[5분 고등수학] 자연수의 거듭제곱의 합 (3제곱)

 

자연수 거듭제곱의 합공식을 유도해봅시다. 고등학교에서 배우는 합공식은 세가지입니다. 1제곱의합, 2제곱의합,3제곱의합. 이번 글에서는 1제곱의 합 공식을 유도해보겠습니다. 

 

3제곱의 합공식

1제곱 부터 n제곱 까지의 합입니다. 시그마 기호를 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+ \cdots + n^{3}$

 

위 공식을 유도해봅시다. 아래 등식에서 출발합니다. 

 

$(k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1$

 

등식이 성립한다는 것을 보이는 것은 어렵지 않으므로 넘어가겠습니다. k에 1부터 n까지 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$2^{4}-1^{4}=4\cdot 1^{3}+6\cdot 1^{2}+4 \cdot 1 +1$

 

$3^{4}-2^{4}=4\cdot 2^{3}+6\cdot 2^{2}+4 \cdot 2 +1$

 

$4^{4}-3^{4}=4\cdot 3^{3}+6\cdot 3^{2}+4 \cdot 3 +1$

 

...

$(n+1)^{4}-n^{4}=4\cdot n^{3}+6\cdot n^{2}+4 \cdot n +1$

 

좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 더해줍니다. 좌변은 소거되서 두개의 항만 남습니다. 우변은 아래와 같이 묶어줄 수 있습니다. 

 

$(n+1)^{4}-1=4 \left ( 1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3} \right )+6 \left ( 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2} \right )+4 \left ( 1+2+\cdots+n \right )+n$

 

우변을 시그마 형태로 써봅시다. 

 

$(n+1)^{4}-1=4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}+6\cdot\sum_{k=1}^{n}k^{2}+4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k +n$

 

우변 두번째항과 세번째항은 이전 강의에서 계산값을 이미 유도했으므로 아래와 같이 바꿔줄 수 있습니다. 

 

$(n+1)^{4}-1=4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}+6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} +n$

 

계산해줍시다. 

 

$(n+1)^{4}-1=4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n$

 

이항하여 아래와 같이 정리합시다. 

 

$4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}=(n+1)^{4}-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-\left ( n+1 \right )$

 

(n+1)로 묶어줍시다. 

 

$4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}=(n+1)\left \{ \left ( n+1 \right )^{3}-n(2n+1)-(2n+1) \right \}$

 

중괄호 안을 아래와 같이 묶어줍시다. 

 

$4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}=(n+1)\left \{ \left ( n+1 \right )^{3}-(n+1)(2n+1) \right \}$

 

아래와 같이 묶어줍시다. 

 

$4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}=(n+1)(n+1)\left \{ \left ( n+1 \right )^{2}-(2n+1) \right \}$

 

중괄호 안을 전개합시다. 

 

$4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}=(n+1)(n+1)\left \{ n^{2}+2n+1-(2n+1) \right \}$

 

아래와 같이 중괄호 안을 계산합시다. 

 

$4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}=(n+1)(n+1)\left \{ n^{2} \right \}$

 

아래와 같이 제곱으로 표현해줍니다. 

 

$4 \cdot \sum_{k=1}^{n}k^{3}=n^{2}(n+1)^{2}$

 

양변을 4로 나눕시다. 

 

 $\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$ \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left \{ \frac{n(n+1)}{2} \right \}^{2}$