[5분 고등수학] 등비수열의 수렴과 발산

 

 

등비수열에서 공비의 범위에 따른 수렴과 발산 여부를 공부해봅시다. 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열의 일반항은 아래와 같습니다. 

$a_{n}=ar^{n-1}$

수열의 극한은 아래와 같이 표현합니다. 

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}$

r의 범위는 아래와 같이 다섯개로 나눌 수 있습니다. 

$r>-1 \qquad r=-1 \qquad -1<r<1 \qquad r=1 \qquad 1<r$

하나씩 살펴봅시다.

 

1) $r<-1$ 인 경우

r이 -3인 경우를 생각해봅시다. 첫항이 a라면 수열은 아래와 같이 진행됩니다. 

a
-3a
9a
-27a
81a
...

절댓값이 점점 커지면서 진동합니다. 진동은 발산에 포함되므로, $r<-1$인 경우에는 등비수열이 발산한다고 할 수 있습니다. 

 

2) $r=-1$인 경우

첫항이 a라면 수열은 아래와 같이 진행됩니다. 

a
-a
a
-a
...

진동합니다. 진동은 발산에 포함되므로, $r=-1$인 경우에는 등비수열이 발산한다고 할 수 있습니다. 

 

3) $-1<r<1$인 경우

절댓값이 1보다 작은 값이 곱해지는 것입니다. 예를 들면 $\frac{1}{2}$이나, $-\frac{1}{2}$이 계속 곱해지는 것입니다. 

$a$
$\frac{1}{2}a$
$\frac{1}{4}a$
$\frac{1}{8}a$
...

수열의 값은 점점 작아지고 0에 가까워지게 됩니다. 따라서 $-1<r<1$ 경우에는 등비수열이 수렴합니다. 

 

4) $r=1$인 경우

첫항이 a라면, 1이 계속 곱해지는 것이므로 모든 항이 a입니다. 따라서 등비수열이 a로 수렴한다고 할 수 있습니다. 

 

5) $1<r$인 경우

첫항 a에 1보다 큰 공비가 계속 곱해지는 것입니다. 따라서 양의 무한대로 발산합니다. 

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표로 요약하면 아래와 같습니다. 

 

공비 r 의 범위	수렴/발산 여부
$r<-1$	발산 (진동)
$r=-1$	발산 (진동)
$-1<r<1$	수렴 (0으로)
$r=1$	수렴 (a로)
$1<r$	발산 (양의 무한대)