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수학(상)103

[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (34) 사잇값 정리로 근의 존재여부 판별 [수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(34) 사잇값 정리로 근의 존재여부 판별] 사잇값 정리로 근의 존재 여부 판별 사잇값 정리를 이용하여 함수의 근의 존재여부를 판별할 수 있습니다. 어떤 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라고 합시다. 이때 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값 k에 대하여 f(c)는 k를 만족하는 c가 열린구간 (a,b)에 존재한다는 정리가 사잇값정리입니다. 한 가지 조건을 더 추가해보겠습니다. f(a)와 f(b)의 부호가 다르다는 조건입니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. 따라서 a와 b 사이의 값 중에는 0이 있습니다. 사잇값정리에 의해 f(c)=0을 만족하는 c가 존재한다는 말입니다. c는 '근'입니다. 정리해봅시다. f(x)가 닫힌구간 [a.. 2020. 2. 4.
고등수학 [수학(상)] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 [수학 (상)] 평가원 자료 요약 : 내용체계, 성취기준 1. 내용체계 교육과정에서는 수학(상),(하)로 구분하지는 않습니다. '수학'이라는 이름이 붙어있습니다. 편의상 (상)(하)로 나눈 것입니다. 아래 그림에서 빨간 테두리 안의 내용이 수학(상)에 해당하는 내용입니다. 고등교육과정에서 '수학'은 다섯개의 카테고리로 구성되어 있습니다. 그 중 두 카테고리를 수학(상)으로 분류한 것입니다. 첫번쨰 카테고리인 [문자와 식]에서는 '다항식'과 '방정식과 부등식'을 배웁니다. 두번째 카테고리인 [기하]에서는 '도형의 방정식'을 배웁니다. 상세한 내용은 성취기준에서 알아보겠습니다. 2. 성취기준 가. 문자와 식 1) 다항식의 연산- 다항식의 사칙연산을 할 수 있다. 2) 나머지정리 - 항등식의 성질을 이해한다-.. 2019. 8. 1.
고등수학 수학(상) 전체 모듈 한눈에 보기 각 항목을 클릭하시면 설명페이지가 뜹니다.수학(상) 1.다항식 1) 다항식의 연산 다향식의 정의 연산이란 무엇인가 단항식과 다항식의 차수 다항식의 덧셈과 동류항 다항식의 오름차순,내림차순 정렬 다항식의 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙 지수법칙 다항식의 곱셈 다항식의 곱셈공식 다항식의 나눗셈 2) 나머지 정리 항등식의 정의와 성질 다항식의 나눗셈과 항등식 나머지정리와 인수정리 조립제법 사용방법 조립제법 원리 + 더 편한 방법 소개 3) 인수분해 다항식의 인수분해란? 인수분해 기본공식 인수분해 심화유형 고차식의 인수분해 2.방정식과 부등식 1) 복소수 허수와 복소수 켤레복소수 복소수의 연산 복소수의 교환,결합,분배법칙 켤레복소수의 성질 복소수가 서로 같을 조건 i의 거듭제곱 음수의 제곱근의 성질 2) 일차,.. 2019. 1. 17.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (11) 합집합의 성질 합집합의 성질 합집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 어렵지 않은 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) A ⊂ B 이면, A ∪ B = B 이다. A가 B에 포함된다면, A가 B 안에 들어가 있는 모양입니다. 둘을 합하면 B가 됩니다. 2) A ∪ B = B 이면 A ⊂ B 이다. 1번 성질의 '역'입니다. 어떤 명제가 성립한다고 역이 반드시 성립하지는 않습니다. 이 경우는 성립하네요. A와 B의 합집합을 구했더니 B가 나왔습니다. 이런 결과가 나오는 경우는 A가 B에 포함된는 경우 밖에는 없습니다. 3) A ∪ Φ = Φ 이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 어떤 집합에도 포함됩니다. 4) Φ ∪ Φ = Φ 이다. 당연하겠죠^^ 5) A ⊂ (A ∪ B) , B ⊂ (A ∪ B)이다. A.. 2018. 11. 27.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (27) 도형의 평행이동 도형의 평행이동 수학에서 도형은 '점,선,면,체 또는 그것들의 집합'을 의미합니다. 중고등학교에서 많은 도형을 다뤘는데요. 그 중에서 수식으로 표현해본 것들을 떠올려봅시다. 원, 직선(일차함수), 포물선(이차함수)가 있습니다. 각각의 수식을 한번 써봅시다. 원 : 일차함수 : 이차함수 : 모든 항을 왼쪽으로 이항해봅시다 . 원 : 일차함수 : 이차함수 : 좌변은 x와 y에 대한 함수이고, 우변은 0이므로 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 도형의 방정식을 대표하는 형태입니다. 이제 이 도형을 평행이동해봅시다. x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 이동합시다. 이동하기 전 도형 위의 임의의 점을 (x,y)라고 놓고, 이동된 도형 위의 임의의 점을 (x',y')라고 놓겠습니다. 우리가 해야할 일은 점(x',y').. 2018. 11. 5.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (26) 점의 평행이동 점의 평행이동 좌표평면에 점 (x,y)가 있습니다. 이 점을 x축 방향으로 a만큼 이동시키면 점(x+a,y)가 됩니다. 다시 y축 방향으로 b만큼 이동시키면 점(x+a,y+b)가 됩니다. 점 (x,y)를 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b 만큼 이동. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 15.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (25) 원의 접선의 방정식 (원 밖의 한 점에서 그은 직선) 원의 접선의 방정식 (원 밖의 한 점에서 그은 직선) 원 밖에 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 앞에서 배운 두 가지 상황(원위의 한점 또는 기울기) 중 하나를 가정해야 합니다. 1. 원 위의 한 점을 가정 원과 접하는 점을 (a,b)라고 놓겠습니다. 이때 접선의 방정식은 아래와 같이 구합니다. ......(1) 점가 이 직선을 지나므로 아래 등식이 성립합니다. ......(2) 점(a,b)는 원 위의 점이므로 아래 등식이 성립합니다. ......(3) 2,3번 식을 연립하면 a와 b를 구할 수 있습니다. 1번 식에 대입하면 접선의 방정식이 구해집니다. 2. 기울기를 가정 1) 공식 이용 원 에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 아래와 같습니다. ......(1) 점 가 이 직선을 지나므로.. 2018. 10. 14.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (24) 원의 접선의 방정식 (직선의 기울기를 알 때) 원의 접선의 방정식 (직선의 기울기를 알 때) 기울기를 알 때 원의 접선의 방정식을 구해 봅시다. 접선의 기울기가 m이라고 하겠습니다. 가장 간단한 원부터 구해봅시다. 1. 에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식 m을 알고 있는 상황이니까. n을 구하면 됩니다. 방법은 두 가지가 있습니다. 1) 판별식 이용 원의 방정식 과 접선을 연립했을 때, 한 점에서 만나기 때문에 중근이 발생합니다. 따라서 판별식의 값이 0이 되어야 합니다. 위 두식을 연립합시다. 전개하고 내림차순으로 정리합니다. 판별식을 구합시다. 절반공식을 사용하겠습니다. n에 대해서 정리합시다. 결과를 접선의 방정식 n의 자리에 대입하면 아래와 같이 구해집니다. 2) 점과 직선사이의 거리 이용 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름 r과 같다.. 2018. 10. 13.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (23) 원의 접선의 방정식 (원 위의 점을 알 때) 원의 접선의 방정식 (원 위의 점을 알 때) 원 위의 한 점을 알 때, 그 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 가장 간단한 형태의 원 부터 시작해 볼게요. 1. 위의 점 에서의 접선의 방정식 위 그림을 봅시다. 빨간색으로 표시된 접선의 기울기만 알면 접선의 방정식을 구할 수 있습니다. 기울기는 생각보다 쉽게 구해할 수 있습니다. 직선 OP를 봅시다. 직선 OP의 기울기는 아래와 같습니다. 그런데 직선 OP와 접선은 서로 수직관계입니다. 따라서 접선의 기울기는 아래와 같습니다. 접선의 기울기와 한점을 이용하여 접선의 방정식을 세우면 아래와 같습니다. 위 식을 이용해서 접선의 방정색을 구해도 되지만 더 멋진 방법이 있어서 한번 더 변형해보도록 하겠습니다. 위 식의 양변에 을 곱해봅시다. 아래와 같이 이.. 2018. 10. 12.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (22) 원과 직선의 위치관계 (원의 중심과 직선 사이 거리 이용) 원과 직선의 위치관계 (원의 중심과 직선 사이 거리 이용) 원과 직선이 가질 수 있는 관계는 세가지가 있습니다. - 서로 다른 두 점에서 만난다.- 한 점에서 만난다. (접한다.)- 만나지 않는다. 이 관계를 판별하는 방법 중 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용하는 방법을 알아보겠습니다. 1. 서로 다른 두 점에서 만난다. 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만난다면 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 보다 작아야 합니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. 2. 한 점에서 만난다. 원과 직선이 한 점에서 만난다면 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이와 같아야 합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 3. 만나지 않는다. 원과 직선이 만나지 않는다면 원의 중심과 직선 사이의 .. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (21) 원과 직선의 위치관계 (판별식 이용) 원과 직선의 위치관계 (판별식 이용) 원과 직선이 가질 수 있는 관계는 세가지가 있습니다. - 서로 다른 두 점에서 만난다.- 한 점에서 만난다. (접한다.)- 만나지 않는다. 이 관계를 판별하는 방법 중 판별식을 이용하는 방법을 알아보겠습니다. 1. 서로 다른 두 점에서 만난다. 원의 방정식과 직선의 방정식을 하나씩 정의해봅시다. 두 식을 연립하면 아래 식을 얻습니다. x에 대한 이차방정식입니다. 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만난다면, 원과 직선의 연립방정식의 해는 두개가 나옵니다. 따라서 원과 직선을 연립한 방정식의 판별식 D가 0보다 커야합니다. 조건 : D > 0 (서로 다른 두 실근) 2. 한 점에서 만난다. 원의 방정식과 직선의 방정식을 하나씩 정의해봅시다. 두 식을 연립하면 아래 식을 .. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (20) 공통외접선, 내접선의 길이 공통외접선, 내접선의 길이 두 원에 그을수 있는 공통접선은 두 가지가 있습니다. 공통내접선과 공통외접선입니다. 1. 공통외접선의 길이 두 원의 공통외접선은 아래 그림의 선분 AB 입니다. 아래 그림의 삼각형 CC'H에 피타고라스 정리를 적용하면 공통외접선의 길이를 구할 수 있습니다. 아래와 같이 구할 수 있습니다. 2. 공통내접선의 길이 두 원의 공통내접선은 아래 그림의 선분 AB 입니다. 아래 그림의 삼각형 CC'H에 피타고라스 정리를 적용하면 공통내접선의 길이를 구할 수 있습니다. 아래와 같이 구할 수 있습니다. $\overline{AB}^2=d^2-(r+r')^2$ $\overline{AB}=\sqrt{d^2-(r+r')^2}$ 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (19) 두 원의 위치관계 두 원의 위치관계 두 원이 가질 수 있는 위치는 다섯가지가 있습니다. 1. 만나지 않고, 공통 부분이 없음 (한 원이 다른 원의 외부에 있음) r,r',d 의 관계를 따져봅시다. r과 r'을 더한 값보다 d의 크기가 큽니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. 2. 한 점에서 만나고, 공통 부분이 없음 (두 원이 외접함) r,r',d 의 관계를 따져봅시다. r과 r'을 더한 값과 d의 크기가 같습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 3. 두 점에서 만남 r,r',d 의 관계를 따져봅시다. r과 r'을 더한 값이 d의 크기보다 큽니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. 그런데 이 조건만으로는 충분하지 않습니다. d가 계속 작아지다 보면 작은 원이 큰 원 안에 포함되는 지점이 있습니다. 그 지점은 r-r'과.. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (18) 공통현의 방정식 공통현의 방정식 두 원의 공통현은 아래와 같습니다. 공통현은 두 원의 교점을 연결한 선분입니다. 아래 그림에서는 선분 AB입니다. 1. 두 원의 공통현의 성질 두 원의 공통현과 중심선은 중심선에 의해 수직이등분된다는 성질이 있습니다. 왜 위 성질이 성립할까요? 이 성질을 이해하는 과정에서 사고력이 성장합니다. 성립하는 이유를 이해해봅시다. 아래 그림에서 삼각형 ACC'와 BCC'를 봅시다. 선분 AC와 BC의 길이가 같고, AC'와 BC'의 길이가 같습니다. 또한 선분 CC'는 공통변입니다. 따라서 두 삼각형은 SSS 합동입니다. 이 합동에 의해서 ∠ACB와 ∠BCA 는 크기가 같습니다. 따라서 선분 CC'는 이등변삼각형 ACB의 변 AB의 수직이등분선이 됩니다. 2. 공통현의 방정식 지난시간에 배운 두.. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (17) 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 항등식을 이용하면 쉽게 나타낼 수 있습니다. 먼저 두 원의 방정식을 '일반형'으로 정의합시다. 원1과 원2이라고 이름 붙이겠습니다. 위 두 원의 방정식으로 항등식을 만들어 보겠습니다. k의 값에 상관 없이 항상 성립하는 방정식입니다. k의 값에 상관없이 성립해야 하기 때문에 빨간식과 파란식이 각각 0이 되어야 합니다. 이 항등식을 만족하는 x,y 값은 두 원 모두를 지나야 하는 것입니다. 두 원 모두를 동시에 지나는 점은 뭐죠? 두 원의 교점입니다. 따라서 위 항등식을 다른 말로 표현하면 '두 원의 교점을 지나는 방정식' 입니다. 만약 k가 -1이 아니라는 조건을 추가한다면, 위 항등식은 반드시 원의 방정식이 됩니다. k 가 -1일.. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (16) 축에 접하는 원의 방정식 축에 접하는 원의 방정식 원의 방정식이 축에 접하는 경우는 세 가지가 있습니다. 1. x축에 접하는 원의 방정식 원의 중심의 좌표를 C(a,b)라고 하겠습니다. 아래 그림처럼 x축에 접하기 때문에 반지름의 길이와 중심의 y 좌표가 같습니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같습니다. 2. y축에 접하는 원의 방정식 원의 중심의 좌표를 C(a,b)라고 하겠습니다. 아래 그림처럼 y축에 접하기 때문에 반지름의 길이와 중심의 x 좌표가 같습니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같습니다. 3. x축과 y축에 동시에 접하는 원의 방정식 아래 그림처럼 x축과 y축에 접하기 때문에 중심의 좌표를 (a,a)라고 놓을 수 있습니다. 또한 반지름의 길이도 a와 같습니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같습니다. 전체 모듈 한눈에.. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (15) 지름의 양 끝 두 점을 알 때 원의 방정식 지름의 양 끝 두 점을 알 때 원의 방정식 특정 조건이 주어진 상황에서 원의 방정식을 만드는 방법에 대해 알아봅시다. 1. 지름의 양 끝 위치의 두 점을 알 때 (원리 이용) 두 점을 알고 있는 상황을 가정하겠습니다. 두 점은 A(x1,y1) 와 B(x2,y2) 입니다. 두 점을 알고 있다면 두 점의 중점을 구할 수 있습니다. 두 점의 중점 M(a,b)은 아래와 같이 구합니다. 반지름의 길이는 두 점 A와 B 사이의 거리를 구하고 반으로 나누면 됩니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같이 정의됩니다. 2. 지름의 양 끝 위치의 두 점을 알 때 (공식 유도) 이번에는 공식을 유도해 봅시다. 반드시 외워야 하는 공식은 아닙니다. 다만 공식 유도 과정이 사고력 향상에 도움이 되기 때문에 다루는 것입니다. 기억해.. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (14) 원의 정의와 방정식 원의 정의와 방정식 원의 정의를 먼저 알아봅시다. 원은 한 고정된 점으로 부터 일정한 거리에 있는 점의 자취입니다. 한 고정된 점을 C(a,b)라고 하고, 이 거리로 부터 일정한 거리를 r이라고 하겠습니다. 일정한 거리에 있는 점을 P(x,y)라고 하겠습니다. 일정한 거리 r을 '반지름'이라고 부릅니다. 고정된 점 : C(a,b)일정한 거리 : r일정한 거리에 있는 점 : P(x,y) 이 상황을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 양변을 제곱하면 원의 방정식의 표준형이 됩니다. (원의 방정식의 표준형) 중심이 원점이라면 a와 b는 0이 됩니다. 이 원의 방정식을 원의 방정식의 기본형이라고 합니다. (원의 방정식의 기본형) 원의 방정식의 표준형을 전개해봅시다. 아래와 같이 이항하겠습니다. 위 식에서 x의 .. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (13) 삼각형의 넓이 삼각형의 넓이 아래 그림과 같이 좌표평면에 세 점 A,B,C로 정의된 삼각형이 있습니다. 이 삼각형의 넓이를 구해봅시다. 공식화하지는 않겠습니다. 원리를 이해해봅시다. 삼각형의 넓이는 '밑변의 길이'와 '높이'를 알면 구할 수 있습니다. 밑변을 선분 BC로 놓으면 밑변의 길이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 이제 높이를 구하면 되는데요. 높이는 점 A와 직선 BC의 거리입니다. 직선 BC의 방정식은 아래와 같이 정의합니다. 이 직선과 점 A 사이의 거리를 구하면 됩니다. 구해진 거리를 h라고 하면 삼각형의 넓이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (12) 점과 직선 사이의 거리 점과 직선 사이의 거리 아래 그림과 같이 좌표평면에 한 점 p와 직선 l이 있습니다. 점 p에서 직선 l 에 내린 수선의 발을 H라고 하겠습니다. 주어진 값과 구해야하는 값을 먼저 살펴봅시다. 주어진 값 : a, b, c, x1, y1구해야 하는 값 : d 먼저 점과 직선 사이의 길이 d를 P와 H사이의 거리로 표현해봅시다. 이 식에서 x2와 y2를 주어진 값(a,b,c,x1,y1)으로 바꾸어야 합니다. 위 상황에서 성립하는 조건들을 이용하면 됩니다. 먼저 직선 l과 H는 서로 수직이라는 조건이 있습니다. 직선 l의 기울기는 -(a/b) 이고, 직선 PH의 기울기는 (y1-y2)/(x1-x2) 이므로 아래 등식이 성립합니다. 아래와 같이 변형하겠습니다. 이 값을 k라고 놓겠습니다. 아래와 같이 변형할 수.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (11) 두 직선의 교점을 지나는 직선 두 직선의 교점을 지나는 방정식 아래와 같이 두 직선을 정의해봅시다. 두 직선의 교점을 (p,q)라고 합시다. 이 교점을 지나는 직선의 방정식은 무수히 많습니다. 한 점을 지나는 직선의 방정식은 무수히 많아서 그렇습니다. 기울기를 m이라고 한다면, 교점 (p,q)를 지나는 직선의 방정식은 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 하지만 이 방정식을 정의하려면 두 직선의 방정식을 연립하여 교점을 구해주어야 합니다. 귀찮죠. 수학자들이 고민하던 중에 아이디어가 하나 떠올랐습니다. '항등식을 이용해보자' 아래와 같은 항등식을 정의했습니다. k와 상관 없이 항상 성립하는 항등식입니다. 항등식에 대해 조금 더 설명해보겠습니다. k에 대해서 항상 성립해야하기 때문에 빨강식과 파랑식이 동시에 0이 되어야 합니다. 따라서 우.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (10) 선분의 수직이등분선의 방정식 선분의 수직이등분선의 방정식 두 점 A(a,b)와 B(c,d)가 있다고 해봅시다. 두 점을 연결하면 선분 AB를 만들 수 있습니다. 선분 AB를 좌표평면에 그려봅시다. 이 선분의 수직이등분선의 방정식을 구하는 방법을 알아봅시다. 선분 AB의 수직이등분선을 l 이라고 하겠습니다. 선분 AB와 직선 l의 기울기는 서로 수직입니다. 또한 직선 l 은 선분 AB의 중점을 지납니다. 따라서 아래 두 조건이 만족해야 합니다. 1) (직선 l 의 기울기) x (선분 AB의 기울기) = -1 2) 직선 l 이 선분 AB의 중점을 지남 생각 확장 질문 : 직선 l 의 방정식을 y=mx+n 이라고 놓고, 위 두 조건을 수식으로 표현해 봅시다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (9) 두 직선이 수직일 조건 두 직선이 수직일 조건 두 직선의 수직관계는 기울기만으로 결정됩니다. 그쵸? y절편이 위아래로 이동해도 수직이라는 것은 변하지 않습니다. 따라서 y절편이 0인 간단한 형태의 방정식을 가지고 수직일 조건을 찾을 수 있습니다. 서로 수직인 두 직선을 정의해봅시다. 좌표평면에 나타내면 아래와 같습니다. 그림을 먼저 이해해봅시다. 빨간 직선은 (1,m)을 지나구요. 파란직선은 (1,m')을 지납니다. 각각 점 A와 B라고 하겠습니다. 선분 AB를 만들면 직각삼각형이 하나 정의됩니다. 아래와 같은 피타고라스의 정리가 성립합니다. 좌표를 이용하여 표현해봅시다. 좌변을 전개하고 계산해봅시다. 최종적으로 계산된 식은 아래와 같습니다. 두 직선이 서로 수직일 조건은, 두 직선의 기울기를 곱하여 -1이 되는 것입니다. 전.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (8) 두 직선의 위치관계 두 직선의 위치관계 두 직선이 가질 수 있는 위치관계를 생각해봅시다. 두 가지가 떠오릅니다. '만나거나, 만나지 않거나' 두 직선이 만나지 않으려면 평행해야하구요. 만나는 경우는 일치하거나, 한 점에서 만나는 경우가 있습니다. 따라서 아래의 세가지 경우로 나눠지죠. 1) 평행2) 일치3) 한 점에서 만남 한 점에서 만난다는 것에 포함되기는 하지만, 두 직선이 수직할 때를 특수한 경우로 추가해줍시다. 1) 평행2) 일치3) 한 점에서 만남4) 수직 두 직선을 정의할건데요. 표준형만 다루겠습니다. 일반형이 나오면 표준형으로 바꿔서 비교하면 됩니다. 이제 조건을 찾아봅시다. 1. 두 직선이 평행할 조건 기울기가 서로 같고, y절편을 달라야합니다. y절편까지 같으면 일치하게 됩니다. 2. 두 직선이 일치할 조건.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (7) 직선의 방정식의 일반형과 표준형 직선의 방정식의 일반형과 표준형 1. 직선의 방정식의 일반형 직선의 방정식의 일반형은 아래와 같습니다. a와 b가 둘다 0이면 직선이 아니니까요. 둘 중 하나는 0이 아니어야 합니다. 이 방정식으로 모든 직선의 방정식을 표현할 수 있습니다. 2. 직선의 방정식의 표준형 직선의 방정식의 표준형은 아래와 같습니다. 기울기와 y절편을 한눈에 볼 수 있는 형태입니다. x=a라는 y축에 평행한 직선의 방정식은 표현할 수 없습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (6) 좌표축에 수직/평행한 직선의 방정식 좌표축에 수직/평행한 직선의 방정식 1. (a,0)을 지나고 y축에 평행한 방정식 = (a,0)을 지나고 x축에 수직인 방정식 y축에 평행인 것과 x축에 수직인 것은 같은 말입니다. 아래 그림과 같은 직선입니다. 먼저 말로 표현하고 식으로 바꿔봅시다. "x는 항상 a이고, y는 모든 실수인 직선" 식으로 바꾸면 이렇게 될겁니다. x=a (y는 모든 실수) y는 모든 실수를 생략하면 아래 방정식을 얻습니다. 2. (0,b)를 지나고 x축에 평행한 직선 = (0,b)를 지나고 y축에 수직인 직선 x축에 평행인 것과 y축에 수직인 것은 같은 말입니다. 아래 그림과 같은 직선입니다. 먼저 말로 표현하고 식으로 바꿔봅시다. "y는 항상 b이고, x는 모든 실수인 직선" 식으로 바꾸면 이렇게 될겁니다. y=b (x.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (5) 직선의 방정식 만들기 직선의 방정식 만들기 어떤 조건이 주어졌을 때, 그 조건을 이용하여 직선의 방정식을 만들어봅시다. 네 가지 유형이 있습니다. 1. 기울기와 y절편 기울기와 y절편이 주어졌을 때, 직선의 방정식을 만드는 방법입니다. 기울기는 m이고, y절편은 n이라고 놓겠습니다. 직선의 방정식의 표준형 y=ax+b을 이용하여 구하겠습니다. a가 기울기를 나타내므로 a=m입니다. 따라서 직선의 방정식은 아래와 같이 변형됩니다. y절편이 n이므로 위 직선은 (0,n)을 지납니다. 따라서 b=n이 됩니다. 2. 기울기와 한 점 기울기와 한 점이 주어졌을 때 직선의 방정식을 만드는 방법입니다. 기울기는 m이고, 한 점의 좌표는 라고 해봅시다. 직선의 방정식의 표준형 y=ax+b 을이용하여 구하겠습니다. a가 기울기를 나타내므로 .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (4) 삼각형의 무게중심 삼각형의 무게중심 삼각형 무게중심의 정의부터 알아봅시다. 삼각형의 무게중심 : 삼각형의 세 중선의 교점 삼각형의 무게중심은 각 중선을 2:1로 내분하는 성질을 갖습니다. 무게중심의 좌표를 구해봅시다. 먼저 BC의 중점 M의 좌표를 구하면 아래와 같습니다. 무게중심 G의 좌표는 A와 M을 2:1 로 내분하는 점입니다. 따라서 내분점 공식을 이용하여 구하면 아래 결과를 얻습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (3) 내분점, 외분점 내분점, 외분점 1. 수직선 위 선분의 내분점 수직선 위에 두 점 A와 B가 있다고 해봅시다. 선분 AB를 m : n 으로 내분하는 점 P를 구해봅시다. (m,n은 양수입니다. ) 선분 AP와 PB 사이의 비례식을 세울 수 있습니다. 좌표를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 비례식을 풀어서 x에 대해 정리합시다. 선분 AB의 중점의 좌표는 m=n인 경우이므로 아래와 같습니다. 2. 수직선 위 선분의 외분점 수직선 위에 두 점 A와 B가 있습니다. 선분 AB를 m : n 으로 외분하는 점 Q를 구해봅시다. (m,n은 양수입니다.) 외분점은 두 가지 경우로 나뉩니다. m>n 인 경우와 mn 인 경우 선분 AP와 BP로 비례식을 세워봅시다. 좌표를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 비례식을 풀어서 x에 대.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (2) 파포스의 정리(중선정리) 파포스의 정리(중선정리) 삼각형 ABC가 있다고 해봅시다. 변 BC의 중점이 M입니다. 이때 아래 등식이 성립한다는 정리가 '파포스의 정리'입니다. 또는 '중선정리'라고도 부릅니다. 증명을 해봅시다. 삼각형을 좌표평면위에 올려놓겠습니다. 파포스의 정리를 좌표를 이용해서 표현해봅시다. 전개하고 좌,우변을 비교하는 것으로 증명할 수 있습니다. 좌우변이 같으므로 파포스의 정리가 성립함을 증명했습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
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