[5분 고등수학] 롤의 정리

 

롤의 정리에서 '롤'은 사람 이름입니다. 미쉘 롤(Michell rolle)이 증명한 정리라서 미쉘 롤의 이름을 따서 지었습니다. 

최대최소의 정리, 사잇값정리도 고등학교 수준에서 증명하기 어려웠는데 롤의 정리도 그렇습니다. 롤의 정리가 무엇인지 이해만 해봅시다. 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, (a,b)에서 미분가능하다고 합시다. 예를 들면 아래와 같은 함수입니다. 

 

이때 f(a)와 f(b)가 같다면, 즉 f(a)=f(b)라면 f'(c)=0인 c가 구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다는 것이 롤의 정리입니다. 아래 그림을 보면 당연히 성립한다는 것을 직관적으로 알 수 있습니다. 

 

 

이런 의문이 드는 분이 계실 수 있습니다. 연속이기만 하면 되는거 아니야? 안됩니다. 아래와 같은 반례가 존재합니다. 

 

 

f'(c)=0 인 c가 존재하지 않습니다. 따라서 반드시 미분가능이라는 조건이 필요합니다. 

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롤의 정리란? 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, (a,b)에서 미분가능하다고 합시다. 이때 f(a)와 f(b)가 같다면, 즉 f(a)=f(b)라면 f'(c)=0인 c가 구간 (a,b)에 적어도 하나 존재한다는 것이 롤의 정리입니다.