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수학 하14

[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (5) 약수의 개수 [수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(5) 약수의 개수] 약수의 개수 간단한 숫자를 통해 이해하고 일반화하겠습니다. 24의 양의 약수의 개수를 구해봅시다. 1,2,3,4,6,8,12,24 8개입니다. 1부터 키워가며 약수인지 아닌지 확인하면 어렵지 않게 구할 수 있습니다. 이번에는 240의 약수의 개수를 구해봅시다. 위와 같은 방법으로 구하기에는 숫자가 너무 큽니다. 다시 24로 돌아가봅시다. 24의 약수들이 어떻게 구해지는지 알아봅시다. 24를 인수분해하면 아래와 같습니다. $24= 2^{3} \times 3$ 24의 약수는 $2^{3}$ 의 약수와 $3$의 약수를 조합하여 만들수 있는 모든 수들입니다. 아래의 두 집합에서 각각 하나의 원소를 택하고 곱하여 만들 수 있는 모든 수를 말합니.. 2021. 7. 24.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (36) 무리식의 곱셈과 나눗셈 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[④무리함수]-[(36) 무리식의 곱셈과 나눗셈] 무리식의 곱셈과 나눗셈 무리식 $a$와 $b$가 있다고 합시다. 두 무리식이 0보다 클 때 아래 연산이 성립합니다. $1) \ \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ $2) \ \sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$ $3) \ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ $4) \ \sqrt{\frac{a}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{a}}{b}$ 증명을 하지는 않겠습니다. 원래 1+1=2 처럼 직관적으로 당연하게 받아들여지는 내용이 증명이 더 어렵습니다. 2021. 5. 4.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (27) 유리식의 계산 (분모차수≥분자차수) 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(28) 유리식의 계산(분모가 다항식의 곱)] 유리식의 계산 (분모차수 ≥ 분자차수) 유리식을 계산하는 방법입니다. 유리식을 계산한다는 것은 유리식을 최대한 간단히 만든다는 의미입니다. 누군가에게는 당연한 내용일 것이고, 누군가에게는 테크닉을 익히는 귀찮은 과정일겁니다. 이런저런 문제를 풀 때 유리식을 간단히 만들어야 하는 상황을 위한 준비라고 생각합니다. 아래와 같은 몇가지 유형이 있습니다. 1) 분모차수 > 분자차수 2) 분모가 다항식의 곱 이번 글은 첫번째 경우입니다. 아래 수식을 봅시다. $\frac{x^{2}+2x+1}{x+1}+\frac{x^{2}-3x+2}{x+2}$ 통분을 하면 전개해야할 수식이 너무 많습니다. 이런 경우 아래와 같이 변형합.. 2021. 2. 16.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (21) 역함수 구하는 방법 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(21) 역함수 구하는 방법] 역함수 구하는 방법 $y=f(x)$ 의 역함수를 구하는 방법을 알아봅시다. 한가지 예시를 통해 역함수를 구해보고 일반화시켜봅시다. $y=3x+2$ 의 역함수를 구해봅시다. 먼저 "일대일 대응"인지확인해야합니다. 일대일대응 함수여야 역함수가 존재하기 때문입니다. 일단 일대일함수입니다. $x$값 하나당 $y$이 하나만 존재합니다. 또한 정의역, 공역, 치역 모두 실수 전체의 집합입니다. 일대일 함수에 공역과 치역이 같으므로 일대일 대응입니다. 어떤 함수의 역함수는 치역과 정의역이 뒤바뀐 것입니다. 따라서 $y=3x+2$ 함수에서 $x$와 $y$의 자리를 바꿔줍니다. $$x=3y+2$$ 이제 $y=f^{-1}(x)$ 형.. 2020. 12. 22.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (19) 역함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(19) 역함수란 무엇인가] 역함수란 무엇인가 역함수는 함수를 반대방향으로 정의한 것입니다. 정의역이 치역이 되고, 치역이 정의역이 되는 것입니다. 화살표 방향이 반대로 바뀐다고 이해하시면 됩니다. 아래 함수 f(x)를 봅시다. f(x)를 반대방향으로 정의하면 아래와 같습니다. 기호로는 로 나타냅니다. 이 함수를 f(x)의 역함수라고 부릅니다. 기호를 이용하여 함수 f(x)와 그 역함수를 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 12. 8.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴] 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 세번째 성질을 증명해봅시다. 항등함수와 합성 시 자기 자신이 나온다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 증명해봅시다. 먼저 첫번째 식의 순서로 항등함수와 f를 함성하면 아래와 같습니다. 정의역을 x로 놓겠습니다. 항등함수 I(x) 는 x입니다. I(x)=x 이므로 아래와 같이 변형됩니다. 이번에는 두번째 식의 순서로 항등함수와 f를 합성해 봅시다. 위에서와 같은 이유로 아래와 같이 변형됩니다.. 2020. 12. 1.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함] 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 두번째 성질을 증명해봅시다. 결합법칙이 성립한다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 이 등식의 성립을 증명하기 전에, 조건부터 알아봅시다. 아무 함수에서나 성립하는 조건은 아닙니다. 일단 합성이 가능해야합니다. f와 g가 합성이 가능하고, g와 h가 합성이 가능하려면 함수가 아래와 같이 정의되어 있어야 합니다. 임의의 집합 X,Y,Z,W 에서 정의된 함수 f,g,h 는 아래와 같다. 이제 결합법칙을 증명해봅시다. 좌변의 경우 .. 2020. 11. 24.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함] 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 첫번째 성질을 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 합성함수에서 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 두 함수 f, g에 대하여 이제 위 등식이 성립하지 않는다는 것을 증명해 봅시다. 수학에서 대표적인 증명방법은 아래의 네가지가 있습니다. - 직접증명- 수학적 귀납법- 귀류법- 반례 반례를 이용하여 증명하겠습니다. 반례가 하나라도 존재한다면 위 등식은 성립하지 않는 것입니다. 두 함수를 아래와 같이 놓겠습.. 2020. 11. 24.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건] 함수의 합성이 가능하기 위한 조건 아무 함수나 합성이 가능한 것은 아닙니다. 합성이 가능한 상황과, 불가능한 상황을 살펴보며 언제 합성이 가능한지 알아봅시다. 아래 두 함수 f와 g를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 알아보는 방법은 g(f(x)) 라는 합성함수에 정의역 1,2,3,4,5 를 하나씩 대입해서 함수값이 존재하는지 알아보는 것입니다. g(f(1)) 은 얼마일까요? a입니다. 같은방법으로 확인하다 보면 g(f(5)) 의 값이 정의되지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 위 함수는 정의될 수 없습니다. 이번엔 아래 함수를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 확인해봅시다. g(f(1.. 2020. 11. 18.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (14) 합성함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(14)합성함수란 무엇인가] 합성함수란 무엇인가 세 집합이 있다고 합시다. 세 집합을 X, Y, Z 라고 놓겠습니다. 세 집합으로 함수를 정의하겠습니다. X에서 Y로의 함수를 하나 정의하고 f(x)라고 놓겠습니다. Y에서 Z로의 함수를 하나 정의하고 g(x)라고 놓겠습니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다. f(x) 와 g(x)를 이용하면, X에서 Z로의 함수를 하나 정의할 수 있습니다. g(f(x)) 입니다. 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 합니다. g(f(x)) : f와 g의 합성함수 합성함수를 나타내는 기호도 있습니다. 아래와 같은 기호를 사용합니다. 위 함수를 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 10. 20.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (13)상수함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(13)상수함수의 개수] 상수함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 5개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 상수 함수의 개수를 구해봅시다. 상수 함수는 X의 함수값이 전부 하나의 Y값으로 가는 경우를 말합니다. 따라서 위 경우 상수함수의 개수는 5가지입니다. 일반화시켜봅시다. 집합 X의 원소 수를 n개, Y의 원소 수를 m개 라고 합시다. 위 경우, 상수함수의 개수는 m개 입니다. 2020. 10. 13.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (12) 일대일 대응의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(12)일대일 대응의 개수] 일대일 대응의 개수 일대일 대응은 x의 함수값이 전부 다르고, 공역과 치역이 같은 대응입니다. 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 일대일 대응에서는 집합 X와 Y의 원소 수가 같아야 합니다. 집합 X와 Y 모두 세개의 원소가 있다고 합시다. x의 첫번째 원소인 x1에는 3개의 y가 대응될 수 있습니다. 동시에 대응된다는게 아니라 3가지 선택권이 있다는 것입니다. x1에 y중 하나가 대응되면, x2는 2개의 선택권을 가집니다. 따라서 함수의 개수는 아래와 같습니다. 함수의 개수 = 3x2x1 일반화시켜봅시다. 집합 X와 Y의 원소 수를 n개라고 합시다. x의 첫번째 원소인 x1에는 n개의 선택권, x2는.. 2020. 10. 6.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (11) 일대일 함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(11)일대일 함수의 개수] 일대일 함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 5개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 일대일 함수의 개수를 구해봅시다. 일대일 함수는 X의 함수값이 전부 서로 다른 함수를 말합니다. x의 첫번째 원소인 x1에는 5개의 y가 대응될 수 있습니다. 동시에 대응된다는게 아니라 5가지 선택권이 있다는 것입니다. x1에 y중 하나가 대응되면, x2는 4개의 선택권을 가집니다. 따라서 함수의 개수는 아래와 같습니다. 함수의 개수 = 5x4x3 y의 원소가 x보다 많을 때만 일대일함수가 가능합니다. y가 적다면, x의 함수값이 전부 서로 다르게 할 수.. 2020. 9. 29.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (10) 함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(10)함수의 개수] 함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 2개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 함수의 개수를 구해봅시다. 집합 X의 원소 각각 Y의 원소 두개에 대응할 수 있으므로, 2의 3제곱 개의 함수가 가능합니다. 함수의 개수 : 2³ 일반화시켜봅시다. 집합 X의 원소 수를 n개, Y의 원소 수를 m개 라고 합시다. 집합 X의 원소 각각 Y의 원소 m개에 대응할수 있으므로, m의 n제곱 개의 함수가 가능합니다. 함수의 개수 : 2020. 9. 22.

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