오늘은 아래 함수를 미분하는 방법을 알아봅시다.
y={f(x)}ny={f(x)}n
도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다.
y′=dydx=limh→0{f(x+h)}n−{f(x)}nhy′=dydx=limh→0{f(x+h)}n−{f(x)}nh
우변을 인수분해합시다. 아래와 같은 원리를 적용할 것입니다.
ab−bn=(a−b)(an−1+an−1b+⋯+abn−2+bn−1)ab−bn=(a−b)(an−1+an−1b+⋯+abn−2+bn−1)
우리가 유도하던 식에 적용하면 아래와 같습니다.
y′=limh→0{f(x+h)−f(x)}{f(x+h)n−1+f(x+h)n−2f(x)+⋯+f(x+h)f(x)n−2+f(x)n−1}hy′=limh→0{f(x+h)−f(x)}{f(x+h)n−1+f(x+h)n−2f(x)+⋯+f(x+h)f(x)n−2+f(x)n−1}h
아래와 같이 두개의 식으로 나눠줍니다.
y′=limh→0{f(x+h)−f(x)}h⋅{f(x+h)n−1+f(x+h)n−2f(x)+⋯+f(x+h)f(x)n−2+f(x)n−1}y′=limh→0{f(x+h)−f(x)}h⋅{f(x+h)n−1+f(x+h)n−2f(x)+⋯+f(x+h)f(x)n−2+f(x)n−1}
첫번째 항은 f′(x)f′(x)로 수렴하고, 두번째 항은 f(x)n−1f(x)n−1이 n번 더해져 있는 식이 됩니다.
y′=f′(x)⋅n⋅f(x)n−1y′=f′(x)⋅n⋅f(x)n−1
쉽게 기억하는 방법을 알려드리겠습니다. {f(x)}n{f(x)}n을 미분할 때, 먼저 xnxn을 미분하듯 미분한 뒤에, 안에 있는 f(x)를 한번 더 미분해서 곱해주면 됩니다.
{f(x)}n → n⋅{f(x)}n−1⋅f′(x){f(x)}n → n⋅{f(x)}n−1⋅f′(x)
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