[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함

[수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함]

합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함

합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 

1) 교환법칙 성립 안함

2) 결합법칙 성립함

3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴

오늘은 첫번째 성질을 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 합성함수에서 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 

두 함수 f, g에 대하여

이제 위 등식이 성립하지 않는다는 것을 증명해 봅시다. 수학에서 대표적인 증명방법은 아래의 네가지가 있습니다.

- 직접증명

- 수학적 귀납법

- 귀류법

- 반례

반례를 이용하여 증명하겠습니다. 반례가 하나라도 존재한다면 위 등식은 성립하지 않는 것입니다. 두 함수를 아래와 같이 놓겠습니다. 

합성한 뒤 비교해봅시다. 

두 합성 결과가 다릅니다. 반례가 존재하므로 등식이 성립하지 않습니다. 따라서 합성함수에서는 교환법칙이 성립하지 않습니다.