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확률과 통계/2. 확률18

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (19)독립시행의 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(19)독립시행의 확률] 독립시행의 확률 어떤 사건 A가 일어날 확률이 p일 때, 이 시행을 n번 반복한다고 해봅시다. 이때, 사건 A가 발생하는 횟수가 r일 확률은 아래와 같습니다. 예시를 통해 이해해봅시다. 어떤 농구선수의 자유투 성공률이 0.7(70%)라고 합시다. 공을 4번 던질 때, 자유투를 2번 성공할 확률을 구해봅시다. 성공을 O, 실패를 X라고 한다면 아래와 같은 경우가 있습니다. OOXXOXOXOXXOXOOXXOXOXXOO 위 여섯가지 경우는 4개 중 2개를 선택하는 경우와 같습니다. 총 4번의 시행 중, 사건의 발생 횟수인 2개를 선택하는 것과 같습니다. 따라서 확률은 아래와 같습니다. 2019. 9. 8.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (18)독립시행 무엇인가 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(18)독립시행 무엇인가] 독립시행 무엇인가 독립시행은 동일한 시행을 반복할 때, 각 시행들이 서로 독립인 시행을 말합니다. 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않는다는 것입니다. 영향을 주지 않는다는 것을 확률적으로 이해해봅시다. 사건 A가 있고 발생할 확률이 p라고 해봅시다. n번의 시행을 하는 동안 각 시행에서 A가 발생할 확률이 p가 되는 것이 독립시행입니다. 예를들면 동전던지기가 있습니다. 동전을 한번 던질 때 앞면이 나올 확률이 0.5라는 것은, 이전의 시행에서 어떤 면이 나왔는지에 영향을 받지 않습니다. 매번 던질 때마다 0.5라는 확률로 발생합니다. 2019. 9. 4.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (17)독립사건의 직관적 이해 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(17)독립사건의 직관적 이해] 독립사건의 직관적 이해 두 사건 A,B가 서로 독립이라는 것은 아래 등식이 성립할 때를 말합니다. 한가지 예시를 통해 이 개념을 직관적으로 이해해봅시다. 임의로 뽑은 500명을 대상으로 성별과 종교를 조사했습니다. 조사 결과는 아래와 같았습니다. - 남자 200명, 여자 300명- 무교 50명, 종교인 200명- 남자 200명 중 무교 20명- 여자 300명 중 무교 30명 표로 정리하면 아래와 같습니다. 벤다이어그램으로도 그려봅시다. 데이터를 먼저 설명하겠습니다. 남자 집단에서 종교가 있는 사람과 무교의 비율이 9:1 입니다. 여자 집단에서 종교가 있는 사람과 무교의 비율이 9:1 입니다.전체 집단에서 종교가 있는 사람과 무교.. 2019. 9. 3.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (15)독립과 여사건 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(15)독립과 여사건] 독립과 여사건 두 사건 A,B가 서로 독립이라고 가정해봅시다. 아래 관계들은 어떨까요? 서로 독립일까요 아닐까요? 결론부터 말씀드리면 위 모든 관계가 서로 독립입니다. 우리에게 중요한 것은 '이유'입니다. 하나씩 증명해봅시다 . 아래 등식에서 출발합니다. 우변은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 두 사건 A,B가 독립이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. P(A)로 묶어줍니다. 1에서 P(A)를 뺀 것은 A의 여사건의 확률과 같습니다. 따라서 두 사건은 독립입니다. 아래 등식에서 출발합니다. 우변은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 두 사건 A,B가 독립이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. P(B)로 묶어줍니다. 1에서 P(A)를 .. 2019. 9. 2.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (14)두 사건이 서로 독립일 조건 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(14)두 사건이 서로 독립일 조건] 두 사건이 서로 독립일 조건 두 사건 A,B가 있습니다. 두 사건이 독립이라면 아래 등식이 성립했었습니다. 여집합 식은 빼고 써봅시다. 좌변의 조건부확률을 풀어서 써봅시다. 양변에 P(B)를 곱해줍시다. 위 식이 두 사건이 서로 독립일 조건입니다. 두 사건의 교집합의 확률이 두 사건의 확률 각각을 곱한 결과와 같을 때, 두 사건은 독립이 됩니다. 사건 B 입장에서 유도해도 동일한 결과가 나옵니다. 2019. 9. 1.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (13)사건의 종속 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(13)사건의 종속] 사건의 종속 두 사건 A,B가 있습니다. 두 사건이 종속이라는 것은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건에 영향을 준다는 것입니다. 독립의 반대라고 생각하시면 됩니다. 아래 조건이 만족할 때가 종속입니다. A가 발생할 확률 ≠ 사건 B가 발생했을 때, 사건 A가 발생할 확률 ≠ 사건 B가 발생하지 않았을 때, 사건 A가 발생할 확률 조건부확률식으로 표현하면 아래와 같습니다. 사건 B에 대해서 표현하면 아래와 같습니다. 2019. 9. 1.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (12)사건의 독립 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(12)사건의 독립] 사건의 독립 두 사건 A,B가 있습니다. 두 사건이 독립이라는 것은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건에 영향을 주지 않는다는 것입니다. 사건이 서로 영향을 주지 않는다는 것을 확률로 설명합니다. 아래 조건이 만족할 때가 독립입니다. A가 발생할 확률 = 사건 B가 발생했을 때, 사건 A가 발생할 확률 = 사건 B가 발생하지 않았을 때, 사건 A가 발생할 확률 조건부확률식으로 표현하면 아래와 같습니다. 사건 B에 대해서 표현하면 아래와 같습니다. 2019. 9. 1.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (11)확률의 곱셈정리 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(11)확률의 곱셈정리] 확률의 곱셈정리 지난 강의에서 배운 조건부확률을 떠올려봅시다. 사건 A가 일어났을 때, 사건 B가 일어날 확률은 아래와 같았습니다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 이번에는 사건 B가 일어났을 때, 사건 A가 일어날 확률을 써봅시다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 변형된 식들을 모아봅시다. 아래 식이 확률의 곱셈정리입니다. 확률의 덧셈정리는 합집합의 확률을 합(+)으로 표현한 것이었습니다. 확률의 곱셈정리는 교집합의 확률을 곱(X)으로 표현한 것입니다. 2019. 8. 30.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (10)조건부확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①조건부확률]-[(10)조건부확률] 조건부확률 표본공간 S가 있다고 합시다. 이 표본공간에 두개의 사건이 있습니다. A와 B라고 놓겠습니다. 이런 확률을 생각해볼 수 있습니다. "사건 A가 일어났을 때, B가 일어날 확률" 이 확률을 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률이라고 부릅니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. 이 등식을 먼저 이해해야 합니다. 어떤 사건이 발생할 확률은 그 사건의 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것입니다. 위의 상황은 사건 A가 이미 발생한 상황이므로, 전체 경우의 수가 A의 경우의 수가 됩니다. A가 발생한 상황에서 B가 발생할 경우의 수는 A라는 전체 사건 안에서 B가 발생하는 것이므로 A안에서 B에 해.. 2019. 8. 21.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (9)여사건의 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(9)여사건의 확률] 여사건의 확률 확률의 덧셈정리를 A와 A의 여집합에 적용하면 아래와 같습니다. A와 A의 여집합의 교집합은 공집합이므로 아래 등식이 성립합니다. A와 A의 여집합의 합집합은 전체집합이므로, 확률은 1입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 이항해서 정리하면 아래와 같습니다. 아래 등식이 여사건의 확률입니다. 2019. 8. 14.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (8)확률의 덧셈정리 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(8)확률의 덧셈정리] 확률의 덧셈정리 두 사건이 있습니다. A와 B라고 놓겠습니다. 두 사건의 원소 개수에 대해서 아래 등식이 성립합니다. 양면을 표본공간의 원소 수로 나눕시다. 표본공간은 전사건입니다. 발생할 수 있는 모든 사건의 경우의수 입니다. 따라서 각 항들은 확률이 됩니다. 위 식이 '확률의 덧셈정리'입니다. 만약 사건 A와 B가 배반사건이라면 교집합이 없기 때문에 아래 등식이 됩니다. 2019. 8. 13.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (7)확률의 기본 성질 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(7)확률의 기본 성질] 확률의 기본 성질 표본공간 S가 있다고 해봅시다. 표본공간은 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합이었습니다. 예를들어 주사위를 던지는 시행이 있다고 해봅시다. 이 시행에서 표본공간은 {1,2,3,4,5,6}입니다. 표본공간 S에 임의의 사건 A가 있습니다. 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 또 공집합은 모든집합의 부분집합입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. Ø⊂A⊂S 이때 성립하는 세가지 성질이 있습니다. 1) 임의의 사건 A에서, 0≤P(A)≤1 이다. 2) S가 반드시 일어나는 전사건이므로, P(S)=1 이다. 3) Ø가 절대 일어나지 않는 공사건 이므로, P(Ø)=1 이다. 2019. 8. 13.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (6)확률의 종류 - 통계적 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(6)확률의 종류 - 통계적 확률] 확률의 종류 - 통계적 확률 확률은 크게 두 가지로 나뉩니다. 수학적 확률과 통계적 확률입니다. 이전 글에서 수학적확률에 대해 배웠습니다. 수학적 확률은 시행을 하지 않고도 구할 수 있는 확률이었습니다. '주사위를 던질 때 짝수의 눈이 나올 확률'과 같은 확률입니다. 이번 글에서 다룰 '통계적 확률'은 그렇지 않습니다. 시행을 통해 실제로 알아가는 확률입니다. 따라서 시행 횟수에 따라 그 값이 변합니다. 예를 들어봅시다. 주사위를 300번 던졌습니다. 나온 짝수의 눈을 세보니 20회였습니다. 이때 확률을 구하면 1/15가 됩니다. 주사위를 던지는 횟수를 무한대로 보내면 실제로 구하는 확률은 어떤 값에 가까워져갈 것입니.. 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (5)확률의 종류 - 수학적 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(5)확률의 종류 - 수학적 확률] 확률의 종류 - 수학적 확률 확률은 크게 두 가지로 나뉩니다. 수학적 확률과 통계적 확률입니다. 이번 글에서는 수학적확률을 설명드리겠습니다. 수학적 확률은 이름에서도 알 수 있듯, 시행을 실제로 해보지 않아도 '수학적으로' 계산이 가능한 확률입니다. 수학적 계산이 가능하다는 것은 시행여부에 따라 변하는 것이 아니라 절대적인 값을 갖는다고 이해할 수 있습니다. 표본공간 S가 있고, 표본공간 S의 부분집합 사건 A가 있다고 해봅시다. A가 일어날 확률 P(A)는 아래와 같이 정의됩니다. n(S)는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의수입니다. n(A)는 사건 A가 일어나는 경우의 수입니다. 이 확률이 수학적확률입니다. 예.. 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (4)확률이란? [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(4)확률이란?] 확률이란? 어떤 시행의 표본공간을 S라고 하고, 표본공간의 부분집합인 한 사건을 A라고 합시다. 이 사건 A가 발생할 가능성이 사건 A의 확률입니다. 어떤 사건이 발생할 가능성 = 어떤 사건의 확률 사건A의 확률을 기호로 아래와 같이 나타냅니다. P(A) P는 Probability 첫글자 입니다. 괄호는 of 정도로 해석할 수 있습니다. P(A) = Probability of A 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (3)배반사건과 여사건 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(3)배반사건과 여사건] 배반사건과 여사건 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 표본은 sample, 공간은 space 라서 표본공간은 sample space입니다. 앞글자를 따서 S라고 이름붙였습니다. 이 시행의 사건 A와 B가 있습니다. 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. 배반사건은 어떤 사건들이 서로 교집합이 없는 것을 의미합니다. 만약 사건 A와 B가 서로 배반사건이라면 아래 등식이 성립합니다. 반대로 위 등식이 성립하면, 두 사건은 서로 배반사건입니다. 어떤 사건의 여사건은 그 사건이 일어나지 않은 사건을 말합니다. 집합으로 표현하면 여집합입니다. A의 여사건은 아래와 같습니다. 어떤 사건과 그 사건의 여사건은 .. 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (2)합사건과 곱사건 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(2)합사건과 곱사건] 합사건과 곱사건 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 표본은 sample, 공간은 space 라서 표본공간은 sample space입니다. 앞글자를 따서 S라고 이름붙였습니다. 이 시행의 사건 A와 B가 있습니다. 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. 합사건을 정의해봅시다. 합사건은 A 또는 B가 일어나는 사건을 말합니다. 집합으로 표현하면 합집합입니다. 합사건 = A 또는 B가 일어나는 사건 = 이번에는 곱사건을 정의해봅시다. 곱사건은 A 그리고 B가 일어나는 사건입니다. 다른 말로 하면 A와 B가 동시에 일어나는 사건입니다. 집합으로 표현하면 교집합입니다. 곱사건 = A 그리고 B가 일어나는 사건 = 2019. 8. 10.

[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (1)시행과 사건 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(1)시행과 사건] 시행과 사건 주사위를 던졌습니다. 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}의 눈이 나올 수 있습니다. 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}중 하나는 반드시 나온다는 말입니다. 주사위를 던져서 7이 나올 수는 없습니다. 주사위를 던졌더니 3이 나왔습니다. 시행 : 주사위를 던졌습니다. 표본공간 : 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}의 눈이 나올 수 있습니다. 전사건 : 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}중 하나는 반드시 나온다는 말입니다. 공사건 : 주사위를 던져서 7이 나올 수는 없습니다.사건 : 주사위를 던졌더니 3이 나왔습니다. 근원사건 : {1} {2} {3} {4} {5} {6} 일반화시켜봅시다. 시행 : 어떤 .. 2019. 8. 10.

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