본문 바로가기
반응형

집합과 명제30

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (48) 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식은 프랑스 수학자 코시가 발견했고 독일의 슈바르츠가 수정하고 일반화한 부등식입니다. 겨우 이런 부등식에 거창한 이름이 붙었나 생각하시겠지만, 거창한 이름이 붙은데는 이유가 있습니다. 코시-슈바르츠 부등식은 고등학교 과정에서만 간단히 다뤄지는 것이지 수학에서 굉장히 중요한 부등식입니다. 확률론의 분산,공분산 등 다양한 분야에 적용됩니다. 실제로는 n차 부등식이지만, 가장 간단한 2차부터 다뤄보겠습니다. 모든 변수가 실수라는 조건이 붙습니다. 양수일 필요는 없습니다. 증명을 해봅시다. 양변을 전개하겠습니다. 정리합시다. 완전제곱식으로 정리됩니다. 위와 같이 증명이 되었습니다. 코시슈바르츠 부등식의 등호 성립조건을 구해봅시다. 바로 위의 식에서 부등호가 등호로 바꾸면 .. 2019. 5. 7.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (46) 산술,기하,조화평균 무엇인가 산술,기하,조화평균 무엇인가 평균에는 세가지가 있습니다. 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)입니다. 우리가 흔히 알고 있는 평균은 산술평균입니다. 예를들면 시험점수의 평균을 구할 때 사용합니다. 수학이 90점, 영어가 100점이면 평균이 95점입니다. 이때의 평균이 산술평균입니다. 그런데 산술평균만으로는 평균이 표현되지 않는 경우가 있습니다. 2년 전에 제 연봉이 A원이었다고 해봅시다. 작년에는 2배가 올랐구요. 올해는 다시 3배가 올랐습니다. 정리하면 아래와 같습니다. 2년전 : A원1년전 : 2A원올해 : 6A원 매년 평균 몇배가 오른 것일까요? 두배, 그리고 6배가 올랐으니까. 산술평균으로 계산하면 4배입니다. 매년 4.. 2019. 4. 29.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (44) 절대부등식 무엇인가 절대부등식 무엇인가 절대부등식은 영어로 absolute inequality 입니다. absolute 는 '제한이 없는' '절대적인' 이라는 뜻인데요. 여기서는 '제한이 없는'이라는 뜻이 더 적당해 보입니다. 절대부등식이 바로 해의 제한이 없는 부등식이기 때문입니다. 모든 x값에 대해서 성립하는 부등식이 바로 절대부등식입니다(x값에 양수 등의 조건이 주어질 수는 있습니다). 절대부등식 하나를 예로 들어보겠습니다. x에 알고 있는 아무 실수나 넣어보세요. 아마 성립할 것입니다. 모든 실수 x에 대해서 부등식이 성립합니다. 변수가 꼭 하나일 필요는 없습니다. 아래와 같은 절대부등식도 가능합니다. 모든 실수 x와 y에 대해 성립합니다. 2019. 4. 18.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (43) 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 식(또는 두 수)의 크기를 비교하는 방법은 세가지가 있습니다. 먼저 두 식이 0보다 크건, 같건, 작건 상관 없이 사용할 수 있는 방법입니다. 두 식을 서로 뺀 뒤 0과 비교해주면 됩니다. 두 식 A와 B가 있다고 해봅시다. 식 A에서 B를 뺐더니 0보다 컸습니다. 식 A와 B중 어느 식이 큰 것일까요. 식 A입니다. 방금 설명한 상황을 명제로 나타내봅시다. A-B>0 이면 A>B이다. 이 명제의 역도 성립합니다. 기호만으로 나타내면 아래와 같습니다. 아래 명제들도 동일하게 성립합니다. 두번째 방법은 두 식이 양수인 경우에만 성립합니다. 두 식 A와 B가 있고, 두 식 모두 0보다 크다고 해봅시다. 두 식을 제곱하여 과 을 얻었습니다. 에서 을 뻈더니 0보다 컸습니다. .. 2019. 4. 16.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (41) 필요조건, 충분조건 필요조건, 충분조건 'p이면 q이다' 라는 명제가 참이면 기호로 아래와 같이 나타냅니다. 이때 p를 q의 충분조건, q를 p의 필요조건이라고 합니다. 왜 충분과 필요라는 말이 붙었을까요? 한가지 예를 살펴봅시다. 'x가 2이면, x는 짝수이다' 라는 명제에서 p명제와 q명제를 구분하면 아래와 같습니다. p: x가 2이다.q: x가 짝수이다. 충분과 필요라는 말은 각 명제가 참이기 위해 다른 명제가 어떤 역할을 하는가에서 나온 말입니다. p가 참이되기 위해 q는 반드시 참이어야 할까요? q가 거짓이면 p가 참일 수 있나요? 절대 없습니다. p가 참이되려면 q가 참이라는 조건이 반드시 필요합니다. 따라서 q는 p의 필요조건이 됩니다. q가 참이려면 p가 꼭 필요할까요? 그렇지 않습니다. x가 4,6,8 등 .. 2019. 4. 9.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (40) p이면 q이다 참일 떄 기호 p이면 q이다 참일 떄 기호 'p이면 q이다' 라는 명제를 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 이 명제가 참일 때는 아래와 같이 나타냅니다. 'p이면 q이다' 도 참이고, 'q이면 p이다'도 참이면 어떻게 나타낼까요? 이렇게 나타냅니다. 2019. 4. 3.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (39) 증명 방법 (직접법 vs 간접법) 증명 방법 (직접법 vs 간접법) p 이면 q이다 명제를 증명하는 방법은 두가지가 있습니다. 1. 직접증명법2. 간접증명법 직접증명법은 가정에서 출발하여 결론에 도달해가는 방법입니다. 보통 직접증명법으로 증명을 먼저 시도합니다. 직접증명법으로 증명이 되지 않는 경우가 있습니다. 이럴때는 사용하는 방법이 간접증명법입니다. 간접증명법 중에서 대표적인 방법 두가지를 소개하겠습니다. 1. 대우를 이용한 증명법2. 귀류법 어떤 명제가 참이면 그 명제의 대우명제도 참입니다. 반대로 대우명제가 참이면 어떤 명제도 참입니다. 대우 명제가 참인 것을 증명하면 어떤 명제가 참임을 증명한 것입니다. 귀류법은 결론을 부정하고 가정에 모순이 됨을 보임으로써 본 명제가 참임을 증명합니다. 유명한 예는 '는 유리수가 아니다.'의 .. 2019. 3. 28.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (38) 증명이란 무엇인가 증명이란 무엇인가 증명은 어떤 명제가 참임을 설명하는 것입니다. 아무 가정도 없는 상태로 명제를 증명하는 것은 불가능하기 때문에 여러가지 기본적인 가정에서 출발합니다. 이러한 기본적인 가정들을 공리(AXIOM)이라고 부릅니다. 너무 당연해서 증명하기 어려운 명제들입니다. 공리들을 가정하고, 가정한 공리들을 이용하여 해당 명제가 참임을 보이는 것이 증명입니다. 참이라는 것이 밝혀진 명제를 정리(Theorem)라고 부릅니다. 2019. 3. 27.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (37) 삼단논법 삼단논법 논법은 말이나 생각을 논리적으로 전개해 나가는 방법입니다. 삼단논법은 세 단계로 이루어진 논법인데, 2개의 전제와 1개의 결론으로 구성됩니다. 유명한 예를 하나 보여드리겠습니다. 소크라테스는 인간이다. 인간은 모두 죽는다. 따라서 소크라테는 죽는다. 앞의 두 전제가 참이면 결론도 참이 되는 논법입니다. 이 삼단논법을 'p이면 q이다' 명제로 나타낼 수 있습니다. p → q 가 참이고,q → r 가 참이면,p → r 도 참이다. 2019. 3. 6.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (36) p → q 명제의 역과 대우의 참,거짓 p → q 명제의 역과 대우 'p이면 q이다' 라는 명제가 참이라면 아래와 같은 관계가 성립합니다. (P와 Q는 조건 p와 q의 진리집합입니다.) 집합 P가 Q에 포함된다면 아래 관계도 성립합니다. 따라서 아래 명제도 성립합니다. '~q 이면 ~p이다' 이 명제는 명제 'p이면 q이다'의 대우입니다. 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 어떤 명제가 참이면 그 명제의 대우도 참이다. 같은 이유에서 문장도 참입니다. 어떤 명제가 거짓이면 그 명제의 대우도 거짓이다. 2019. 3. 5.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (35) p → q 명제의 역과 대우 p → q 명제의 역과 대우 'p이면 q이다' 명제에서 p는 조건, q는 결론이라고 배웠었습니다. 예를 들어봅시다. x가 홀수이면 x+1은 짝수이다. 이 명제의 조건과 결론을 바꿔봅시다. x+1이 짝수이면, x가 홀수이다. 이 명제를 원래 명제의 '역'이라고 합니다. 이번에는 역인 명제의 조건과 결론을 부정해봅시다. x+1이 짝수가 아니면, x가 홀수가 아니다. 이 명제를 원래 명제의 '대우'라고 합니다. 정리해봅시다. 명제 p → q역 q → p대우 ~q → ~p 2019. 2. 27.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (30) 'p이면 q 이다' 꼴의 명제 (30) 'p이면 q 이다' 꼴의 명제 오늘은 특별한 형태의 명제를 배워봅시다. 두 조건으로 이루어진 명제입니다. 두 조건을 p와 q로 놓읍시다. 이 두 조건으로 명제를 만들 수 있습니다. 'p이면 q이다.' 잘 와닿지는 않습니다. 예를 한번 들어봅시다. p: x는 3이다.q: x는 2보다 크고 10보다 작은 홀수이다. 두 문장은 조건입니다. 조건은 x값에 따라서 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 문장이나 식입니다. 이 두 조건을 이용해서 'p이면 q이다' 라는 명제를 만들어 봅시다. 'x는 3이면, x는 2보다 크고 10보다 작은 홀수이다.' 참 거짓을 판별해 봅시다. 참입니다. 참과 거짓을 분명하게 판별할 수 있기 때문에 '명제'가 맞네요. 두 조건으로 이루어진 명제 'p이면 q이다'를 기호로 나.. 2019. 2. 7.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (27) 진리집합 진리집합 지난시간에 '조건'을 배웠습니다. 일상에서 사용하는 조건이 아니라 수학에서의 조건입니다. 조건 p를 하나 만들어봅시다. p(x) : x 는 홀수이다. 이 조건이 전체집합 U에서 정의됐다고 해봅시다. 이 조건이 전체집합 U에서 정의되었다는 말은 x가 전체집합에 속한 원소의 값만을 가질 수 있다는 의미입니다. 전체집합은 아래와 같이 정의합시다. U={1,2,3,4,5,6} 전체집합의 원소들 중에는 조건 p를 참이되게 하는 원소도 있고, 거짓이 되게 하는 원소도 있습니다. 이 원소들을 각각 집합으로 표현해봅시다. 조건 p가 참이 되게 하는 원소들의 집합 = {1,3,5}조건 p가 거짓이 되게 하는 원소들의 집합 = {2,4,6} 이 두 집합 중 조건 p가 참이되게 하는 집합을 조건 p의 진리집합이라고.. 2019. 1. 30.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (23) 대칭차집합 대칭차집합 A와 B라는 두 집합이 있는데, 겹치지 않는 부분만 기호로 나타내고 싶었습니다. 어떻게 하면 될까요? A와 B의 합집합에서 가운데 부분이 비어있는 집합입니다. 먼저 떠오르는 생각은, 합집합에서 교집합을 빼는 것입니다. 다른 방법도 있을까요? 차집합을 이용해도 표현할 수 있습니다. A에서 B를 뺀 집합과, B에서 A를 뺀 집합을 합해주면 됩니다. 방법이 더 있을지 생각해봅시다. 한 가지 방법이 더 떠올랐어요. (A와 B의 합집합)과 (A와 B의 교집합의 여집합)을 상상해봅시다. 둘의 겹치는 부분이 보이시나요? 우리는 지금까지 같은 집합을 다른 방법으로 표현해보았습니다. A집합과 B집합에서 겹치지 않는 부분으로 이루어진 집합이지요. 이 집합을 대칭차집합이라고 부릅니다. 벤다이어그램에서 보면 차집합.. 2019. 1. 14.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (21) 원소의 개수 - 차집합 원소의 개수 - 차집합 이런 상황을 가정해 봅시다. 집합 A와 집합 B가 있구요. 우리는 집합 A의 원소의 개수와 집합 A와 B의 교집합의 원소의 개수를 알고 있습니다. 이 정보들로 A와 B의 차집합을 구해야하는 상황입니다. 집합 A의 원소개수에서 집합 A와 B의 교집합 원소 개수를 빼면 됩니다. 또 다른 상황을 가정해봅시다. 이번에는 집합 B의 원소개수와 집합 A와 B의 합집합의 원소의 개수를 알고 있습니다. 이 정보들로 A와 B의 차집합을 구해봅시다. 집합 A와 B의 합집합의 원소개수에서 집합 B의 원소개수를 빼주면 됩니다. 2019. 1. 13.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제(20) 원소의 개수 - 여집합 원소의 개수 - 여집합 이런 상황을 가정해 봅시다. 집합 U와 A가 있구요. 우리는 집합 U의 원소 개수, 집합 A의 원소 개수를 알고 있습니다. 이 정보들로 A의 여집합을 구해야하는 상황입니다. 너무 쉽죠? 전체 집합의 개수에서 집합 A의 개수를 빼면 됩니다. 2019. 1. 13.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 *(17) 교환, 결합, 분배법칙 교환, 결합, 분배법칙 집합의 합집합, 교집합, 여집합 등을 집합의 '연산'이라고 부릅니다. 우리는 이미 연산을 배운 상태인 거것이죠. 집합의 연산에서 성립하는 6개의 법칙은 아래와 같습니다. 1) 교환법칙2) 결합법칙3) 분배법칙4) 흡수법칙5) 드모르간 법칙6) 부정법칙 오늘은 이들 중 앞의 3가지를 배워봅시다. 먼저 교환법칙입니다. 교환법칙은 교집합과 합집합에서 성립하는 법칙인데, 보면 받아들여지실 겁니다. 당연하죠? 이렇게 당연하게 성립하는 수식을 증명하는 것이 더 어렵습니다. 고등학교과정에서는 받아들이고 넘어갑시다. 두번째는 결합법칙입니다. 결합법칙도 보시면 받아들여지실 겁니다. 이해가 안되시는 분들은 벤다이어그램을 한번 그려보시기 바랍니다. 수의 사칙연산에서 덧셈/뺄셈과 유사합니다. 세번째는 .. 2018. 12. 18.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (16) 집합의 서로소 집합의 서로소 서로소라는 말은 자연수를 다룰 때도 나온 적이 있습니다. 두 수가 서로소라는 것은 공약수가 1밖에 없다는 것을 의미합니다. 집합에서의 서로소도 이와 비슷합니다. 두 집합의 교집합이 공집합밖에 없을때, 즉 두 집합의 공통된 원소가 하나도 없을 때 두 집합을 서로소라고 합니다. 서로소의 '소'는 한자로 본디, 바탕, 성질을 뜻하는 말입니다. 서로는 each other 할때 서로구요. 본디라는 말은 '사물이 전하여 내려온 그 처음'이라는 뜻입니다. 따라서 서로소는 서로가 각각 본래의 것이라는 의미로 이해하면 됩니다. 서로가 각각 고유한 본래의 것이기 때문에 겹치는 부분이 없다는 것이죠. 집합 A와 B가 서로소일 때 아래의 성질을 만족합니다. 교집합이 공집합입니다. 공통된 원소가 없다는 말이죠. .. 2018. 12. 11.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (15) 차집합의 성질 차집합의 성질 차집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 어렵지 않은 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) 이다. 전체집합에서 A를 빼면, A의 여집합이 납습니다. 2) 이다 A와 B의 여집합의 겹치는 부분을 상상해봅시다. A에서 B가 빠진 곳에 해당되죠? A에서 A와 B의 교집합을 빼봅시다. 이때도 같은 곳이 남습니다. 3) 이면 이다. A에서 B를 뺐는데 아무 것도 남지 않았다면 둘은 어떤 관계인걸가요. B가 A의 모든 원소를 가지고 있따는 말이겠죠? B가 A를 포함하는 상황입니다. 2018. 12. 11.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (12) 전체집합과 여집합 전체집합과 여집합 우리가 다루려는 대상 전체를 포함하는 집합을 '전체집합'이라고 합니다. 전체집합은 상대적인 개념입니다. 만약 우리가 집합 {1,2,3,4,5} 만을 다루고자 한다면 이 집합이 전체집합이 되는 것입니다. 전체집합은 기호로 U라고 나타냅니다. 여집합은 전체집합에서 어떤 집합을 제외한 나머지 부분을 뜻합니다. 전체집합을 U라고 하고 어떤 집합을 A라고 한다면 전체집합 U에서 A를 제외한 나머지 부분을 A의 여집합이라고 합니다. 기호로는 로 나타냅니다. 실제 예를 들어봅시다. 전체집합 U와 집합 A가 있습니다. A의 여집합을 구해봅시다. 겹친다고 두번 쓰지는 않습니다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? and 대신 '그리고'.. 2018. 11. 27.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (11) 합집합의 성질 합집합의 성질 합집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 어렵지 않은 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) A ⊂ B 이면, A ∪ B = B 이다. A가 B에 포함된다면, A가 B 안에 들어가 있는 모양입니다. 둘을 합하면 B가 됩니다. 2) A ∪ B = B 이면 A ⊂ B 이다. 1번 성질의 '역'입니다. 어떤 명제가 성립한다고 역이 반드시 성립하지는 않습니다. 이 경우는 성립하네요. A와 B의 합집합을 구했더니 B가 나왔습니다. 이런 결과가 나오는 경우는 A가 B에 포함된는 경우 밖에는 없습니다. 3) A ∪ Φ = Φ 이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 어떤 집합에도 포함됩니다. 4) Φ ∪ Φ = Φ 이다. 당연하겠죠^^ 5) A ⊂ (A ∪ B) , B ⊂ (A ∪ B)이다. A.. 2018. 11. 27.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (10) 합집합 합집합 합집합은 두 집합을 합친 것입니다. 원소의 입장에서 본다면 A와 B중 적어도 하나에 포함되는(A 또는 B에 포함되는) 원소들을 추린 것이죠. 벤 다이어그램으로 나타내면 아래와 같습니다. 기호로는 이렇게 나타냅니다. A 합집합 B라고 부릅니다. A교집합 B라고 부릅니다. 실제 예를 들어봅시다. 집합 A와 B가 있습니다. 합집합을 구해봅시다. 겹친다고 두번 쓰지는 않습니다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? or 대신 '또는'이라고 써도 됩니다. 2018. 11. 26.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (9) 교집합의 성질 교집합의 성질 교집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 얼마든지 생각해낼 수 있는 간단한 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) A ⊂ B 이면 A ∩ B = A 이다. A가 B에 포함된다면, A가 B 안에 들어가 있는 모양입니다. 당연히 A와 B의 겹치는 부분은 A겠지요. 2) A ∩ B = A 이면 A ⊂ B 이다. 1번 성질의 '역'입니다. 어떤 명제가 성립한다고 역이 반드시 성립하지는 않습니다. 이 경우는 성립하네요. A와 B의 교집합을 구했더니 A가 나왔습니다. 이런 결과가 나오는 경우는 A가 B에 포함된는 경우 밖에는 없습니다. 3) A ∩ Φ = Φ 이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 따라서 어떤 집합과 공집합의 교집합을 구하면 공집합이 됩니다. 4) A ∩ A = A 이다. 당.. 2018. 11. 26.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (8) 교집합 교집합 교집합은 교차되는 집합을 의미한다. 두 집합이 있으면 두 집합이 겹치는 부분이다. 원소의 입장에서 본다면 집합 A와 집합 B에 동시에 포함되는(A 그리고 B에 포함되는) 원소들을 추린 것입니다. 벤 다이어그램으로 나타내면 아래와 같다. 기호로는 이렇게 나타냅니ㅁ다. A 교집합 B 라고 부릅니다. A교집합 B라고 부릅니다. 실제 예를 들어봅시다. 집합 A와 B가 있습니다. 교집합을 구해봅시다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? and 대신 '그리고'라고 써도 됩니다. 2018. 11. 26.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (7) 부분집합의 개수 + 특정한 원소 부분집합의 개수 + 특정한 원소 부분집합의 개수를 구하다 보면 이런 의문이 듭니다. 만약 어떤 원소를 반드시 포함하도록 한다면 부분집합의 개수는 어떻게 될까. 오늘날 우리들은 이런 의문을 가질 새 없이 지식을 계속 습득해야 하지만 돈 많고 시간 많고 호기심 많던 옛사람들은 이런 의문도 가졌을 거에요. 말로만 설명해볼테니 한번 이해해봅시다. 상상력을 동원해서 우리 뇌를 성장시켜보죠. 어떤 집합 A가 있다고 해봅시다. A의 원소는 n개입니다. A의 부분집합의 개수는 입니다. 지난시간에 배웠습니다. A의 원수 n개 중에서 특정한 원소 k개를 반드시 포함하고 싶은 상황입니다. 좋은 아이디어가 있습니다. 먼저 k개의 원소를 빼놓겠습니다. 그럼 A의 원소는 n-k개가 됩니다. n-k개의 원소로 만들 수 있는 부분집.. 2018. 11. 26.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (5) 서로 같은 집합, 진부분집합 서로 같은 집합, 진부분집합 두 집합이 서로 같으려면 어떤 조건이 필요할까요. 두 집합의 원소가 모두 같아야 합니다. 이때 두 집합을 서로 같다고 합니다. 두 집합이 서로 같다는 것을 조금 더 복잡하게 표현할 수도 있습니다. A가 B에 포함되고, 반대로 B도 A에 포함된다면 어떨까요. 서로가 서로를 포함하는 상황은 두 집합이 같아야만 가능합니다. 집합 A와 A의 부분집합에 대해서 생각해 봅시다. 집합 A의 부분집합 중에는 자기자신도 포함됩니다. 부분집합에서 자기 자신을 제외한다면, 진짜 '부분'이라고 말할 수 있는 집합만 남습니다. 이 집합을 진부분집합이라고 합니다. A의 진부분집합이 B라면 아래와 같은 조건이 성립합니다. 2018. 11. 26.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (4) 부분집합의 정의, 개수, 합 부분집합의 정의, 개수, 합 집합 A와 B가 있다고 해봅시다. 만약 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 들어있을 때, B를 A의 부분집합이라고 합니다. 집합 A는 B를 포함한다고 말합니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 부분집합에서 기억해야할 두 가지 성질이 있습니다. 첫번째 성질은 공집합이 모든 집합의 부분집합이라는 것입니다. 아무것도 없는 것은 무언가 있는 것의 부분이라는 것이죠. 직관적으로 이해가 되지 않아도 됩니다. 약속이니까 기억하시면 되요. 두번째 성질은 모든 집합이 자기 자신의 부분집합이라는 것입니다. 설명이 필요없이 이해되실거라 생각합니다. 2018. 11. 26.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (3) 원소의 개수를 나타내는 방법 원소의 개수를 나타내는 방법 유한집합의 원소의 개수를 나타내는 방법에 대해 알아봅시다. 무한집합은 원소의 개수를 셀 수 없기 때문에 나타낼 수도 없습니다. 집합 A의 원소의 개수는 아래와 같이 나타냅니다. 원소의 개수는 5개로 하겠습니다. n과 괄호( )는 the number of 라고 생각하시면 됩니다. n(A)는 the number of A 입니다. 2018. 11. 26.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (2) 유한, 무한, 공집합 유한, 무한, 공집합 집합은 원소의 개수에 따라 두가지로 나뉩니다. 원소의 개수를 셀 수 있는 '유한집합'과 원소의 개수가 무한히 많은 '무한집합'입니다. 유한집합을 예로 들면 10보다 작은 자연수의 집합이 있구요. 무한집합은 짝수의 집합이 있습니다. 유한집합 중에서 원소가 하나도 없는 집합은 따로 이름을 붙어주었습니다. 바로 공집합 입니다. 공집합은 기호도 있습니다. 아래와 같은 기호를 사용합니다. 헷갈릴 수 있는 트릭?이 하나 있어 소개합니다. 아래 집합은 공집합일까요. 아닐까요. 공집합이 Φ 라는 기호를 원소로 갖는 집합입니다. 원소가 1개인 집합인 것이죠. 2018. 11. 26.
[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (1) 집합과 원소, 집합의 표현 집합과 원소, 집합의 표현 집합은 '모임'입니다. 모든 모임이 집합은 아닙니다. 어떤 모임에 속하는지 아닌지를 구별할 수 있는 정확한 '기준'이 있어야 집합이 될 수 있습니다. 예를들어 목소리가 큰 사람들의 모임은 집합이 아닙니다. 사람마다 기준이 다를 수 있기 때문입니다. 고양이들의 모임은 집합입니다. 집합에 속하는 모든 대상을 원소라고 합니다. 10보다 작은 짝수의 집합을 A라고 한다면 집합 A의 원소는 2,4,6,8이 있습니다. 원소는 집합에 속한다고 표현합니다. 2는 집합 A에 속합니다. 이를 기호로도 나타낼 수 있습니다. 1은 집합 A에 속하지 않습니다. 이것도 기호로 나타낼 수 있습니다 . 집합을 표현하는 방법은 세 가지가 있습니다. 원소나열법, 조건제시법, 벤다이어그램 입니다. 원소나열법은 .. 2018. 11. 26.
반응형