본문 바로가기
고등수학 5분증명(2009개정)/미적분1

[5분 고등수학] 함수 y=f(x)^n 의 미분 유도하기

by bigpicture 2021. 11. 9.
반응형

 

 

오늘은 아래 함수를 미분하는 방법을 알아봅시다. 

y={f(x)}ny={f(x)}n

도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 

y=dydx=limh0{f(x+h)}n{f(x)}nhy=dydx=limh0{f(x+h)}n{f(x)}nh

우변을 인수분해합시다. 아래와 같은 원리를 적용할 것입니다. 

abbn=(ab)(an1+an1b++abn2+bn1)abbn=(ab)(an1+an1b++abn2+bn1)

우리가 유도하던 식에 적용하면 아래와 같습니다. 

y=limh0{f(x+h)f(x)}{f(x+h)n1+f(x+h)n2f(x)++f(x+h)f(x)n2+f(x)n1}hy=limh0{f(x+h)f(x)}{f(x+h)n1+f(x+h)n2f(x)++f(x+h)f(x)n2+f(x)n1}h

아래와 같이 두개의 식으로 나눠줍니다. 

y=limh0{f(x+h)f(x)}h{f(x+h)n1+f(x+h)n2f(x)++f(x+h)f(x)n2+f(x)n1}y=limh0{f(x+h)f(x)}h{f(x+h)n1+f(x+h)n2f(x)++f(x+h)f(x)n2+f(x)n1}

첫번째 항은 f(x)f(x)로 수렴하고, 두번째 항은 f(x)n1f(x)n1이 n번 더해져 있는 식이 됩니다. 

y=f(x)nf(x)n1y=f(x)nf(x)n1

쉽게 기억하는 방법을 알려드리겠습니다. {f(x)}n{f(x)}n을 미분할 때, 먼저 xnxn을 미분하듯 미분한 뒤에, 안에 있는 f(x)를 한번 더 미분해서 곱해주면 됩니다. 

 

{f(x)}n  n{f(x)}n1f(x){f(x)}n  n{f(x)}n1f(x)

 

 

반응형