[5분 고등수학] 이차방정식의 근의공식 유도 (기본,짝수)

 

1. 기본공식

이차방정식의 근의공식 유도는 이차방정식의 기본형에서 출발합니다. 이차방정식의 기본형은 아래와 같습니다. 

 

$ax^{2}+bx+c=0$

위 식을 완전제곱식으로 만들건데요. 먼저 아래와 같이$a$로 묶어줍시다. 

 

$a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x \right )+c=0$

 

$x$계수의 절반의 제곱을 더하고 빼줍니다. 

 

$a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x +\left ( \frac{b}{2a} \right )^2  -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2  \right )+c=0$

 

괄호 안의 마지막 항을 괄호 밖으로 꺼내줍니다. 

 

$a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x +\left ( \frac{b}{2a} \right )^2  \right )-\frac{b^{2}}{4a} +c=0$

 

괄호 밖에 있는 항들을 우변으로 이항합니다. 

 

$a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x +\left ( \frac{b}{2a} \right )^2  \right ) =\frac{b^{2}}{4a}-c$

 

좌변을 완전제곱식으로 만들어 줍니다. 

 

$a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2} =\frac{b^{2}}{4a}-c$

 

우변을 통분해줍니다. 

 

$a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2} =\frac{b^{2}-4ac}{4a}$

양변을 $a$로 나눕니다. 

 

$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2} =\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

 

제곱을 벗겨줍니다. 

 

$x+\frac{b}{2a} =\pm \sqrt{ \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} }$

 

두변의 분모를 아래와 같이 변형합니다. 

 

$x+\frac{b}{2a} =\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

 

아래와 같이 좌변에 $x$만 남기고 이항합니다. 

 

$x =-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

 

아래와 같이 통분합니다. 아래 식이 근의공식이빈다. 

 

$x = \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

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2. 짝수공식

근의공식의 짝수공식은 $x$의 계수가 짝수인 경우에 유도된 공식입니다. 앞에서 유도한 근의공식보다 간편합니다. 유도해봅시다. 이차방정식의 기본형에서 출발합니다.

 

$ax^{2}+bx+c=0$

 

$b$가 짝수인 경우이므로 $b$를 2의 배수로 표현할 수 있습니다. $b$를 $2b'$ 라고 놓겠습니다. 

 

$ax^{2}+2b'x+c=0$

 

위에서 유도한 근의공식을 위 식에 적용하면 아래와 같습니다.

 

$x = \frac{-2b'\pm \sqrt{(2b')^{2}-4ac}}{2a}$

 

루트안을 아래와 같이 계산해줍니다. 

 

$x = \frac{-2b'\pm \sqrt{4b'^{2}-4ac}}{2a}$

 

루트 안을 4로 묶어줍니다. 

 

$x = \frac{-2b'\pm \sqrt{4(b'^{2}-ac)}}{2a}$

 

4는 2의 제곱이므로 아래와 같이 꺼낼 수 있습니다. 

 

$x = \frac{-2b'\pm 2\sqrt{b'^{2}-ac}}{2a}$

 

2를 분모와 분자에서 약분해줍니다. 아래 공식이 근의공식의 짝수공식입니다. 

 

$x = \frac{-b'\pm \sqrt{b'^{2}-ac}}{a}$