[5분 고등수학] 정적분과 미분의 관계 (뉴턴이 심멎한 그 수식)

 

 

지난시간에 정적분을 배웠습니다. 정적분은 함수의 '넓이'를 기호로 나타낸 것입니다. 

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$

정적분을 가지고 놀던 중 아이작 뉴튼은 한가지 놀라운 발견을 합니다. 이 발견을 하고 뉴턴은 이렇게 말합니다.

"와...심장이 멎는 줄 알았어"

여러분도 제대로 이해한게 맞다면 비슷한 경험을 하게 되실겁니다. 뉴튼이 발견한 것은 아래와 같습니다. 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 $a \leq x \leq b$ 일 때, 아래 등식이 성립한다 .

$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

정적분과 미분이 하나의 식으로 연결된 것입니다. 어떻게 위 등식이 성립하는지 유도해봅시다. 

아래 그림의 색칠한 부분의 넓이를 S(x)라고 놓겠습니다. 

 

 

수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$

 

아래 그림과 같이 x보다 조금 큰 값인 $x+ \Delta x$를 잡아봅시다. 

 

 

늘어난 넓이를 $\Delta S$ 라고 놓으면 아래 등식을 세울 수 있습니다. 

 

$\Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)$

 

아래 그림과 같이 구간 $[x,x+\Delta x]$의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 놓겠습니다. 

 

 

이때 넓이 $\Delta S$는 M을 이용하여 만든 직사각형보다는 같거나 작습니다. 

 

$\Delta S \leq \Delta x \cdot M$

 

최솟값인 m을 이용하여 만든 직사각형 보다는 큽니다. 따라서 아래 부등식을 얻습니다. 

 

$\Delta x \cdot m \leq \Delta S \leq \Delta x \cdot M$

 

각 항을 $\Delta x$로 나눠줍니다. 

 

$m \leq \frac{\Delta S}{\Delta x} \leq M$

 

아래와 같이 극한을 취해줍니다. 

 

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} m \leq \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Delta x} \leq \lim_{\Delta x \rightarrow 0} M$

 

$\Delta S$를 아래와 같이 바꿔줍니다. 

 

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} m \leq \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{S(x+\Delta x)-S(x)}{\Delta x} \leq \lim_{\Delta x \rightarrow 0} M$

 

양쪽의 극한값은 f(x)로 수렴합니다. 따라서 샌드위치 정리에 의해 아래 결과를 얻습니다. 

 

$S'(x)=f(x)$

 

아래와 같이 바꿔쓸 수 있습니다. 

 

$\frac{d}{dx}S(x)=f(x)$

 

$S(x)$를 적분으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

 

정적분과 미분의 관계가 유도되었습니다. 오늘 유도한 수식을 '미적분의 1 기본정리'라고 부릅니다. 다음시간에는 정적분과 부정적분을 연결하는 '미적분의 2 기본정리'를 배워봅시다.