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고등수학340

[5분 고등수학] 부분집합의 개수 쉽게 구하는 법 어떤 집합 A가 있을 때, 집합 A의 부분집합의 개수를 구하는 방법을 알아봅시다. 간단한 예시에서 시작해봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다. $A=\left \{ 1 \right \}$ 부분집합의 개수가 몇개일까요. 1개라고 하신 분들도 있을텐데, 정답은 2개입니다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이기 때문입니다. 따라서 집합 A의 부분집합은 아래와 같습니다. $\varnothing , \left \{ 2 \right \}$ 이번엔 원소를 하나 늘려봅시다. 아래와 같은 집합이 있다고 합시다. $B=\left \{ 1,2 \right \}$ 부분집합은 몇개일까요. 몇개 되지 않으니 쉽게 구할 수 있습니다. $\varnothing ,\left \{ 1 \right \},\left \{ 2 \right .. 2021. 8. 14.
[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (6) 순열이란 무엇인가 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[②순열]-[(6)순열이란 무엇인가] 순열이란 무엇인가 순열은 '순서가 있는 나열'입니다. 어떤 숫자나 문자를 순서가 있게 나열하는 것입니다. 순열은 보통 n개 중에서 r개를 택하여 나열합니다. 이를 n개 중에서 r개를 택하는 순열이라고 부릅니다. 예를들어 1부터 5까지 숫자 중에서 2개를 뽑아 나열하는 것은 5개 중에서 2개를 택하는 순열 입니다. 몇가지 방법이 있을까요? 아래와 같이 두 자리를 만들겠습니다. O O 숫자가 총 5개 이므로, 첫번째 자리에는 5가지 숫자가 올 수 있고, 두번째 자리에는 4가지 숫자가 올 수 있습니다. 따라서 경우의 수는 아래와 같습니다. $5 \times 4$ 일반화 시켜봅시다. n개 중에서 r개를 택하는 순열은 r개의 자리를 만들어 주면.. 2021. 7. 31.
[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (2) 원 위의 한 점을 알 때 원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다. 1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요 2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 두 번째 경우를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름이 r인 원 위의 한 점을 알고 있는 상황을 가정합시다. 원 위의 한 점은 $(x_{1},y_{1})$ 입니다. 기울기를 아는 경우에는 접선이 두 개 존재한 반면, 원 위의 한 점을 아는 경우에는 접선이 하나만 존재합니다. 접선의 기울기를 구하기 위해 아래 그림과 같이 원의 중심과 접점을 연결하는 선을 하나 그어봅시다. 이 선은 접선과 수직으로 만납니다. 원의 중심과 접점을 연결한 선의 기울기는 아래 그림에서 보이는 것처럼 $\fra.. 2021. 7. 31.
[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (5) 약수의 개수 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(5) 약수의 개수] 약수의 개수 간단한 숫자를 통해 이해하고 일반화하겠습니다. 24의 양의 약수의 개수를 구해봅시다. 1,2,3,4,6,8,12,24 8개입니다. 1부터 키워가며 약수인지 아닌지 확인하면 어렵지 않게 구할 수 있습니다. 이번에는 240의 약수의 개수를 구해봅시다. 위와 같은 방법으로 구하기에는 숫자가 너무 큽니다. 다시 24로 돌아가봅시다. 24의 약수들이 어떻게 구해지는지 알아봅시다. 24를 인수분해하면 아래와 같습니다. $24= 2^{3} \times 3$ 24의 약수는 $2^{3}$ 의 약수와 $3$의 약수를 조합하여 만들수 있는 모든 수들입니다. 아래의 두 집합에서 각각 하나의 원소를 택하고 곱하여 만들 수 있는 모든 수를 말합니.. 2021. 7. 24.
[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (1) 기울기가 m인 경우 원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다. 1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요 2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요 첫번째 경우를 구해봅시다. 간단한 형태의 원에서 시작합시다. 중심이 원점인 원입니다. 중심이 원점으고 반지름이 r인 원의 방정식은 아래와 같습니다. 기울기가 m인 접선은 두개가 있습니다. 아래 그림과 같습니다. 기울기가 m인 직선의 방정식을 $y=mx+n$ 이라고 놓겠습니다. m은 우리가 알고 있는 값이고, n은 모르는 값입니다. n을 구해야합니다. n을 구하기 위해 원의 중심으로 부터 직선까지의 거리가 r이라는 조건을 사용할 수 있습니다. 아래와 같습니다. $\frac{\left | n \right.. 2021. 7. 24.
[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (4) 전개식에서 항의 개수 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(4) 전개식에서 항의 개수] 전개식에서 항의 개수 다항식의 곱을 전개했을 때 항의 개수를 구하는 방법을 알아봅시다. 아래와 같은 다항식이 있습니다. $(a+b+c+d)(x+y+z)$ 첫번째 항인 (a+b+c+d)의 각각의 문자들은 두번째 항인 (x+y+z) 각각의 문자들과 곱해져서 전개식의 항을 이루게 됩니다. 따라서 첫번째 항의 각각의 문자마다 세개의 항을 생성합니다. 첫번째 항에는 네개의 문자가 있으므로 전개식에는 $4 \times 3$ 개의 문자가 생깁니다. 이번에는 항이 세개 곱해진 다항식을 봅시다. $(a+b+c)(x+y+z)(p+q)$ 첫번째 항과 두번째 항의 곱으로 생성된 다항식의 항들은 세번째 항의 각각의 문자들과 곱해져서 전개식의 항을 .. 2021. 7. 17.
[5분 고등수학] 두 원의 공통 내접선의 길이 두 원이 있습니다. 두개의 내접선을 그릴 수 있습니다. 내접선은 안에서 접하는 선입니다. 두 원에는 겹치는 부분이 없어야 합니다. 공통 외접선은 겹치는 부분이 있어도 존재하지만 공통내접선은 두 원에 겹치는 부분 이 있다면 존재하지 않습니다. 내접선의 길이를 구해봅시다. 내접선의 길이는 내접선이 원과 접하는 두 점 사이의 거리입니다. 원과 접하는 두 점에서 각 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 아래와 같습니다. 공통내접선과는 수직으로 만납니다. 원에 한 선이 접하고 있을 때, 원의 중심에서 접점에 그은 선은 접선과 수직관계이기 때문입니다. 두 원 중 작은 원의 반지름을 r이라고 놓고, 큰 원의 반지름을 R이라고 놓겠습니다. 두 원의 중심을 연결한 선분도 긋겠습니다. 각 원의 중심의 좌표를 $(x_{1.. 2021. 7. 17.
[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (3) 곱의법칙 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(3) 곱의 법칙] 곱의 법칙 점심을 먹으려고 합니다. 식당에 갔더니 햄버거가 두종류 있고, 음료가 세종류 있었습니다. 햄버거 하나와 음료 하나를 먹으려고 합니다. 선택할 수 있는 조합은 몇가지인가요? $2 \times 3 = 6$ 가지 입니다. 햄버거라는 사건과 음료라는 사건이 있고, 두 사건이 동시에 일어나는 경우의 수를 구한 것입니다. 두 사건의 경우의 수를 '곱해서' 구했습니다. 위 예시처럼 경우의 수가 구해지는 것을 '곱의 법칙'이라고 합니다. 일반화시켜봅시다. 두 사건 A,B가 있습니다. 사건 A가 일어나는 경우의 수가 $n(A)$ 이고, 사건 A의 각 경우에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 $n(B)$ 입니다. 이때 두 사건 A,B가 .. 2021. 7. 10.
[5분 고등수학] 두 원의 공통 외접선의 길이 두 원이 있습니다. 두개의 공통 외접선을 그릴 수 있습니다. 외접선은 밖에서 접하는 선입니다. 외접선의 길이를 구해봅시다. 외접선의 길이는 외접선이 원과 접하는 두 점 사이의 거리입니다. 원과 접하는 두 점에서 각 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 아래와 같습니다. 원에 한 선이 접하고 있을 때, 원의 중심에서 접점에 그은 선은 접선과 수직입니다. 두 원 중 작은 원의 반지름을 r이라고 놓고, 큰 원의 반지름을 R이라고 놓겠습니다. (두 원의 크기가 같을 경우에는 두 원 중심사이의 거리가 외접선의 길이와 같습니다.) 각 원의 중심의 좌표를 $(x_{1},y_{1})$ 과 $(x_{2},y_{2})$ 라고 놓겠습니다. 두 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 공통외접선과 평행한 선분을 아래와 같이 .. 2021. 7. 10.
[5분 고등수학] 두 직선의 교점을 지나는 직선 2차원 평면에서, 평행하지 않는 두 직선은 항상 한 점에서 만납니다. 이 교점을 지나는 직선은 무수히 많습니다. 이 교점을 지나는 직선을 방정식으로 표현해봅시다. 두 직선을 각각 $y=ax+b$ 와 $y=a'x+b'$ 이라고 놓겠습니다. 두 직선을 연립해서 x와 y를 구합시다. 먼저 x좌표를 구해봅시다. $y=ax+b$ $y=a'x+b'$ 위 수식에서 아래 수식을 뻅니다. $0=(a-a')x+b-b'$ x에 대해 정리하면 아래와 같습니다. $x=\frac{b'-b}{a-a'}$ 이번에는 y좌표를 구해봅시다. 아래와 같이 두 방정식을 변형합시다. $a'y=aa'x+a'b$ $ay=aa'x+ab'$ 위 수식에서 아래 수식을 뺍시다. $(a'-a)y=a'b-ab'$ y에 대해 정리하면 아래와 같습니다. $y=.. 2021. 7. 6.
[5분 고등수학] 정점을 지나는 직선 정점은 정지해 있는 점입니다. 어떤 정점을 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다. 정점의 좌표를 $(a,b)$라고 놓겠습니다. 이 점을 지나는 직선의 방정식은 몇개나 있을까요? 무수히 많습니다. 기울기를 m이라고 한다면, $(a,b)$를 지나는 직선의 방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $y=m(x-a)+b$ m은 모든 실수입니다. 이 수식이 표현할 수 없는 한가지 직선이 있습니다. $x=a$인 직선입니다. m이 무한대로 갈 때 가까워져 가는 직선입니다. 이 직선을 추가해 주변 됩니다. $y=m(x-a)+b$ 또는 $x=a$ 이번에는 항등식을 이용해서 나타내봅시다. 아래와 같이 k에 대한 항등식으로 나타낼 수 있습니다. $(x-a)+k(y-b)=0$ 이 수식으로 표현할 수 없는 하나의 직선이 있습니다.. 2021. 7. 3.
[5분 고등수학] 두 직선이 수직일 때의 기울기 서로 수직인 두 직선을 좌표평면에 그려봅시다. 두 직선은 $y=mx$와 $y=m'x$라고 합시다. $x=1$ 일 때의 각 직선위의 점의 좌표는 $(1,m)$ 과 $(1,m')$ 입니다. 아래 그림과 같습니다. 아래와 같이 직각삼각형을 그려봅시다. 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다. 수식으로 써보면 아래와 같습니다. $(1+m^{2})+(1+m'^{2})=(m-m')^{2}$ 우변을 전개해봅시다. $1+m^{2}+1+m'^{2}=m^{2}+m'^{2}-2mm'$ 아래와 같이 계산해줍니다. $2=-2mm'$ 아래와 같이 계산해줍니다. $mm'=-1$ 두 직선이 서로 수직일 경우 기울기의 곱이 -1 이 됩니다. 2021. 6. 26.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (42) 무리함수의 역함수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(42) 무리함수의 역함수] 무리함수의 역함수 함수 $y=f(x)$ 는 역함수를 구하려면 아래 세가지만 하면 됩니다. 1. x와 y 자리를 바꿔줌 2. y에 대해서 정리함 3. 원래 함수의 치역이 역함수의 정의역이됨. 무리함수의 역함수를 구하는 방법도 동일합니다. $y=\sqrt{2x-3}+5$ 의 역함수를 구해봅시다. 그래프는 아래와 같습니다. 먼저 x와 y의 자리를 바꿔줍니다. $x=\sqrt{2y-3}+5$ 이제 y에 대해서 정리해야합니다. 5를 먼저 이항합니다. $x-5=\sqrt{2y-3}$ 양변을 제곱합니다. $(x-5)^{2}=2y-3$ 3을 이항하고 양변을 바꾸겠습니다. $2y=(x-5)^{2}+3$ 2로 양변을 나눠줍니다. $y=\fra.. 2021. 6. 19.
[5분 고등수학] 선분의 외분점 외분점은 '밖에서 나누는 점'이라는 뜻입니다. 외분점은 두 점을 연결하여 만든 선분을 일정한 비율로 나누는 점입니다. 선분 밖에 있는 점으로 말이죠. 먼저 좌표평면 위에 점 두개를 찍어봅시다. 아래 그림과 같이 점 A와 점 B를 찍겠습니다. 선분 $AB$를 $m:n$ 으로 외분하는 점은 m과 n의 대소관계에 따라 아래와 같이 둘로 나뉩니다. 선분 $BA$를 $m:n$ 으로 나누는 외분점은 반대편에 생깁니다. 1) 선분 $AB$를 $m:n$ 으로 외분하는 점 ($m>n$) $m>n$인 경우 선분 $AB$를 $m:n$ 외분하는 점은 아래 그림의 점 $P$ 입니다. 아래와 같이 두개의 삼각형을 그릴 수 있습니다. 삼각형의 닮음을 이용하여 비례식을 세우면 아래와 같습니다. $(x'-x_{1}):(x'-x_{2}.. 2021. 6. 19.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (41) 무리함수의 그래프 hard [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(41) 무리함수의 그래프 hard] 무리함수의 그래프 hard 무리함수의 그래프는 난이도 별로 세 종류로 나눌 수 있습니다. $y=\pm \sqrt{ax} \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{a(x-p)}+q \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{ax+b}+c \ (a\neq 0)$ 오늘은 세번째 그래프를 공부해봅시다. 플러스 마이너스 이므로 크게 둘로 나뉩니다. 1. $y=\sqrt{ax+b)}+c $ 의 그래프 $y=\sqrt{ax+b}+c $ 를 아래와 같이 변형합니다. $y= \sqrt{ a \left( x+ \frac{b}{a} \right) }+c $ 위 함수의 그래프는 는 $y=\sqrt{ax} $의 그래프를 x축으로 .. 2021. 6. 12.
[5분 고등수학] 선분의 내분점 내분점은 '안에서 나누는 점'이라는 뜻입니다. 내분점은 두 점을 연결하여 만든 선분을 일정한 비율로 나누는 점입니다. 먼저 좌표평면 위에 점 두개를 찍어봅시다. 아래 그림과 같이 점 A와 점 B를 찍겠습니다. 두 점 A와 B를 연결한 선분을 $m:n$ 으로 나누는 점을 아래와 같이 나타내겠습니다. 이 점은 선분 $AB$를 $m:n$으로 내분하는 점입니다. $BA$를 $m:n$ 으로 내분했다면 위 그림의 m과 n을 바꿔주면 됩니다. 각 점의 좌표를 x축과 y축에 나타내봅시다. 아래와 같이 두개의 서로 닮은 삼각형을 그릴 수가 있습니다. 삼각형의 닮음 조건을 이용하여 비례식을 세워봅시다. $(x'-x_{1}):(x_{2}-x')=m:n$ 내항의 곱은 외항의 곱이므로 아래와 같이 변형됩니다. $n(x'-x_{.. 2021. 6. 12.
[5분 고등수학] 점과 점사이의 거리 공식 유도 좌표평면 위에 있는 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 유도해봅시다. 아래와 같은 좌표평면에 두 점 A와 B가 있습니다. 각각의 좌표는 $A(a,b)$와 $B(c,d)$라고 놓겠습니다. 두 점사이의 거리를 구하기 위해 아래와 같은 삼각형을 만들겠습니다. 삼각형의 밑변의 길이는 $(c-a)$이고, 높이는 $(d-b)$ 입니다. 빗변의 길이인 $\overline{AB}$ 가 두 점 사이의 거리입니다. 피타고라스 정리를 이용하면 아래 등식을 얻을 수 있습니다. $\overline{AB}^2=(c-a)^2+(d-b)^2$ 따라서 $\overline{AB}$ 는 아래와 같습니다. $\overline{AB}=\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}$ 2021. 6. 5.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (40) 무리함수의 그래프 normal [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(40) 무리함수의 그래프 normal] 무리함수의 그래프 normal 무리함수의 그래프는 난이도 별로 세 종류로 나눌 수 있습니다. $y=\pm \sqrt{ax} \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{a(x-p)}+q \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{ax+b}+c \ (a\neq 0)$ 오늘은 두번째 그래프를 공부해봅시다. 플러스 마이너스 이므로 크게 둘로 나뉩니다. 1. $y=\sqrt{a(x-p)}+q $ 의 그래프 $y=\sqrt{a(x-p)}+q $ 는 $y=\sqrt{ax} $의 그래프를 x축으로 p, y축으로 q만큼 이동시킨 그래프입니다. $a>0$ 인 경우의 정의역과 치역은 아래와 같습니다. 정의역 : $\left .. 2021. 5. 29.
[5분 고등수학] 이차부등식이 항상 성립할 조건 이차부등식은 아래와 같이 네 가지 종류가 있습니다. $ax^2+bx+c>0$ $ax^2+bx+c \geq 0$ $ax^2+bx+c 0$ $ax^2+bx+c \geq 0$ $ax^2+bx+c < 0$ (불가) $ax^2+bx+c \leq 0$ (불가) 이차방정식이 항상 0보다 크게 만드는 것은 가능합니다. 아래와 같이 만들면 됩니다. 근이 없어야 .. 2021. 5. 29.
[5분 고등수학] 삼차방정식의 근과 계수의 관계 삼차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 삼차방정식의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 라고 놓겠습니다. 세 근을 이용하여 삼차방정식을 아래와 같이 ㅇ니수분해할 수 있습니다. 근을 대입할 때의 방정식의 값이 0이기 때문입니다. $a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$ 위 식을 아래와 전개합시다. $a\left \{ x^3 -(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma)x -\alpha \beta \gamma \right \}=0$ 아래와 같이 한번 더 전개합시다. $a x^3 -a(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + a.. 2021. 5. 23.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (39) 무리함수의 그래프 easy [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(39) 무리함수의 그래프 easy] 무리함수의 그래프 easy 무리함수의 그래프는 난이도 별로 세 종류로 나눌 수 있습니다. $y=\pm \sqrt{ax} \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{a(x-p)}+q \ (a\neq 0)$ $y=\pm \sqrt{ax+b}+c \ (a\neq 0)$ 오늘은 가장 쉬운 형태인 첫번째 형태의 그래프를 공부해봅시다. 플러스 마이너스 이므로 첫번째 형태도 크게 둘로 나뉩니다. 1) $y=\sqrt{ax} $ 의 그래프 $y=\sqrt{ax} $의 그래프는 아래와 같습니다. $a>0$ 인 경우의 정의역과 치역은 아래와 같습니다. 정의역 : $\left \{ x|x \geq 0 \right \}$ 치역 : $.. 2021. 5. 22.
[5분 고등수학] 이차방정식의 양근의 절댓값이 음근보다 클 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 음근과 양근이 나온다는건 일단 두 근의 부호가 다르다는 말입니다. 따라서 두근의 곱은 음수입니다. $\alpha \beta 0 $ 근과 계수와의 관계를 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $-\frac{b}{a} 0 $ 두근의 부호가 다르므로 판별식 조건은 필요하지 않습니다. $\frac{c}{a} 2021. 5. 22.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (38) 무리함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(38) 무리함수란 무엇인가] 무리함수란 무엇인가 우리가 지금까지 배운 함수는 다항함수와 유리함수입니다. 다항함수와 유리함수의 정의는 아래와 같습니다. $y=f(x)$에서 $f(x)$ 가 $x$에 대한 다항식인 함수 $y=f(x)$에서 $f(x)$ 가 $x$에 대한 유리식인 함수 포함 관계는 아래와 같습니다. 같은 맥락에서 무리함수는 아래와 같이 정의됩니다. $y=f(x)$에서 $f(x)$ 가 $x$에 대한 무리식인 함수 예를 들면 아래와 같습니다. $y=\sqrt{x}$ $y=\sqrt{2x-3}$ $y=\sqrt{-3x+5}-2$ $y=\sqrt{\frac{-3x+5}{x-3}}-2$ 2021. 5. 19.
[5분 고등수학] 이차방정식의 음근의 절댓값이 양근보다 클 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 음근과 양근이 나온다는건 일단 두 근의 부호가 다르다는 말입니다. 따라서 두근의 곱은 음수입니다. $\alpha \beta < 0 $ 또한 음근이 양근모다 크므로, 두 근의 합은 음수입니다. $\alpha + \beta < 0 $ 근과 계수와의 관계를 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $-\frac{b}{a} < 0$ $\frac{c}{a} < 0 $ 두근의 부호가 다르므로 판별식 조건은 필요하지 않습니다. $\frac{c}{a} 2021. 5. 19.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (37) 무리식 분모의 유리화 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(37) 무리식 분모의 유리와] 무리식 분모의 유리화 무리식을 계산할 때 분모를 유리화해야하는 경우가 있습니다. 무리식 a와 b가 있고, 두 무리식이 0보다 클 경우 아래와 같이 분모를 유리화해줄 수 있습니다. 2,3번은 곱셉공식의 합차공식을 사용합니다. $1) \ \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b} \sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$ $2) \ \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{ c(\sqrt{a} - \sqrt{b} ) }{ (\sqrt{a} + \sqrt{b} )( \sqrt{a} - \sqrt{b} ) } =\frac{ c(\sqrt{a} - \sqrt{b} ) }{ a.. 2021. 5. 18.
[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근의 절댓값이 같고 부호가 반대일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 두 근의 절댓값이 같고 부호가 반대라면, 두 근의 합은 0입니다. 두근의 곱의 부호는 음수입니다. $\alpha + \beta = 0$ $\alpha + \beta < 0 $ 근과 계수와의 관계를 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $-\frac{b}{a} = 0$ $\frac{c}{a} < 0 $ 두근의 부호가 다르므로 판별식 조건은 필요하지 않습니다. $\frac{c}{a} 2021. 5. 18.
[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 서로 다른 부호일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 두근의 부호가 다르다면 어떤 조건이 필요할까요? 두근의 합은 알 수 없습니다. 두근의 합은 양수일 수도 있고 음수일 수도 있기 때문입니다. 두근의 곱만 조건으로 사용할 수 있습니다. 두 근의 부호가 다를 경우 두 근의 곱은 음수입니다. $\alpha \beta 2021. 5. 15.
[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 모두 음수일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 이차방정식의 두 근이 모두 양수라면, 두근의 합과 곱이 둘 다 양수입니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. $\alpha + \beta 0$ 근과 계수와의 관계를 이용하면 위 부등식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $-\frac{b}{a}0$ 이 두가지 조건으로 충분할까요? 아래 방정식을 봅시다. $2x^{2}+2x+1=0$ 두 근의 합과 곱은 모두 양수입니다. 따라서 위 두가지 조건을 만족합니다. 양수인 두 근을 갖는지 화인해봅시다. 근의 공식을 이용하여 근을 구하면 아래와 같습니다. $x=\frac{-1\pm \sqrt{-1}}{2}$ 루트 안이 음수이므.. 2021. 5. 11.
[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (36) 무리식의 곱셈과 나눗셈 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(36) 무리식의 곱셈과 나눗셈] 무리식의 곱셈과 나눗셈 무리식 $a$와 $b$가 있다고 합시다. 두 무리식이 0보다 클 때 아래 연산이 성립합니다. $1) \ \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ $2) \ \sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$ $3) \ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ $4) \ \sqrt{\frac{a}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{a}}{b}$ 증명을 하지는 않겠습니다. 원래 1+1=2 처럼 직관적으로 당연하게 받아들여지는 내용이 증명이 더 어렵습니다. 2021. 5. 4.
[5분 고등수학] 이차방정식의 두 근이 모두 양수일 조건 이차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. $ax^{2}+bx+c=0$ 위 이차방정식의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$ 라고 놓겠습니다. 이차방정식의 두 근이 모두 양수라면, 두근의 합과 곱이 둘 다 양수입니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. $\alpha + \beta >0$ $\alpha \beta >0$ 근과 계수와의 관계를 이용하면 위 부등식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $-\frac{b}{a}>0$ $\frac{c}{a}>0$ 이 두가지 조건으로 충분할까요? 아래 방정식을 봅시다. $2x^{2}-2x+1=0$ 두 근의 합과 곱은 모두 양수입니다. 따라서 위 두가지 조건을 만족합니다. 양수인 두 근을 갖는지 화인해봅시다. 근의 공식을 이용하여 근을 구하면 아래와 같습니다. $x=\.. 2021. 5. 4.
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