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수학(상)/1. 다항식19

[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (19) 고차식의 인수분해 고차식의 인수분해 아래와 같이 문자가 한 종류인 3차 이상의 다항식을 인수분해하려고 합니다. 인수분해 기본공식과 심화유형으로는 풀리지 않습니다. 이런 경우에 사용할 수 있는 방법이 있습니다. '인수정리'를 이용해서 인수를 예측하는 것입니다. 미래로 가서 인수분해를 끝마친 상황을 봅시다 . 우변의 인수를 0으로 만드는 값은 -2 , 1 , 3 입니다. 이 값은 좌변 상수항 6의 약수라는 것을 알 수 있습니다. 이 개념을 일반화 하면 아래와 같은 결론을 얻을 수 있습니다. 다항식 을 만족시키는 a가 존재하는 조건은 아래와 같습니다. a=±(상수항의 양의 약수)/(최고차항의 계수의 양의 약수) 한가지 예시를 더 봅시다. 최고차항 계수가 1이 아닌 경우입니다. 인수를 0을 만들 가능성이 있는 후보를 뽑으면 아래.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (18) 인수분해 심화유형 인수분해 심화유형 인수분해 심화유형은 기본공식으로는 인수분해가 되지 않는 네가지 유형입니다. 1. 치환 치환하면 기본공식으로 인수분해가 되는 유형입니다. 아래 예시를 보면 이해되실겁니다. 치환할 부분이 눈에 보이시죠? 아래와 같이 치환합니다. 전개한 뒤 인수분해합니다. 치환한 부분을 원래대로 돌려놓으면 인수분해 완료입니다. 2. 치환(복이차식) 사차식, 이차식, 상수항으로 되어있는 다항입니다. 일차식, 삼차식이 없어요. 아래와 같이 치환합니다. 인수분해 기본공식이 적용됩니다. 인수분해하면 됩니다. 3. 내림차순 정리 한 문자에 대해 내림차순으로 정리하면 기본공식으로 인수분해되는 경우입니다. 아래 예시를 봅시다. x에 대해 내림차순으로 정리합시다. 기본공식을 이용하여 인수분해합니다. 4. 계수가 대칭인 4.. 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (17) 인수분해 기본공식 인수분해 기본공식 인수분해 기본공식을 배워봅시다. 13개의 공식이 있습니다. 전개해서 비교해보시고, 꼭 '체득'하셔야 합니다. 자유자재로 사용할 수 있도록요. 1. 난이도 easy 2. 난이도 normal 3. 난이도 hard 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (16) 다항식의 인수분해란? 다항식의 인수분해란? 인수분해의 '인수'는 '곱해진 수'라는 뜻입니다. 하나의 다항식을 여러 다항식의 곱으로 표현하는 것을 인수분해라고 합니다. 쉽게 이야기하면 '전개의 반대과정' 입니다. 아래는 전개의 예시입니다. 좌변과 우변을 바꿔 쓰면 인수분해가 됩니다. 자연스럽지는 않죠? 인간의 머리로 당연하게 받아들여지는 과정은 아닙니다. 전개는 직관적인 과정인데 인수분해는 그렇지 않죠. 전개를 먼저 떠올리고 그 반대과정을 생각해야 합니다. 결국은 이해를 기반으로 외워야 한다는 것이죠. 다행히 쓸모 없는 녀석은 아닙니다. 인수분해는 여러가지 계산과정에서 반드시 필요한 도구입니다. 대표적으로 방정식의 해를 구할 때 사용됩니다. 다음시간에는 인수분해 공식들을 살펴봅시다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.

[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (15) 조립제법 원리 + 더 편한 방법 소개 조립제법 원리 + 더 편한 방법 소개 지난시간에는 조립제법의 사용법을 배웠습니다. 오늘은 원리를 이해해봅시다. 먼저 조립제법 보다 더 직관적이고 편한 방법을 소개하구요. 이 방법을 이용해서 조립제법 원리를 설명할 것입니다. 아래 나눗셈을가지고 설명할게요. 위 나눗셈을 아래와 같이 항등식으로 바꿀 수 있습니다. 몫과 나머지를 구해야하는 상황인데요. 아래와 같이 일단 괄호를 열어줍니다. 괄호 안에 어떤 식이 와야할까요? 최고차항이 동일해야하니까. 2x가 먼저 등장해야 합니다. 현재 우변의 1차항이 2x 인데요. 좌변에는 3x가 있습니다. x가 더 필요하죠. 따라서 아래와 같이 됩니다. 우변의 상수항은 1이죠. 좌변은 -1이니까. R은 -2가 되어야 합니다. 이 원리를 이용하여 만든 방법이 조립제법입니다. 이.. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-14) 조립제법 사용방법 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (14) 조립제법 사용방법 다항식의 나눗셈을 간편하게 할 수는 없을까 라는 의문을 가진 누군가가 더 간편한 방법을 찾아냈습니다. 그 방법이 조립제법입니다. 한가지 예시를 이용하여 조립제법을 사용하는 방법을 설명하겠습니다. 아래 나눗셈을 봅시다. 이 나눗셈을 조립제법을 이용하여 해봅시다. 단계 별로 설명하겠습니다. 일정한 규칙이 반복되는 것이라 금방 익숙해질 것입니다. 먼저 아래와 같이 ㄴ 자 모양을 그려줍니다. 왼쪽에는 나누는 식인 x-2 를 0으로 만드는 값을 적습니다. 오른쪽에는 계수를 적어줍니다. 최고차항의 계수인 2를 아래와 같이 아래쪽으로 내려줍니다. 2를 곱하고 0 아래에 써줍니다. 0과 4를 더해줍니다. 2와 4를 곱해서 -3 아래에 써줍니다. 이제 뭘 해.. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-13) 나머지정리와 인수정리 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (13) 나머지정리와 인수정리 나머지정리 나머지 정리는 다항식의 나눗셈을 할 때 나머지를 쉽게 구하는 방법입니다. 다항식 $f(x)$를 $(x-a)$로 나눌 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$ 이라고 한다면 아래와 같은 항등식으로 표현할 수 있습니다. $f(x)=(x-a)Q(x)+R$ 나머지는 $R(x)$가 아니라 $R$ 입니다. 나머지는 상수라는 말입니다. 일차식 $(x-a)$으로 나눴기 때문에 나머지는 0차식인 상수가 됩니다. 만약 나머지가 1차식으로 나왔다면 $(x-a)$로 한번 더 나눌 수 있고 결국 일차식이 됩니다. 위 항등식의 $x$자리에 $a$를 넣어봅시다. 우변의 첫 항은 0이 되어 사라지고 아래 식이 남게됩니다. $f(a)=R$ 나머지를 구했습니다.. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-12) 다항식의 나눗셈과 항등식 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (12) 다항식의 나눗셈과 항등식 지난 글에서 예를 들었던 나눗셈은 아래와 같습니다. 위 나눗셈은 아래와 같은 형태의 등식으로 표현할 수 있습니다. $2x^2+3x+6=(x-1)(2x+1)+8$ 위 식은 항등식입니다. 다항식의 나눗셈은 항등식으로 표현할 수 있습니다. 지난시간에 갑자기 항등식이 등장한 이유입니다. 위 상황을 일반화시켜봅시다. 나눠지는 다항식을 $f(x)$, 나누는 다항식을 $g(x)$, 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라고 놓는다면 아래와 같이 일반화할 수 있습니다. $f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$ 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-11) 항등식의 정의와 성질 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (11) 항등식의 정의와 성질 항등식의 정의 항등식이 무엇인지 알아봅시다. 그 전에 등식이 무엇인지 알아야됩니다. 등식은 등호가 있는 식입니다. 예를 들면 아래와 같습니다. $x+1=3$ $x^2-y^2=1$ 위 식은 방정식이기도 합니다. 방정식은 '미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식'입니다. 항등식도 등식의 일종이지만 방정식과는 다릅니다. 항등식은 '미지수에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식'입니다. 예를 들면 아래와 같습니다. $(x+3)^2=x^2+6x+9$ x에 아무 숫자나 넣어보시면 항상 등호가 성립한다는 것을 알 수 있습니다. 방정식과 항등식의 정의를 다시 정리해보면 아래와 같습니다. 방정식 : 미지수의 값에 따라 참이 되기도 .. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-10) 다항식의 나눗셈 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (10) 다항식의 나눗셈 다항식의 나눗셈은 아래와 같이 두가지로 나뉩니다. - 다항식을 단항식으로 나눔 - 다항식을 다항식으로 나눔 1. 다항식을 단항식을 나눔 A,B,C 를 각각 어떤 단항식이라고 가정합시다. 따라서 A+B 는 다항식이 됩니다. 다항식 A+B 를 단항식 C로 나누는 방법은 아래와 같습니다. $(A+B)\div C=\frac{A}{C}+\frac{B}{C}$ 단항식을 단항식으로 나누면 나머지는 항상 상수입니다. 2. 다항식을 다항식으로 나눔 A,B,C,D 를 각각 어떤 단항식이라고 가정합시다. 따라서 A+B 와 C+D는 다항식입니다. 다항식 A+B를 다항식 C+D로 나누는 방법은 아래와 같습니다. $(A+B)\div (C+D)=\frac{A+B}{C+D.. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-9) 다항식의 곱셈공식 22가지 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (9) 다항식의 곱셈공식 다항식의 곱셈공식은 다항식의 곱셈에서 자주 등장하는 형태를 공식으로 만들어 놓은 것입니다. 다항식의 곱셈공식은 '구구단'과 같은 것입니다. 알아두면 계산시간을 상당히 단축 시킬 수 있죠. 처음에는 외운다는게 부담이 될 수도 있는데, 문제를 많이 풀다보면 자연스럽게 익숙해집니다. 구구단처럼요. 1. 곱셈공식의 기본형 아래는 가장 기본이 되는 곱셈공식입니다. 눈으로도 전개가 가능한 공식들이죠. 아래 공식 정도는 손으로 쓰지 말고 머리 속으로 전개하는 연습을 해보세요. 1) $\left ( a+b \right )^2=a^2+2ab+b^2$ 2) $\left ( a-b \right )^2=a^2-2ab+b^2$ 3) $(a+b)(a-b)=a^2-b^2.. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-8) 다항식의 곱셈 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (8) 다항식의 곱셈 다항식의 곱셈은 다항식과 다항식을 곱한 것입니다. 단순 계산이라서 어렵지는 않습니다. 다항식의 곱셈에는 두가지 법칙이 사용됩니다. 분배법칙과 지수법칙입니다. 다항식의 곱셉을 직접 해보면서 이 법칙들이 어떻게 사용되는지 알아봅시다. 단항식 A, B, C, D, E 가 있습니다. 어떤 단항식일지는 각자 상상에 맡길게요. 이 단항식으로 두개의 다항식을 만들겠습니다. 다항식1 : A+B 다항식2 : C+D+E 두 다항식을 곱하겠습니다. (A+B)(C+D+E) 전개하면 아래와 같이 됩니다. 전개할 때 분배법칙이 사용됩니다. (A+B)(C+D+E) = AC+AD+AE+BC+BD+BE 단항식이 거듭제곱 형태로 되어 있다면, 두 단항식을 곱할 때 지수법칙이 사용.. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-7) 다항식의 지수법칙 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (7) 다항식의 지수법칙 다항식의 곱셈을 할때, 지수계산이 자주 나옵니다. 아래와 같이 몇개의 유형으로 분류해볼 수 있어요. 어려운 내용은 아니라서 수식을 적고, 수식 아래에 간단한 예시만 들어놓겠습니다. 1) 단항식의 곱셈 법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ 예시 $a^3 \times a^2 =a\times a\times a\times a\times a=a^{3+2}$ 2) 단항식의 나눗셈 법칙 (m>n 인 경우) $a^m \div a^n=a^{m-n}$ (m=n 인 경우) $a^m \div a^n=1$ (m 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-6) 다항식의 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (6) 다항식의 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙 다항식을 더할 때 성립하는 두가지 법칙이 있습니다. 교환법칙과 결합법칙입니다. 다항식 A, B, C 가 있다고 해볼게요. 어떤 다항식인지는 각자 상상에 맡기겠습니다. 교환법칙은 A+B = B+A 가 성립한다는 법칙입니다. 너무 당연해서 이해하기 쉬울거에요. 결합법칙은 (A+B)+C = A+(B+C) 가 성립한다는 법칙입니다. 다항식의 덧셈을 계산할 때, 뭘 먼저 더하건 결과는 같겠지요. 한눈에 이해가 안되는 분들은 아무 다항식이나 만드셔서 직접 해보시면 금방 이해되실 거에요. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-5) 다항식의 오름차순, 내림차순 정렬 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (5) 다항식의 오름차순, 내림차순 정렬 다항식을 차수가 높은 항 부터 낮은 항 순서로 쓰는 것을 '내림차순 정렬'이라고 합니다. 아래 다항식은 내림차순으로 정렬한 것입니다. $5x^4+4x^3+3x^2+2x+1$ 내림차순의 반대는 오름차순입니다. '오름차순 정렬'은 차수가 낮은항부터 쓰면 됩니다. 아래 다항식은 위 식을 오름차순으로 정렬한 것입니다. $1+2x+3x^2+4x^3+5x^4$ 아래처럼 문자가 여러가지 섞여있을 때는 정렬의 기준이 되는 문자를 정해주면 됩니다. $2x^3y^2+4xy+3x^2y+2y+1$ 위 식을 'x에 대해' 내림차순으로 정렬하면 이렇게 되구요. 2x^3y^2+3x^2y+4xy+2y+1 'y에 대해' 오름차순으로 정렬하면 이렇게 됩니다. .. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-4) 다항식의 덧셈과 동류항 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (4) 다항식의 덧셈과 동류항 아래와 같이 두 다항식이 있습니다. $x^4+3x^2+1$ $2x^2+1$ 두 다항식을 더해봅시다. 두 식을 덧셈기호로 연결하면 아래와 같습니다. $x^4+3x^2+1+2x^2+1$ 상수항끼리 먼저 계산하면 아래와 같습니다. $x^4+3x^2+2x^2+2$ 두 이차식도 덧셈이 가능합니대. 왜냐구요? 이렇게 이해할 수 있어요. $x^2$ 세개랑 $x^2$ 두개를 더했어요. 총 몇개가 되죠? 5개가 됩니다. 계산하면 아래와 같습니다. $x^4+5x^2+2$ 차수가 같은 두 항을 더해준겁니다. 그렇다면, 차수가 같은 항끼리는 덧셈이 가능한 걸까요? 아래 다항식을 볼게요. 더해봅시다. 안되네요. 차수만 같다고 덧셈이 되지는 않는군요. $x^2+x.. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-3) 단항식과 다항식의 차수 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (3) 단항식과 다항식의 차수 다항식을 하나 써봅시다. $x^3+3xy+x+1$ 각 항들 마다 문자가 곱해진 개수가 다릅니다. 첫번째 항은 문자가 세번 곱해져 있구요. 마지막항은 문자가 곱해져 있지 않습니다. 이러한 항들을 분류할 기준이 있으면 편할 것 같았어요. 그래서 '차수'라는 기준을 정했습니다. 문자가 n번 곱해진 항은 n차항이라고 부르기로 약속한거죠. 그럼 첫번째 항은 3차항이 됩니다. 두번째항은 2차항이 되구요. 문자가 곱해지지 않은 항은 0차항이라고 부르는 대신 '상수항'이라고 부르기로 했습니다. 항의 차수 말고 다항식의 차수도 정해보았습니다. 차수가 가장 높은 항의 차수를 다항식의 차수로 정했습니다. 따라서 위 다항식은 3차식이 됩니다. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-2) 연산이란 무엇인가 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (2) 연산이란 무엇인가 다항식이 뭔지는 이제 알았을거에요. 오늘은 연산이 무엇인지 배워봅시다. 사칙연산은 이미 알죠. 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기에요. 그럼 연산은 뭘까요? 사칙연산 말고 그냥 '연산' 이요. 이런 예를 들기 싫지만, 관심을 끌려면 어쩔 수 없겠어요. 여러분이 수시 면접을 보러 갔는데 이런 질문을 받은거에요. "학생 연산이 뭔지 설명해보세요." 뭐라고 대답 할건가요? 연산이 뭔지는 느낌적인 느낌으로 알고 있어요. 멋진 말을 하나 만들어내면 될거 같은데. 뭐 이정도로 대답해볼까요? "두개의 대상을 이래저래 조작해서 새로운 대상을 만들어내는 것입니다!" 그럼 교수님이 이렇게 다시 물어볼 겁니다. "그럼 연산은 대상이 두개일 때만 가능한가?" 그때는 이.. 2018. 10. 8.

[수학 상] (1-1) 다항식의 정의 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (1) 다항식의 정의 다항식의 한자어 풀이는 '항이 많은 식'이에요. 하지만 실제 의미는 그렇지 않습니다. 그렇지가 않아요. 항이 많은 식이 다 다항식인줄 알았는데 아니었어요. 아래 식은 다항식이 아니더라구요. $\frac{2}{3x+3}+3^{y+z}-\log_{x}3z+\sqrt[3]{3xz}$ 분명히 항이 많잖아? 항이 세개잖아? 근데 왜 다항식이 아니지? 어이가 없더라구요. 다항식의 정의는 '항이 많은 식'이 아니었어요. 이거였죠. '1개 이상의 단항식의 합으로 만들어진 식' 그럼 단항식은 뭘까요. 항이 1개인 식? 그럼 위에 쓴 식에 각 항들도 단항식이어야 할텐데 아니잖아요. 단항식은 숫자 또는 문자들의 곱으로만 이루어진 식입니다. 위에 있는 식을 한번 더 봅.. 2018. 10. 8.

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