[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함

[수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함]

합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함

합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 

1) 교환법칙 성립 안함

2) 결합법칙 성립함

3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴

오늘은 두번째 성질을 증명해봅시다. 결합법칙이 성립한다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 

이 등식의 성립을 증명하기 전에, 조건부터 알아봅시다. 아무 함수에서나 성립하는 조건은 아닙니다. 일단 합성이 가능해야합니다. f와 g가 합성이 가능하고, g와 h가 합성이 가능하려면 함수가 아래와 같이 정의되어 있어야 합니다. 

임의의 집합 X,Y,Z,W 에서 정의된 함수 f,g,h 는 아래와 같다.

이제 결합법칙을 증명해봅시다. 좌변의 경우 g와 h를 합성했으므로, 함수는 Y → W 가 됩니다. 이 함수와 f를 합성하면 결과는 X → W 입니다. 

이번에는 우변을 봅시다. f와 g를 먼저 합성했으므로, 함수는 X → Z 가 됩니다. 이 함수와 h를 합성하면 결과는 X → W입니다. 

따라서 아래의 등식이 성립합니다.