반응형 적분10 [모듈식 수학 2] 3.적분 (11) 정적분의 정의 [수학2]-[3.적분]-[②정적분]-[(11) 정적분의 정의] 정적분의 정의 정적분은 구분구적법의 수식을 쓰기편한 기호로 바꾸는 과정에서 정의되었습니다. 미분과 무관하게 시작되었다는 것을 꼭 기억하시기 바랍니다. 정적분은 미분의 역과정인 부정적분에 적분 구간을 붙여서 만든게 아닙니다. 정적분은 구분구적법에서 정의된 개념입니다. 먼저 우리가 지난시간까지 유도한 구분구적법 수식을 가져옵시다. 함수 f(x)에서 x=a 부터 x=b 까지의 넓이 S는 아래와 같이 구할 수 있다. 앞에 붙어있는 기호는 Σ 는 Sigma 입니다. 이 Sigma의 첫글자인 S를 따서 적분 기호를 만들었습니다. 위 수식을 아래와 같이 변형하였습니다. 이 수식을 함수 f(x)에서 a에서 b까지의 정적분이라고 합니다. 위와 같이 변환한 과.. 2020. 9. 15. [모듈식 수학 2] 3.적분 (9) 구분구적법은 정적분의 아버지 2 [수학2]-[3.적분]-[②정적분]-[(9) 구분구적법은 정적분의 아버지] 구분구적법은 정적분의 아버지 2 우리는 지난시간에 구분구적법을 배웠습니다. 구분구적법은 넓이를 구하고 싶은 부분을 n개의 조각으로 나누어 넓이를 각각 구해 합하고, n을 무한대로 보내서 원하는 넓이를 구하는 방법입니다. 지난시간의 예시를 다시 가져옵시다. x=a 부터 x=b 사이의 넓이는 아래와 같습니다. 직사각형 조각을 만들 때, 함수보다 작게 만들었습니다. 이와 같은 방식을 lower sum 이라고 합니다. 이번에는 직사각형을 함수보다 크게 만들어보겠습니다. 아래 그림과 같습니다. 첫 사각형의 넓이는 아래와 같습니다. 두번째 사각형도 그려봅시다. 두번째 사각형의 넓이는 아래와 같습니다. k번째 사각형을 그려봅시다. k 사각형의.. 2020. 9. 8. [모듈식 수학 2] 3.적분 (8) 구분구적법은 정적분의 아버지 1 [수학2]-[3.적분]-[②정적분]-[(8) 구분구적법은 정적분의 아버지] 구분구적법은 정적분의 아버지 1 우리는 정적분에 대해 공부하고 있습니다. 정적분의 정의를 배울 차례인데요. 구분구적법을 먼저 배워야 합니다. 구분구적법 없이는 정적분을 정의할 수 없습니다. 정적분은 구분구적법에서 나온 개념이기 때문입니다. 구분구적법은 함수의 넓이를 구하는 방법입니다. 구분구적법을 배우기 전에 제가 문제 하나를 내겠습니다. 아래와 같은 함수 f(x)가 있는데, x=a 부터 x=b 사이의 넓이 S를 구해야 하는 상황입니다. 각자 한번 구해봅시다. 수학의 선배들이 구분구적법을 찾아낼 때 맞이한 상황입니다. 그들은 스스로 찾아냈습니다. 우리도 한번 시도해봅시다. 이런 시도가 수학의 진정한 재미를 가져다줍니다. 아마 성공.. 2020. 8. 26. [모듈식 수학 2] 3.적분 (7) 정적분의 정의는 이게 아니다 [수학2]-[3.적분]-[②정적분]-[(7) 정적분의 정의는 이게 아니다] 정적분의 정의는 이게 아니다 우리는 지금까지 부정적분을 배웠습니다. 미분의 반대가 부정적분이었는데요. 부정적분이라는 이름에 붙어있는 부정은 '정해지지 않았다'는 의미입니다. 사실 부정적분이라는 이름은 이후에 붙여진 이름입니다. 원래는 미분이 있고 미분에 반대개념인 적분이 있었습니다. 그러다 정적분이 발견되고, 정적분과 미분의 반대개념인 적분을 연결하는 엄청난 발견을 합니다. 이후 정적분과 구분해 주기 위해 미분의 반대개념의 적분은 '부정적분'이라는 이름이 붙은 것으로 생각됩니다. 부정적분과 정적분을 연결하는 엄청난 발견을 '미적분의 기본정리'라고 부릅니다. 미적분의 기본정리는 정말 놀라운 발견입니다. 뉴튼은 이 정리를 발견하고 이.. 2020. 7. 12. [모듈식 수학 2] 3.적분 (6) 함수의 차의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(6) 함수의 차의 부정적분] 함수의 차의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C₁ 라고 놓고 g(x)의 부정적분을 G(x)+C₂라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. {F(x)-G(x)}를 미분하면 f(x)-g(x) 이므로 {F(x)-G(x)}은 f(x)-g(x)의 부정적분입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 우변의 적분상수 C₃ 를 아래와 같이 나눠서 쓰겠습니다. 적분상수라는 것은 '상수라면 뭐든 올 수 있어'라는 의미 이므로 둘로 나눠도 상관 없습니다. 우변의 첫 두항은 f(x)의 부정적분, 나머지 두 항은 g(x)의 부정적분 이므로 아래 등식이 성립합니다. 2020. 6. 29. [모듈식 수학 2] 3.적분 (5) 함수의 합의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(5) 함수의 합의 부정적분] 함수의 합의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C₁ 라고 놓고 g(x)의 부정적분을 G(x)+C₂라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. {F(x)+G(x)}를 미분하면 f(x)+g(x) 이므로 {F(x)+G(x)}은 f(x)+g(x)의 부정적분입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 우변의 적분상수 C₃ 를 아래와 같이 나눠서 쓰겠습니다. 적분상수라는 것은 '상수라면 뭐든 올 수 있어'라는 의미 이므로 둘로 나눠도 상관 없습니다. 우변의 첫 두항은 f(x)의 부정적분, 나머지 두 항은 g(x)의 부정적분 이므로 아래 등식이 성립합니다. 2020. 6. 25. [모듈식 수학 2] 3.적분 (4) 함수의 실수배의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(4) 함수의 실수배의 부정적분] 함수의 실수배의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 양변을 미분하면 아래 등식도 성립합니다. 양변에 k를 곱합시다. kF'(x)는 {kF(x)}' 와 같습니다. 곱의 미분법을 적용하면 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. kF(x)를 미분한 결과가 kf(x) 이므로, kF(x)는 kf(x)의 한 부정적분이고 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 위에서 사용한 C와 구분하기 위해 C2로 써주었습니다. k로 우변을 묶어봅시다. 대괄호 안의 C2/k 는 적분상수로 해석할 수 있습니다. C2가 모든 값이 될 수 있는 적분상수 이므로, 이 값을 k로 나눠도 의미는 달라지지.. 2020. 6. 24. [모듈식 수학 2] 3.적분 (3) y=xⁿ 의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(3) y=xⁿ 의 부정적분분] y=xⁿ 의 부정적분 y=xⁿ 의 부정적분을 구해봅시다. 부정적분을 F(x)라고 놓겠습니다. 미분하여 xⁿ 이 되는 것이 무엇인지를 알아내면 됩니다. 다항함수는 미분을 하면 차수가 줄어듭니다. 예를들어 x³ 를 미분하면 3x² 됩니다. 차수가 3차에서 2차로 줄어든 것입니다. 미분하여 xⁿ 이 되는 함수는 n보다 차수가 하나 큰 n+1입니다. 따라서 n+1차가 됩니다. 계수는 아직 모르기 때문에 a라고 두겠습니다. 적분상수는 C로 놓겠습니다. F(x)를 미분하여 y=xⁿ 이 나오도록 하는 a를 찾으면 됩니다. 미분해봅시다. 따라서 아래와 같은 등식이 성립해야합니다. a는 아래와 같습니다. F(x)는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 부.. 2020. 6. 23. 고등수학 [수학 2] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [수학 2] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 고등교육과정에서 '수학2'은 하나의 카테고리로 구성되어 있습니다. 카테고리 [해석]에서는 '함수의 극한과 연속'과 '미분'과 '적분'을 배웁니다. 2. 성취기준 가. 함수의 극한과 연속 1) 함수의 극한- 함수의 극한의 뜻을 안다. - 함수의 극한에 대한 성질을 이해하고, 함수의 극한값을 구할 수 있다. 2) 함수의 연속- 함수의 연속의 뜻을 안다. - 연속함수의 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다. 나. 미분 1) 미분계수- 미분계수의 뜻을 알고, 그 값을 구할 수 있다. - 미분계수의 기하적 의미를 이해한다. - 미분가능성과 연속성의 관계를 이해한다. 2) 도함수- 함수 y=xⁿ (n은 양의 정수)의 도함수를 구할 수 있다. - .. 2019. 8. 1. [모듈식 수학 2] 3.적분 (1) 부정적분이란? [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(1) 부정적분이란?] 부정적분이란? 어떤 함수 F(x)를 미분했더니 f(x)가 되었습니다. 미분한 결과인 f(x)를 F(x)의 도함수라고 합니다. 이때, F(x)를 f(x)의 부정적분이라고 합니다. 적분은 미분의 '역연산'을 의미하는데 '부정'이라는 말이 붙은 이유는 정적분과 구분하기 위함입니다. 정적분 : 정해진 적분부정적분 : 정해지지 않은 적분 무엇이 정해지고, 정해지지 않았는가에 대해서는 이후에 배울겁니다. f(x)의 부정적분은 아래와 같이 나타냅니다. 그렇다면 아래 등식이 성립할까요?? 성립하지 않습니다. F(x)는 f(x)의 수많은 부정적분중 하나입니다. 왜냐하면, 미분할 때 상수항이 사라지기 때문입니다. 아래 함수들을 미분하면 전부 f(x)가 됩니다... 2019. 7. 28. 이전 1 다음 반응형
