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고등수학 5분증명(2009개정)/미적분118

[5분 고등수학] 포물선과 직선의 넓이 공식 미적분의 기본정리를 이용하면 함수의 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다. 물론 어려운 경우도 있는데 구분구적법을 사용했을 때에 비하면 쉽습니다. 2차함수인 포물선과 1차함수인 직선이 만나면 닫힌영역이 생기는데요. 미적분의 기본정리를 이용하여 이 영역의 넓이를 구하는 방법을 알아봅시다. 아래와 같이 세가지 경우가 있습니다. 1) 포물선과 x축의 만남 2) 포물선과 직선의 만남 3) 두 포물선의 만남 오늘은 첫번째 경우를 알아봅시다. 1) 포물선과 x축의 만남 포물선이 위로 볼록일 수도 있고, 아래로 볼록일 수도 있으므로 아래와 같은 두가지 경우로 나뉩니다. 포물선의 방정식은 아래와 같습니다. $y=ax^{2}+bx+c$ 교점을 아래와 같이 놓겠습니다. $\alpha, \beta$ 각 넓이를 적분으로 표현하면 아.. 2021. 11. 19.

[5분 고등수학] 정적분과 급수 구분구적법을 기호로 표현한 식이 정적분입니다. 정적분은 아래와 같이 정의됩니다. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$ 적분이 미분의 역과정이라서, 미분과 관련이 있을 것이라 생각할 수도 있는데요. 위 정의는 미분과는 상관 없는 정의입니다. 미분의 역과정은 '부정적분'이고, 정적분은 단지 위 수식과 같이 정의된 것일 뿐입니다. 위 식의 우변은 무한급수입니다. 함수에서 구하고 싶은 부분을 잘게 쪼개서 전부 더해준 형태입니다. 좌변은 한가지 형태가 아니라 다양한 형태로 표현이 가능한데요. 오늘은 무한급수로 표현된 수식(우변)을 정적분 형태(.. 2021. 11. 18.

[5분 고등수학] 미적분의 기본정리 우리는 지난 글에서 정적분과 미분의 관계를 배운 상태입니다. 정적분과 미분의 관계는 아래와 같습니다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 $a \leq x \leq b$ 일 때, 아래 등식이 성립한다 . $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$ 위 등식을 이용하여 미적분의 기본정리를 증명합니다. 위 등식이 미적분의 기본정리 1 이고, 오늘 유도할 등식은 미적분의 기본정리 2입니다. 고등학교 과정에서는 오늘 유도하는 등식만 미적분의 기본정리라고 부릅니다. 고교과정 대학 정적분과 미분의 관계 미적분의 기본정리 1 미적분의 기본정리 : 미적분의 기본정리 2 우리는 고등학생이므로 오늘 배울 수식을 미적분의 기본정리라고 부르겠습니다. 미적분의 기본정리는 아래와 같습니다. 함.. 2021. 11. 17.

[5분 고등수학] 정적분과 미분의 관계 (뉴턴이 심멎한 그 수식) 지난시간에 정적분을 배웠습니다. 정적분은 함수의 '넓이'를 기호로 나타낸 것입니다. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$ 정적분을 가지고 놀던 중 아이작 뉴튼은 한가지 놀라운 발견을 합니다. 이 발견을 하고 뉴턴은 이렇게 말합니다. "와...심장이 멎는 줄 알았어" 여러분도 제대로 이해한게 맞다면 비슷한 경험을 하게 되실겁니다. 뉴튼이 발견한 것은 아래와 같습니다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 $a \leq x \leq b$ 일 때, 아래 등식이 성립한다 . $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=.. 2021. 11. 16.

[5분 고등수학] 정적분의 정의 정적분에서 '정'은 정해졌다는 의미입니다. 부정적분은 정해지지 않은 적분을 말합니다. 무엇이 정해졌고 정해지지 않은 걸까요? 그 무엇은 바로 '적분구간'입니다. 부정적분은 미분의 반대개념입니다. F(x)+c → f(x) f(x) → F(x)+c 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $\int f(x)dx=F(x)+c$ 부정적분은 미분에서 나온 개념입니다. 접선의 기울기를 구하는 과정에서 미분이 등장하게 되었고, 미분의 반대개념을 생각하다가 부정정분이 등장했습니다. 반면 정적분은 미분과 전혀 상관없이 발견되었습니다. 정적분을 부정적분에서 구간이 추가된 것으로 이해하는 경우가 있는데 둘은 완전히 다른 과정에서 발견되었습니다. 부정적분은 함수의 넓이를 구하는 과정에서 등장했습니다. 구분구적법에서 분할 수 n을 무.. 2021. 11. 15.

[5분 고등수학] 삼차방정식의 근의 판별 3차방정식의 근의 판별을 배워봅시다. 삼차방정식에서 근의 '개수와 종류'를 판별하는 것입니다. 물론 근을 직접 구해보면 알 수 있지만, 근의 정확한 값이 아니라 개수만 알기 원하는 경우 사용할 수 있는 편리한 방법이 있습니다. 바로 '극값'을 이용하여 근의 개수를 판별하는 것입니다. 극값에는 극댓값과 극솟값이 있습니다. 극댓값과 극솟값의 부호를 이용하여 근의 개수를 판별합니다. 삼차방정식이므로 최대 세개의 근을 가질 수 있습니다. 근의 개수의 종류는 아래와 같습니다. 1) 서로 다른 세 근 2) 이중근과 다른 한 실근 3) 한 실근과 두 허근 하나씩 알아봅시다. 1) 서로 다른 세 근 서로 다른 세 실근이 존재하는 경우는 아래 그림과 같습니다. 극값의 입장에서 설명해봅시다. 위 그래프는 극댓값과 극솟값의.. 2021. 11. 12.

[5분 고등수학] 평균값 정리 우리는 아래 세개의 정리를 배운 상태입니다 . - 최대최소의 정리 - 사잇값정리 - 롤의 정리 오늘은 평균값 정리를 배워봅시다. 위 세 정리도 고등학교 수준에서 증명하기 어려웠는데 평균값 정리도 그렇습니다. 평균값 정리가 무엇인지 이해만 해봅시다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능하다고 합시다. 예를 들면 아래와 같은 함수입니다. 이때 아래와 같은 평균변화율을 정의할 수 있습니다. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 이 평균변화율과 같은 미분계수 f'(c) 를 갖는 c가 가 구간 (a,b) 에 적어도 하나 존재한다는 정리가 평균값 정리입니다. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 평균값 정리를 쉽게.. 2021. 11. 11.

[5분 고등수학] 롤의 정리 롤의 정리에서 '롤'은 사람 이름입니다. 미쉘 롤(Michell rolle)이 증명한 정리라서 미쉘 롤의 이름을 따서 지었습니다. 최대최소의 정리, 사잇값정리도 고등학교 수준에서 증명하기 어려웠는데 롤의 정리도 그렇습니다. 롤의 정리가 무엇인지 이해만 해봅시다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, (a,b)에서 미분가능하다고 합시다. 예를 들면 아래와 같은 함수입니다. 이때 f(a)와 f(b)가 같다면, 즉 f(a)=f(b)라면 f'(c)=0인 c가 구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다는 것이 롤의 정리입니다. 아래 그림을 보면 당연히 성립한다는 것을 직관적으로 알 수 있습니다. 이런 의문이 드는 분이 계실 수 있습니다. 연속이기만 하면 되는거 아니야? 안됩니다. 아래와 같은 반례가 존재.. 2021. 11. 10.

[5분 고등수학] 함수 y=f(x)^n 의 미분 유도하기 오늘은 아래 함수를 미분하는 방법을 알아봅시다. $y=\left \{ f(x) \right \}^{n}$ 도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \left \{ f(x+h) \right \}^{n}-\left \{ f(x) \right \}^{n} }{h}$ 우변을 인수분해합시다. 아래와 같은 원리를 적용할 것입니다. $a^{b}-b^{n}=(a-b)\left ( a^{n-1}+a^{n-1}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1} \right )$ 우리가 유도하던 식에 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \left \{ f(x+h)-f(x) \right \} \l.. 2021. 11. 9.

[5분 고등수학] 도함수의 정의 도함수가 무엇인지 알아봅시다. 함수 f(x)가 있을 때, x=a에서의 미분계수의 정의는 아래와 같습니다. $f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a에서의 순간변화율이라고도 부르고, a에서의 미분계수라고도 부릅니다. 여기서 a자리에 변수 x를 넣으면 함수가 됩니다. 이 함수를 도함수라고 부릅니다. $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 조건이 필요하겠죠? f(x)가 미분가능한 함수여야 합니다. 도함수가 무엇인지 정리해봅시다. y=f(x)가 미분가능할 때, f(x) 도함수는 아래와 같이 정의됩니다. $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 도함수는 $f'(.. 2021. 11. 8.

[5분 고등수학] 미분 가능일 조건 우리는 함수 f(x)가 x=a에서 극한이 존재할 조건과, 연속일 조건을 배웠습니다. 극한이 존재할 조건이 연속일 조건을 포함하는 개념이었습니다. 극한이 존재 $\supset $ 연속 연속이면 반드시 극한이 존재하지만, 그 반대는 성립하지 않습니다. 극한이 존재하는 경우 중에서 일부 연속인 경우가 존재하는 것입니다. 오늘은 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능일 조건과 우리가 배운 세가지 조건들의 포함관계를 배워볼 것입니다. 1) 미분가능일 조건 2) 조건들의 포함관계 1) 미분가능일 조건 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능일 조건은 아래와 같습니다. "x=a에서의 우미분계수와 좌미분계수가 같다" 우미분계수와 좌미분계수가 무엇인지 먼저 알아봅시다. 아래 그림을 봅시다. x=a에서 미분계수를 구하려는 상황입니.. 2021. 11. 5.

[5분 고등수학] 최대 최소의 정리, 중간값 정리 오늘 배워볼 내용은 아래 두가지 정리입니다. 1) 최대 최소의 정리 2) 중간값(사잇값)정리 두 내용은 고등학교 수학 수준에서는 증명이 불가능합니다. 의미만 이해할 수 있습니다. 1) 최대 최소의 정리 최대최소의 정리는 아래와 같습니다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 어떤 의미인지 그래프를 통해 이해해봅시다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라면 아래와 같은 형태의 그래프입니다. 구간 내에 발산하는 곳이 없기 때문에 최댓값과 최솟값은 항상 존재합니다. 그림으로 보면 너무 당연한데, 당연한 내용일 수록 증명이 어렵습니다. 함수가 구간 [a,b]에서 연속이 아니면 최대최소 정리는 성립하지 않습니다. 아래 함수는 구간 [a,b]에서 최.. 2021. 11. 4.

[5분 고등수학] 함수가 연속일 조건 우리는 함수 f(x)가 x=a에서 극한값을 가질 조건은 배운 상태입니다. 아래와 같습니다. $\lim_{x\rightarrow a+0 }f(x)=\lim_{x\rightarrow a-0 }f(x)$ x=a에서의 좌극한과 우극한이 존재하고, 두 값이 같아야 합니다. 연속일 조건은 극한이 존재할 조건에서 한가지 조건이 추가됩니다. "극한값과 함수값이 같다" 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ 극한값이 존재한다는 것과 연속이라는 것이 어떻게 다른지 알기 위해 아래 세 그림을 비교해봅시다. 첫번째 그림은 극한값도 존재하지 않고 연속도 아닌 경우입니다. 두번째 그림은 극한값은 존재하지만 연속이 아닌 경우입니다. 세번째 그림은 극한값도 존재하고 연속이기도한.. 2021. 11. 3.

[5분 고등수학] 극한 미정계수 결정 시 사용하는 성질 두 함수 f(x)와 g(x)가 아래 수식을 만족한다고 합시다. $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$ 이때, 아래 두가지 성질을 만족합니다. 이 성질이 미정계수를 결정할 때 사용됩니다. 여기서 미정계수란 정해지지 않은 '계수'를 의미하는데, 일차식을 예로 들면 ax+b 에서 a를 말합니다. f(x) 혹은 g(x)에 미정계수가 있는 경우, 미정계수를 구할 때 사용되는 성질들입니다. 1) $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 이면, $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ 이다. 2) $L\neq 0, \ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ 이면, $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ 이다. 하나씩 증명해봅시다.. 2021. 11. 2.

[5분 고등수학] 함수의 극한값이 존재할 조건 함수 f(x)가 x=a에서 극한값을 가질 조건을 알아봅시다. 아래 두가지 조건을 모두 만족해야 합니다. 1) x=a에서 우극한과 좌극한이 존재 2) x=a에서 우극한과 좌극한이 같음 하나씩 자세히 알아봅시다. 1) x=a에서 우극한과 좌극한이 존재 x=a에서의 우극한은 x가 a보다 큰 값에서 a에 가까워져 갈 때 f(x)의 극한값입니다. 아래와 같이 표현됩니다. $\lim_{x\rightarrow a+0 }f(x)$ x=a에서의 좌극한은 x가 a보다 작은 값에서 a에 가까워져 갈 때 f(x)의 극한값입니다. 아래와 같이 표현됩니다. $\lim_{x\rightarrow a-0 }f(x)$ 이 두 값이 존재해야합니다. 발산하는 것이 아니라 수렴값이 존재해야 합니다. $\lim_{x\rightarrow a+0.. 2021. 11. 1.

[5분 고등수학] 순환소수 공식 유도 순환소수는 기약분수 형태로 변형할 수 있습니다. 순환소수의 형태에 따른 세가지 종류의 공식이 있습니다. 1) $0.\dot{a}b\dot{c}=\frac{abc}{999}$ 2) $0.a\dot{b}\dot{c}=\frac{abc-a}{990}$ 3) $0.ab\dot{c}=\frac{abc-ab}{900}$ 하나씩 유도해봅시다. 1) $0.\dot{a}b\dot{c}=\frac{abc}{999}$ 위 순환소수는 아래와 같이 반복됩니다. $0.\dot{a}b\dot{c}=0.abcabc...$ 이 값을 X라고 놓겠습니다. $X=0.abcabc...$ 양변에 1000을 곱합시다. $1000X=abc.abc...$ 아래 식에서 위 식을 빼줍니다. $999X=abc$ X에 대해서 정리합니다. $X=\frac{.. 2021. 10. 29.

[5분 고등수학] 급수와 수열의 극한의 관계(반드시 기억해야하는 명제) 수열의 모든 항을 더한 것을 '급수'라고 합니다. 영어로는 series 입니다. 수열의 모든 항을 더한 것을 수식으로 어떻게 나타낼까요? 아래와 같이 나타내면 될까요? $\sum_{k=1}^{n}a_{n}$ n번째 항까지만 더한 것이라서 모든 항을 더한 것은 아닙니다. n을 무한대로 보내면 모든 항의 합이 됩니다. $\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}a_{n}$ 따라서 급수는 수열의 합의 극한이라고 할 수 있습니다. 급수를 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다. $\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$ 일반적으로 수열의 합을 $S_{n}$으로 나타내므로, 급수를 아래와 같이 쓸 수도 있습니다. $\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}$ 급수를 나.. 2021. 10. 28.

[5분 고등수학] 등비수열의 수렴과 발산 등비수열에서 공비의 범위에 따른 수렴과 발산 여부를 공부해봅시다. 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열의 일반항은 아래와 같습니다. $a_{n}=ar^{n-1}$ 수열의 극한은 아래와 같이 표현합니다. $\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}$ r의 범위는 아래와 같이 다섯개로 나눌 수 있습니다. $r>-1 \qquad r=-1 \qquad -1 2021. 10. 27.

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