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고등수학 5분증명(2009개정)/기하와 벡터33

[5분 고등수학] 점과 평면 사이의 거리 평면α가 하나 있구요. 평면 α의 방정식을 $ax+by+cz+d=0$ 이라고 하겠습니다. 평면의 법선벡터는 $\vec{n}=(a,b,c)$ 입니다. 이 평면 위에 있지 않은 한 점 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ 이 있습니다. 이 점에서 평면에 내린 수선의 발을 $H(x_{2},y_{2},z_{2})$ 라고 하겠습니다. 벡터 AH를 정의할 수 있구요. $\overrightarrow{AH}=\left ( x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2} \right )$ 벡터 n과 AH를 내적하면 아래와 식을 얻습니다. $\overrightarrow{AH} \cdot \vec{n}=\pm \left | \overrightarrow{AH} \right | \left | \vec{n}.. 2022. 5. 16.

[5분 고등수학] 평면의 방정식 좌표공간에 한 평면이 있다고 해봅시다. 이 평면을 나타내는 방정식을 구해봅시다. 평면위의 한 점 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$을 선택합시다. 그리고 이 평면에 수직인 벡터를 $\vec{n}=(a,b,c)$ 라고 합시다. 평면 위의 임의의 점을 $P(x,y,z)$라고 한다면 벡터 AP를 아래와 같이 정의할 수 있습니다. $\overrightarrow{AP}=\left ( x-x_{1}, y-y_{1}, z-z_{1} \right )$ 벡터 AP와 벡터n은 서로 수직이므로 내적하면 0이 됩니다. $\begin{align} \overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}&= \left ( x-x_{1}, y-y_{1}, z-z_{1} \right )\cdot (a,b,c) \\&=a(x-.. 2022. 5. 13.

[5분 고등수학] 두 직선이 이루는 각의 크기 아래와 같이 공간에서의 두 직선의 방정식이 있습니다. $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ $\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}$ 두 직선이 이루는 각을 구해봅시다. 두 방향벡터가 이루는 각이 두 직선 사이의 각입니다. 방향벡터는 아래와 같습니다. $\vec{u_{1}}=\left ( a_{1},b_{1},c_{1} \right )$ $\vec{u_{2}}=\left ( a_{2},b_{2},c_{2} \right )$ 두 벡터를 내적합니다. $\vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}}=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_.. 2022. 5. 12.

[5분 고등수학] 공간에서의 직선의 방정식 1. 공간에서의 직선의 벡터방정식 공간상의 한 점 A를 지나고 방향벡터가 u인 직선의 방정식을 구해봅시다. 이 직선 위의 한 점을 P라고 하면 P의 방향벡터는 p입니다. 벡터 AP는 u에 평행하므로 아래 등식이 성립합니다. $\overrightarrow{AP}=t\vec{u} $ 방향벡터를 이용해서 표현하면 아래와 같습니다. $\vec{p}-\vec{a}=t\vec{u}$ 벡터 p에대해 표현하면 벡터방정식을 얻습니다. $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}$ 2. 공간에서의 직선의 스칼라방정식 세 점의 좌표를 아래와 같이 정합시다. $P(x,y,z)$ $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ $u(a,b,c)$ 위 벡터방정식을 좌표를 이용해서 표현하면 아래와 같습니다. $\left ( x,y,z .. 2022. 5. 11.

[5분 고등수학] 구의 방정식 1. 구의 정의 공간상의 한 점 C(center의 약자)로부터 일정한 거리에 있는 점들의 집합을 구라고 합니다. 한 점 C를 구의중심이라고 합니다. 일정한 거리는 반지름의 길이라고 합니다. 2. 구의 방정식의 표준형과 일반형 공간상의 한 점 C를 (a,b,c)라고 합시다. 그리고 C로부터 거리가 r인 임의의 점을 P(x,y,z)라고 하겠습니다. 이때 선분CP의 길이는 r이므로 아래 등식이 성립합니다. $\overline{CP}=\sqrt{\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}+\left ( z-c \right )^{2} }=r$ 양변을 제곱하면 아래 방정식을 얻습니다. $\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{.. 2022. 5. 10.

[5분 고등수학] 정사영 1. 정사영이란? 어떤 평면 위에 물체가 있고, 평면에 수직방향로 빛을 비추면 물체에 가려진 부분에 그림자가 생깁니다. 이 그림자가 정사영입니다. 한자로는 바를(정), 궁술(사), 그림자(영) 입니다. 수학적 정의를 말씀드릴게요. 어떤 평면 α가 있고 이 평면 위에 한 도형A가 있다고 해봅시다. 이 도형의 모든 점에서 평면에 수선의 발을 내렸을 때, 이 수선의 발들로 이루어진 도형A'가 도형A의 평면 α위로의 정사영이라고 합니다. 2. 정사영의 길이, 넓이 1) 정사영의 길이 평면 α와 이 평면위에 있지 않은 선분 AB가 있습니다. 수선의발을 내려 A'B'라고 하겠습니다. 옆에서보면 두 선으로 나타낼 수 있구요. 이 두 선이 이루는 각이 있을겁니다. 이 각을 θ라고 하겠습니다. 이때 정사영 선분 A'B'.. 2022. 5. 9.

[5분 고등수학] 직선과 평면이 이루는 각, 이면각 1. 직선과 평면이 이루는 각 α라는 평면이 있고, 이 평면위에 있지 않은 직선 l이 있습니다. 직선 l과 만나는 점을 A라고 하고, l위의 한 점을 B라고 할게요. 이 점 B에서 평면 α에 내린 수선의 발을 B'라고 하겠습니다. 이때, 직선 l과 선문 AB'가 이루는 각 $\theta$가 직선l과 평면α 사의 각입니다. 2. 이면각 이면각은 두 면 사이의 각입니다. 한자로 둘(이)에요. 이면각이 어떻게 정의되는지를 알아야합니다. 두 면이 평행하지 않다면 한 선에서 만납니다. 이 선 위에 있는 한점으로 부터 이 선에 수직하고 각 면 위에 있는 선을 그을 수 있습니다. 이 두 선 사이의 각도가 이면각입니다. 2022. 5. 6.

[5분 고등수학] 삼수선의 정리 한 평면 α가 있습니다. 이 평면 위에 점 O가 있습니다. 이 평면 위에 있지 않은 한 점 P를 찍겠습니다. 그리고 평면 위에 있지만 O와 만나지는 않는 직선 l 을 그어봅시다. 마지막으로 직선 l위에 있는 한 점 H를 찍겠습니다. 셋팅이 끝났습니다. 이런 상황에서 직선의 수직관계에 대해 세가지 명제가 성립하는데요. 이 세 명제를 삼수선 정리라고 합니다. 하나씩 알아봅시다. 1) $\overline{PO} \perp \alpha$, $\overline{OH} \perp l$ 이면 $\overline{PH} \perp l$ 증명해봅시다. $\overline{PO}$ 가 $\alpha$ 와 수직이라면 $\overline{PO}$ 는 이 평면위의 직선 l과 수직입니다. 따라서 $\overline{PO}$ 와 .. 2022. 5. 4.

[5분 고등수학] 곡선의 길이 $y=f(x)$ 라는 함수를 고려해봅시다. 임의의 점 A를 $(x, f(x))$ 라고 놓구요. 점 B를 $(x+ \Delta x, f(x+\Delta x))$ 라고 놓겠습니다. 점 A부터 점 B에 이르는 곡선의 길이를 $\Delta l$ 이라고 놓겠습니다. $\Delta x$ 가 0으로 갈 때 아래와 같이 근사식을 적용할 수 있습니다. $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta l =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \overline{AB}$ A와 B의 좌표를 이용해서 선분 AB를 표현해봅시다. $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta l =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\sqrt{\left [ f(x+\Delt.. 2022. 5. 3.

[5분 고등수학] 평면 위 운동에서 점이 움직인 거리 입자 P가 좌표평면 위를 움직이고 있습니다. 시간이 0일때 어느 위치에 있었구요. 시간 t까지 이동한 거리를 s(t)라고 놓겠습니다. 입자 P는 시간 t일때 점 $A(x,y)$ 에 있었습니다. $\Delta t$ 라는 시간이 흘렀구요. 입자는 점 $B(x+\Delta x, y+ \Delta y)$로 이동했습니다. 시간 t가 아주 작다면, 이동거리 Δs를 선분 AB로 근사시킬 수 있습니다. $\frac{ds}{dt}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\overline{AB}}{\Delta t}=\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \.. 2022. 5. 2.

[5분 고등수학] 평면운동에서의 속도와 가속도 점 P가 좌표평면 위를 움직이고 있습니다. P의 위치는 $(x,y)$인데 시간에 따라 변하고 있습니다. 따라서 x와 y를 시간의 함수로 나타낼 수 있습니다. $x=f(t)$ $y=g(t)$ 1. 속도벡터 시간 t에서 점 P의 속도벡터는 위치벡터를 시간으로 미분하여 구합니다. $\vec{v}=\left ( \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} \right )=\left ( f'(t),g'(t) \right )$ 2. 속도벡터의 크기 속도의 크기는 아래와 같습니다. $\left | \vec{v} \right |=\sqrt{ \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2} }= \sqrt{\left [ f'(t) \r.. 2022. 4. 29.

[5분 고등수학] 원의 벡터방정식 원의 정의는 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 집합입니다. 이 일정한 거리를 반지름 r이라고 놓구요. 한 점을 $C(a,b)$ 라고 놓겠습니다. 이 점의 위치벡터를 $\vec{c}$ 라고 합시다. 이 원 위의 임의의 점을 $P(x,y)$라고 하겠습니다. 점 P의 위치벡터를 $\vec{p}$ 라고 합시다. 벡터 CP의 길이는 r이므로 아래 등식이 성립합니다. $\left | \overrightarrow{CP} \right |=r$ (1) 벡터 $\left | \overrightarrow{CP} \right |$ 를 $\vec{c}$ 와 $\vec{p}$ 로 표현하면 아래와 같습니다. $\overrightarrow{CP}=\vec{p}-\vec{c}$ (1) 번식에 대입하면 아래와 같이 변형됩니다... 2022. 4. 28.

[5분 고등수학] 직선의 벡터 방정식 1. 한점을 A를 지나고 벡터 $\vec{u}$ 에 평행한 직선의 방정식 A의 위치벡터를 $\vec{a}$, 성분을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 하겠습니다. 방향벡터 벡터 $\vec{u}$의 성분을 $(a,b)$ 라고 하겠습니다. 직선위의 임의의 점을 $P(x,y)$라고 놓고, P의 위치벡터를 $\vec{p}$ 라고 하겠습니다. 1) 벡터식 세우기 벡터 $\overrightarrow{AP}$ 는 A와 P의 위치벡터를 이용하여 아래와 같이 표현할 수 있습니다. $\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}$ (1) 벡터 $\overrightarrow{AP}$ 는 벡터 $\vec{u}$ 에 평행하므로 아래 등식이 성립합니다. $\overrightarrow{AP}=t\vec{u}$.. 2022. 4. 27.

[5분 고등수학] 벡터의 내적과 성분 1. 벡터 내적의 정의 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta \ \left ( 0 \leq \theta \leq \pi \right )$ 라고 할 때, 두 벡터의 내적은 아래와 같이 정의됩니다. $\vec{a} \cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |\cos \theta$ 내적의 결과 값은 벡터가 아닌 실수(스칼라) 값입니다. 동일한 벡터를 내적하면, 해당 벡터의 크기의 제곱이 됩니다. 2. 벡터의 내적과 성분 벡터 $\vec{a}$ 의 성분을 $\left (a_{1},a_{2} \right )$, 벡터 $\vec{b}$ 의 성분을 $\left (b_{1},b_{2} \right )$ 라.. 2022. 4. 26.

[5분 고등수학] $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ 인 점 P의 자취 아래 식을 만족하는 점 P의 자취를 알아봅시다 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ m과 n의 조건에 따라 세가지로 나뉩니다. 1. $0 \leq m, \ 0\leq n, \ m+n = 1$ 인 경우 m+n이 1이므로, 양변을 m+n으로 나눠주면 아래와 같습니다. $\overrightarrow{OP}=\frac{m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}}{m+n}$ 따라서 P는 m:n으로 내분하는 점의 자취입니다. 2. $0 \leq m, \ 0\leq n, \ m+n\leq 1$ 인 경우 m+n=1일때를 생각해봅시다. 직선 AB가 그어집니다. m=0 일때를 생각해봅시다. n이0 부터 1까지 변하.. 2022. 4. 25.

[5분 고등수학] 삼각형의 무게중심의 위치벡터 삼각형 ABC의 무게중심을 G라고 하겠습니다. 네개의 위치벡터를 정의할 수 있습니다. 점 A,B,C,G 의 위치벡터입니다. 이 위치벡터들을 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{g}$ 라고 하겠습니다. 무게중심의 위치를 찾아봅시다. 변 BC의 중점을 M이라고 하겠습니다. 이때, 변 AM를 2:1로 내분하는 점이 무게중심입니다. 변 BC의 중점의 위치벡터는 아래와 같습니다. $\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ AM을 2:1로 내분하는 점 G의 위치벡터 아래와 같습니다. $\overrightarrow{OG}=\frac{ 2 \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} }{3}$ 아래와 같이 변.. 2022. 4. 22.

[5분 고등수학] 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터 두 점 A와 B가 있다고 해봅시다. A의 위치벡터를 $\vec{a}$ , B의 위치벡터를 $\vec{b}$ 라고 놓겠습니다. 1. 내분점의 위치벡터 먼저 선분 $\overline{AB}$를 $m:n$ 으로 내분하는 점 P의 위치벡터 $\vec{p}$ 를 구해봅시다. 벡터 $\overrightarrow{AP}$ 와 $\overrightarrow{PB}$ 는 서로 평행하고, 크기 비는 $m:n$입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $n\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{PB}$ 벡터 $\overrightarrow{AP}$ 는 $\vec{p}-\vec{a}$ 이고, $\overrightarrow{PB}$ 는 $\vec{b}-\vec{p}$ 입니다. 위 식에 대입하면 아래와 같.. 2022. 4. 21.

[5분 고등수학] 두 벡터의 평행조건, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건 1. 두 벡터의 평행조건 두벡터 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 가 평행할 때, 기호로 아래와 같이 나타냅니다. $\vec{a} // \vec{b} $ 두 벡터가 평행하다면, 한 벡터를 다른 벡터의 실수배로 나타낼 수 있습니다. 방향은 같고 크기만 다를테니까요. $\vec{a}=k\vec{b}$ 2. 세 점이 한 직선 위에 있을 조건 세점이 A,B,C라고 해봅시다. 이 세점으로 두개의 벡터를 만들겠습니다. $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ 두 벡터가 평행하다면, 세 점은 한 직선위에 놓이게 됩니다. 따라서 아래 등식이 성립하면 됩니다. $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AB}$ 아래와 같이 변형합니다. $\overr.. 2022. 4. 20.

[5분 고등수학] 쌍곡선의 접선의 방정식(쌍곡선 밖의 한점) 오늘은 쌍곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 1. 초점이 x축 위에 있는 쌍곡선 초점이 x축 위에 있는 쌍곡선의 방정식은 아래와 같습니다. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$ 쌍곡선 외부의 한 점 $(p,q)$에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 접선은 두개가 존재하는데요. 점이 어느 영역에 찍혀있느냐에 따라 다릅니다. 점근선을 그으면 네개의 영역으로 나뉘게 됩니다. 이 네 영역 어디에 점이 존재하느냐에 따라 두 접선이 생기는 방식이 달라집니다. 접하는 점을 $(x_{1},y_{1})$이라고 놓겠습니다. 접선의 방정식에 대입하면 아래 식이 성립합니다. $\frac{x_{1.. 2022. 4. 19.

[5분 고등수학] 쌍곡선의 접선의 방정식(쌍곡선 위의 한점) 1. 초점이 x축 위에 있는 쌍곡선 두 초점이 (c,0) 과 (-c,0) 인 쌍곡선의 방정식은 아래와 같습니다. $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$ 이 쌍곡선 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식을 구해봅시다.$(x_{1},y_{1})$ 이 쌍곡선 위의 점이므로 아래 수식이 성립합니다. $\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$ 양 변에 $a^{2}b^{2}$을 곱해줍니다. $b^{2}x_{1}^{2}-a^{2}y_{1}^{2}=a^{2}b^{2}$ (1).. 2022. 4. 18.

[5분 고등수학] 타원의 접선의 방정식(타원 밖의 한점) 오늘은 타원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 1. 초점이 x축 위에 있는 타원 초점이 x축 위에 있는 타원의 방정식은 아래와 같습니다. $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{ y^{2} }{ b^{2} } =1 \ \left ( a^{2}=b^{2}+c^{2} \right )$ 타원 외부의 한 점 $(p,q)$ 에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 타원에 접선을 그려보시면 접선은 두개가 있다는 것을 알 수 있습니다. 접하는 점을 $(x_{1},y_{1})$이라고 놓겠습니다. 접선의 방정식에 대입하면 아래 식이 성립합니다. $\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} =1$ 양변에 을 곱하면 아래와 같이 됩니다. $b^{2}x.. 2022. 4. 15.

[5분 고등수학] 타원의 접선의 방정식(타원 위의 한점) 1. 초점이 x축 위에 있는 타원 두 초점이 (c,0) 과 (-c,0) 인 타원의 방정식은 아래와 같습니다. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2} = b^{2}+c^{2} \right )$ 이 타원 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식을 구해봅시다. $(x_{1},y_{1})$ 타원위의 점이니까 아래 수식이 성립합니다. $\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$ 양변에 $a^{2}b^{2}$을 곱해줍니다. $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=a^{2}b^{2}$ (1) 다시 타원의 방정식으로 돌아갑시다. $(x_{1},y_{1})$에서 접선의 기울기를 구하기 위해 .. 2022. 4. 14.

[5분 고등수학] 포물선의 접선의 방정식(포물선 밖의 한점) 오늘은 포물선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 1. 준선이 y축에 평행한 포물선 준선이 y축에 평행한 포물의 방정식은 아래와 같습니다. $y^{2}=4px$ 포물선 외부의 한 점 $(a,b)$에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 포물선 하나와 점 하나를 가지고 접선을 그려보시면 접선은 두개가 있다는 것을 알 수 있습니다. 접하는 점을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 놓겠습니다. 포물선의 방정식에 대입하면 아래 식이 성립합니다. $y_{1}^{2}=4 p x_{1}$ (1) 이제 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 기울기를 구해봅시다. 포물선의 방정식으로 돌아갑시다. 포물선의 방정식을 x에 대해 미분하면 아래와 같습니다. $\frac{d y^{2}}{dx}=\frac{d\le.. 2022. 4. 14.

[5분 고등수학] 포물선의 접선의 방정식(포물선 위의 한점) 지난시간에 배운 음함수를 이용해서 포물선의 접선의 방정식을 구해봅시다. 포물선에 그을 수 있는 접선은 두가지가 있습니다. 포물선 위의 한 점에서 그은 접선과 포물선 밖의 한점에서 그은 접선입니다. 오늘은 포물선 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 1. 준선이 y축에 평행한 포물선 준선이 y축에 평행한 포물의 방정식은 아래와 같습니다. $y^{2} = 4 px$ 이 방정식 위의 점 (x1,y1) 위의 접선의 방정식을 구해봅시다. 기울기를 알면 되겠죠. 포물선의 방정식을 미분합시다. $\frac{d\left ( y^{2} \right )}{dx}=\frac{d\left ( 4 px \right )}{dx}$ 좌변은 체인룰을 적용하고 우변은 미분해줍니다. $\frac{d\left ( y^{2} .. 2022. 4. 13.

[5분 고등수학] 음함수의 미분 음함수는 $f(x,y)=0$ 의 모양으로 표현되어있는 함수입니다. 우리가 지금까지 다룬 함수의 모양은 $y=f(x)$ 였죠. 이런 형태의 함수를 양함수라고 부릅니다. 음함수를 양함수 형태로 표현할 수도 있고, 양함수를 음함수 형태로 표현할 수도 있습니다. 앞에서 배운 타원, 쌍곡선이 대표적인 음함수입니다. 더 이전에 배운 '원'도 있군요. 여기서 한가지 의문이 들어야 합니다. "앗, 얘내들 함수 아니잖아??" (왜 함수가 아니지??라는 의문이 드는 학생들은 큰일난겁니다. 늦었다고 생각할 때가 가장 늦은 때이니 더 열심히 하는걸로) 네 맞습니다. 엄밀히 말하면 함수가 아니죠. 하지만 함수로 놓아야 편하기 때문에 '함수 취급'을 합니다. 근거야 만들면 되니까요. 원을 하나 떠올려 보죠. $x^{2}+y^{2.. 2022. 4. 12.

[5분 고등수학 ] 쌍곡선의 방정식의 평행이동과 일반형 지난시간에 x축위에 초점이 있는 쌍곡선의 방정식과, y축 위에 초점이 있는 쌍곡선의 방정식을 유도했습니다. $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1$ 오늘은 이 방정식을 평행이동해보겠습니다. x 축으로 m 만큼, y 축으로 n 만큼 평행이동하면 아래 수식이 됩니다. $\frac{\left ( x-m \right )^{2}}{a^{2}}-\frac{\left ( y-n \right )^{2}}{b^{2}}=\pm 1$ 이 수식을 이용하면 x축 또는 y축과 평행한 직선 위에 초점이 있는 모든 쌍곡선을 표현할 수 있습니다. 고등학교 과정에서는 기울어진 직선 위에 초점이 있는 경우를 다루지 않기 .. 2022. 4. 11.

[5분 고등수학] 쌍곡선의 방정식의 유도 먼저 쌍곡선의 정의부터 알아봅시다. 쌍곡선의 정의는 "두 정점으로 부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합"입니다. 좌표평면에서 예를 들어볼게요. 두 정점을 F와 F'이라고 하고 아무 위치에나 찍겠습니다. 이 두 점으로부터 거리의 차가 일정한 점들을 찍으면 쌍곡선이 됩니다. 다행히 고등학교 과정에서는 정점을 아무 위치에나 찍지는 않구요. x축과 y축에 평행한 직선 위에 찍습니다. 단순한 형태만 다루자는 것이지요. 1. 두 초점이 x축에 있는 경우 x축 위에 두 정점이 찍힌 경우를 생각해 봅시다. 두 정점은 원점 대칭의 위치에 찍겠습니다. F(c,0) 과 F'(-c,0) 입니다. 이 두 정점은 '초점'이라고 부릅니다. 그리고 이 초점으로 부터 거리의 차가 일정한 점들로 만들어진 쌍곡선을 하나 그리겠습니다. 쌍.. 2022. 4. 8.

[5분 고등수학] 타원의 방정식의 평행이동과 일반형 지난시간에 중심이 원점인 타원의 방정식을 유도했습니다. $\frac{{x}^2}{{a}^2}+\frac{{y}^2}{{b}^2}=1$ 이 방정식을 평행이동해보겠습니다. x축으로 m, y축으로 n 평행이동하면 아래와 같이 됩니다. $\frac{{\left(x-m\right)}^2}{{a}^2}+\frac{{\left(y-n\right)}^2}{{b}^2}=1$ 위 식을 이용하면 두 초점이 모두 x축 위에 있거나 y축 위에 있는 모든 타원을 표현할 수 있습니다. 이번에는 위 식을 전개해봅시다. 먼저 양변에 ab의 제곱을 곱해줍시다. ${b}^2{\left(x-m\right)}^2+{a}^2{\left(y-n\right)}^2={a}^2{b}^2$ 전개합시다. ${b}^2{x}^2-2mx{b}^2+{b}^2{.. 2022. 4. 7.

[5분 고등수학] 타원의 방정식 유도 (2) x축 위에 두 초점이 있는 경우 지난 강의에 이어서 두 정점이 y축 위에 있는 경우 타원의 방정식을 유도해봅시다. 2) 두 정점이 y축 위에 있는 경우 두 정점을 y축 위에, 원점 대칭으로 찍겠습니다. 정점 F의 좌표는 (0,c)이고, F'의 좌표는 (0,-c)입니다. 이 정점들로 부터 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 타원을 그리겠습니다. 이 타원이 x축과 만나는 점을 (a,0)과 (-a,0)이라고 합시다. y축과 만나는 점을 (0,b)와 (0,-b)라고 놓겠습니다. 이 네개의 점을 타원의 '꼭지점'이라고 합니다. 타원의 정의에 의해 점 (0,b)에서도 두 정점으로 부터의 거리의 합이 일정합니다. 그 값을 b로 표현해봅시다. 먼저 정점 F로 부터 (0,b)에 이르는 거리는 (b-c)입니다. 정점 F'으로 부터 (0,-b)에 이르는 .. 2022. 4. 6.

[5분 고등수학] 타원의 방정식 유도 (1) x축 위에 두 초점이 있는 경우 타원의 정의는 아래와 같습니다. "두 정점으로 부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합" 좌표 평면에서 예를 들어보겠습니다. 두 정점을 F와 F'이라고 합시다. 두 점으로 부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합은 아래와 같습니다. 고등학교 과정에서는 정점을 아무 위치에나 찍지 않고, x축에 평행한 직선 위 또는 y축에 평행한 직선 위에 찍습니다. 1. 두 정점이 x축 위에 있는 경우 두 정점을 x축 위에, 원점 대칭으로 찍겠습니다. 정점 F의 좌표는 (c,0)이고, F'의 좌표는 (-c,0)입니다. 이 정점들로 부터 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 타원을 그리겠습니다. 이 타원이 x축과 만나는 점을 (a,0)과 (-a,0)이라고 합시다. y축과 만나는 점을 (0,b)와 (0,-b)라고 놓겠습니다. 이 네개.. 2022. 4. 5.

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