[5분 고등수학] 등차수열의 합

 

 

등차수열은 차이가 일정한 수열입니다. 일정한 차이를 공차라고 부릅니다. 첫째항을 a, 공차를 d라고 놓았을 때 수열은 아래와 같습니다. 

 

$a_{1}=a$

$a_{2}=a+d$

$a_{3}=a+2d$

$a_{4}=a+3d$

...

$a_{n}=a+(n-1)d$

 

이때 $a_{n}$을 일반항이라고 부릅니다. 

 

등차수열의 합을 구해봅시다. 등차수열의 합은 $S_{n}$ 이라고 나타냅니다. 수열의 첫째항 부터 n번째 항까지의 합을 의미합니다. 

 

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}$

 

첫항이 a이고 공차가 d인 등차수열의 합은 아래와 같습니다. 

 

$S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+d(n-1) \right \}}{2}$

 

이 공식을 유도해봅시다. 첫항부터 n번째 항까지의 합을 오름차순으로 한번 쓰고 내림차순으로도 한번 써봅시다. 

 

$S_{n}=a+\left \{ a+d \right \}+\cdots +\left \{ a+(n-2)d \right \}+\left \{ a+(n-1)d \right \}$

 

$S_{n}=\left \{ a+(n-1)d \right \}+\left \{ a+(n-2)d \right \} \cdots + \left \{ a+d \right \} +a$

 

두 식을 더해줍니다. 

 

$2S_{n}=\left \{ 2a+(n-1)d \right \}+\left \{ 2a+(n-1)d \right \} \cdots + \left \{ 2a+(n-1)d \right \}+\left \{ 2a+(n-1)d \right \}$

 

우변은 모든 항이 같습니다. 같은 항이 n개 있는 것입니다. 따라서 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$2S_{n}=n\left \{ 2a+(n-1)d \right \}$

 

양변을 2로 나눠주면 됩니다. 

 

$S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+(n-1)d \right \}}{2}$

 

위 공식은 매번 유도할 수 없으니 외워서 사용해야 합니다. 쉽게 외우는 방법이 있습니다. 아래와 같이 2a를 둘로 분리해서 써봅시다. 

 

$S_{n}=\frac{n\left \{ a+a+(n-1)d \right \}}{2}$

 

n은 항의 개수입니다. a는 첫째항이고 a+(n-1)d 는 마지막 항입니다. 따라서 아래와 같이 외울 수 있습니다. 

 

"이분의 항 초 말"