[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건

[수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건]

함수의 합성이 가능하기 위한 조건

아무 함수나 합성이 가능한 것은 아닙니다. 합성이 가능한 상황과, 불가능한 상황을 살펴보며 언제 합성이 가능한지 알아봅시다. 

아래 두 함수 f와 g를 봅시다.

f와 g는 합성이 가능할까요? 알아보는 방법은 g(f(x)) 라는 합성함수에 정의역 1,2,3,4,5 를 하나씩 대입해서 함수값이 존재하는지 알아보는 것입니다. 

g(f(1)) 은 얼마일까요? a입니다. 

같은방법으로 확인하다 보면 g(f(5)) 의 값이 정의되지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 위 함수는 정의될 수 없습니다. 

이번엔 아래 함수를 봅시다. 

f와 g는 합성이 가능할까요? 확인해봅시다. 

g(f(1)) = a

g(f(2)) = b

g(f(3)) = b

g(f(4)) = c

g(f(5)) = d

입니다. 모든 정의역에 대한 함수값이 존재하므로, 합성이 가능합니다. 위 두 예시로부터 함수가 합성 가능할 조건을 도출하면 아래와 같습니다. 

f의 치역이 g의 정의역에 포함된다. 

위 조건이면 함수가 정의는 됩니다. 그런데 내용이 더 있습니다. 위키피디아에 찾아보니 함수가 합성 가능한 조건이 빡센 조건과, 폭넓은 조건으로 나뉘어 있었습니다. (출처 : Wikipedia의 function composition)

빡센 조건 : f의 공역과 g의 정의역이 같다

폭넓은 조건 : f의 공역이 g의 정의역에 포함된다. 

위키에서는 폭넓은 조건을 왜 치역이 아니라 공역이라고 한건지 모르겠네요.