[5분 고등수학] 함수 y=f(x)^n 의 미분 유도하기

 

 

오늘은 아래 함수를 미분하는 방법을 알아봅시다. 

$y=\left \{ f(x) \right \}^{n}$

도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}
\frac{
\left \{ f(x+h) \right \}^{n}-\left \{ f(x) \right \}^{n}
}{h}$

우변을 인수분해합시다. 아래와 같은 원리를 적용할 것입니다. 

$a^{b}-b^{n}=(a-b)\left ( a^{n-1}+a^{n-1}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1} \right )$

우리가 유도하던 식에 적용하면 아래와 같습니다. 

$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{
\left \{ f(x+h)-f(x) \right \}
\left \{ f(x+h)^{n-1}+f(x+h)^{n-2}f(x)+\cdots +f(x+h)f(x)^{n-2}+f(x)^{n-1} \right \}
}{h}$

아래와 같이 두개의 식으로 나눠줍니다. 

$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{
\left \{ f(x+h)-f(x) \right \}
}{h}\cdot \left \{ f(x+h)^{n-1}+f(x+h)^{n-2}f(x)+\cdots +f(x+h)f(x)^{n-2}+f(x)^{n-1} \right \}$

첫번째 항은 $f'(x)$로 수렴하고, 두번째 항은 $f(x)^{n-1}$이 n번 더해져 있는 식이 됩니다. 

$y'=f'(x)\cdot n \cdot f(x)^{n-1}$

쉽게 기억하는 방법을 알려드리겠습니다. $\left \{ f(x) \right \}^{n}$을 미분할 때, 먼저 $x^{n}$을 미분하듯 미분한 뒤에, 안에 있는 f(x)를 한번 더 미분해서 곱해주면 됩니다. 

 

$\left \{ f(x) \right \}^{n} \ \rightarrow \ n \cdot \left \{ f(x) \right \}^{n-1} \cdot f'(x)$