자코비안의 이해 (1) 변환과 선형변환
변환이란? uv 평면에서 xy 평면으로 가는 변환 T가 있다고 합시다. 수식으로는 아래와 같이 표현됩니다. $T(u,v)=(x,y)$ 아래와 같이 x와 y를 $(u,v)$에 대한 함수로 나타낼 수도 있습니다. $x=f(u,v)$ $y=g(u,v)$ 먼저 몇가지 용어들을 배워봅시다. 여기저기서 자주 보게되실 용어들입니다. 1) $C_{1}$변환 : 함수 f와 g가 연속이고 1차 편미분을 가진다면, 변환 T를 $C_{1}$변환이라고 부름 2) 상(image) : 변환 T에 의해 $(u_{1},v_{1})$이 $(x_{1},y_{1})$으로 변환되는데 이 때, $(x_{1},y_{1})$을 $(u_{1},v_{1})$의 상이라고 부름 3) 일대일 변환 : 어떤 두 점도 같은 상(image)을 갖지 않을 때, ..
2023. 3. 20.
미분형식 이해하기 (3) 전미분공식 유도
미분형식의 개념을 3차원으로 확장하면 이변수 함수의 전미분 공식이 유도됩니다. $z=f(x,y)$라는 곡면이 있다고 합시다. 이 곡면 위의 한 점 $P(a,b,c)$에서의 접선을 $\vec{v}$라고 놓겠습니다. $dx, dy, dz$를 정의할 건데요. 각각을 접선벡터 $\vec{v}$의 x,y,z 방향 성분으로 정의합시다. 이제 $dx,dy,dz$ 사이의 관계식을 구해볼겁니다. 점 P에서의 접평면의 방정식을 이용합시다. 점 P에서의 접평면의 방정식은 아래와 같습니다. $(z-a)=f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)$ 접평면 방정식의 유도는 링크를 참고하세요. 점 $(a+dx(\vec{v}),b+dy(\vec{v}),c+dz(\vec{v}))$ 는 벡터 $\vec{v}$의 종점이므로..
2023. 2. 24.
