의 n제곱근" 전자를 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $\sqrt[n]{a}$ 후자인 a의 n제곱근을 x라고 놓는다면 아래 등식이 성립합니다. $x^{n}=a$ a의 n제곱근은, n제곱해서 a가 되는 수 입니다. 오늘 우리가 배워볼 주제입니다. a의 n제곱근의 개수는 n이 짝수일 때와 홀수일 때가 다릅니다. 1) n이 짝수인 경우 아래 등식을 함수로 해석해 봅시다. $x^{n}=a$ 위 등식의 x값은 아래 두 함수의 교점의 x값이라고 이해할 수 있습니다. $y=x^{n}$ $y=a$ n이 짝수인 경우 $y=x^{n}$은 아래와 같은 형태를 갖습니다. a의 부호에 따라 $y=a$ 는 아래와 같이 그려집니다. a가 양수인 경우는 근을.. 2021. 10. 8.
[5분 고등수학] 자연수의 거듭제곱의 합 (3제곱) 자연수 거듭제곱의 합공식을 유도해봅시다. 고등학교에서 배우는 합공식은 세가지입니다. 1제곱의합, 2제곱의합,3제곱의합. 이번 글에서는 1제곱의 합 공식을 유도해보겠습니다. 3제곱의 합공식 1제곱 부터 n제곱 까지의 합입니다. 시그마 기호를 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+ \cdots + n^{3}$ 위 공식을 유도해봅시다. 아래 등식에서 출발합니다. $(k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1$ 등식이 성립한다는 것을 보이는 것은 어렵지 않으므로 넘어가겠습니다. k에 1부터 n까지 대입하면 아래와 같습니다. $2^{4}-1^{4}=4\cdot 1^{3}+6\cdot 1^{2}+4 \cdot 1 +1$ $3^{4}-2.. 2021. 9. 30.
[5분 고등수학] 자연수의 거듭제곱의 합 (2제곱) 자연수 거듭제곱의 합공식을 유도해봅시다. 고등학교에서 배우는 합공식은 세가지입니다. 1제곱의합, 2제곱의합,3제곱의합. 이번 글에서는 1제곱의 합 공식을 유도해보겠습니다. 2제곱의 합공식 1제곱 부터 n제곱 까지의 합입니다. 시그마 기호를 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+ \cdots + n^{2}$ 위 공식을 유도해봅시다. 아래 등식에서 출발합니다. $(k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1$ 등식이 성립한다는 것을 보이는 것은 어렵지 않으므로 넘어가겠습니다. k에 1부터 n까지 대입하면 아래와 같습니다. $2^{3}-1^{3}=3\cdot 1^{2}+3\cdot 1+1$ $3^{3}-2^{3}=3\cdot 2^{2}+3\cd.. 2021. 9. 29.
[5분 고등수학] 자연수의 거듭제곱의 합 (1제곱) 자연수 거듭제곱의 합공식을 유도해봅시다. 고등학교에서 배우는 합공식은 세가지입니다. 1제곱의합, 2제곱의합,3제곱의합. 이번 글에서는 1제곱의 합 공식을 유도해보겠습니다. 1제곱의 합공식 1부터 n까지의 합입니다. 시그마 기호를 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\sum_{k=1}^{n}k=1+2+ \cdots + n$ 등차수열의 합입니다. 첫항이 1, 공차도 1입니다. $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ 2021. 9. 25.
[5분 고등수학] 단리법, 복리법 은행에 예금을 하면 이자가 붙습니다. 이자를 붙이는 방법은 크게 둘로 나뉩니다. 단리법과 복리법입니다. 하나씩 배워봅시다. 1. 단리법 은행에 a원을 저금했습니다. a를 원금이라고 합니다. 연 이자율은 r% 였습니다. 이자가 단리로 붙는다는 것은 원금에만 이자가 붙는다는 것을 의미합니다. 1년 후 원금과 이자는 아래와 같습니다. 원금과 이자의 합계를 '원리합계'라고 합니다. 1년 후 원리합계는 아래와 같습니다. 1년 후 원리합계 = $a+a\times \frac{r}{100}=a\left ( 1+\frac{r}{100} \right )$ 2년 후 원금과 이자는 아래와 같습니다. 2년 후 원리합계는 아래와 같습니다. 2년 후 원리합계 = $a+a\times \frac{r}{100}+a\times \frac.. 2021. 9. 25.
[5분 고등수학] 등차수열의 합 등차수열은 차이가 일정한 수열입니다. 일정한 차이를 공차라고 부릅니다. 첫째항을 a, 공차를 d라고 놓았을 때 수열은 아래와 같습니다. $a_{1}=a$ $a_{2}=a+d$ $a_{3}=a+2d$ $a_{4}=a+3d$ ... $a_{n}=a+(n-1)d$ 이때 $a_{n}$을 일반항이라고 부릅니다. 등차수열의 합을 구해봅시다. 등차수열의 합은 $S_{n}$ 이라고 나타냅니다. 수열의 첫째항 부터 n번째 항까지의 합을 의미합니다. $S_{n}=a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}$ 첫항이 a이고 공차가 d인 등차수열의 합은 아래와 같습니다. $S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+d(n-1) \right \}}{2}$ 이 공식을 유도해봅시다. 첫항부터 n번째 항까지의 합을 오름차순으로.. 2021. 9. 24.
[5분 고등수학] 역함수의 성질 역함수의 대표적인 성질은 다섯가지가 있습니다. 1) 어떤 함수의 역함수의 역함수는 자기 자신이다. $\left ( f^{-1} \right )^{-1}=f$ 증명해봅시다. $y=f(x)$가 있다고 합시다. $y=f(x)$의 역함수는 아래와 같습니다. $f^{-1}(y)=x$ 역함수를 한번더 취합시다. $\left ( f^{-1} \right )^{-1}(x)=y$ y는 f(x) 이므로 아래 등식이 성립합니다. $\left ( f^{-1} \right )^{-1}(x)=f(x)$ 일반화시키면 아래와 같습니다. $\left ( f^{-1} \right )^{-1}=f$ 2) 어떤 함수의 역함수와 그 함수를 합성하면 항등함수이다. $f(x)$와 그 역함수를 합성해봅시다. $\left ( f^{-1}\circ .. 2021. 9. 23.
[5분 고등수학] 합집합의 원소의 개수 집합 $A$의 원소의 개수가 $m$개, 집합 $B$의 원소의 개수가 $n$개라고 합시다. $A$와 $B$의 합집합의 원소의 개수는 몇개일까요? $m+n$ 개일까요? 그럴 수도 있고 아닐 수도 있습니다. $A$와 $B$의 교집합이 없다면 $m+n$개이고, 교집합이 있다면 $m+n$개가 아닙니다. 아래 그림을 봅시다. B와 겹치지 않는 $A$의 원소의 개수를 $a$개, $A$와 겹치지 않는 $B$의 원소의 개수를 $b$, $A$와 $B$가 겹치는 부분의 원소의 개수를 $c$개라고 놓겠습니다. $A$의 원소의 개수는 $a+c$개이고, $B$의 원소의 개수는 $b+c$개입니다. A와 B의 합집합의 원소의 개수는 $a+b+c$ 개입니다. A의 원소의 개수와 B의 원소의 개수를 더하면 교집합의 원소의 개수가 중복해.. 2021. 9. 17.
[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (8) 순열을 기호로 표현하기 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[②순열]-[(8)순열을 기호로 표현하기] 순열을 기호로 표현하기 지지난 글에서 n개 중에서 r개를 택하는 순열을 어떻게 계산하는지 배웠습니다. 아래와 같이 계산합니다. $n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) $ n개 중에서 r개를 택하는 순열을 간단히 기호로 나타내기로 했습니다. 순열은 영어로 permutation 입니다. 첫알파벳인 P를 사용합시다. 아래와 같이 기호로 놓겠습니다. $_{n}P_{r}=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) $ 우변도 더 간단히 만들 수 있습니다. 지난글에서 배운 팩토리얼을 사용하면 됩니다. $_{n}P_{r}=.. 2021. 8. 14.
반응형

티스토리툴바